光程泛函与费马原理在线视频

到现在为止

我们在电磁波的

几何光学极限里面

已经得到这些结果

对一个定态电磁波 电场

是这样的定态电磁波

磁感应强度是这个样子

它满足稳恒能流的

电磁能流的条件

并且电场的振幅

和等相面的法线是垂直的

如果是我们进一步

取几何光学近似

也就是电场的振幅

随空间变化比较缓慢的话

我们进一步可以得到这两个条件

然后我们还进一步

定义了电磁波的轨迹

是由等相面的常数法线的轨迹

来去描述的

我们具体的用这个轨迹

用一个参数方程

这个参数方程

具体写出来是这个样子

这个式子是说

这个参数的切向

和等相面的法线是平行

这是那个参数的定义

注意这个位相

是空间坐标r的函数

那么在这个轨迹上

我们进一步的

这个r是参数s的函数

所以我们这个位相

又进一步的

可以化为参数s的函数

我们还得到一个结果

这个位相对这个参数s的微商

就是等于这个系数a本身

那么这样一个结果

实际上的另外一种表达

积分表达

就是把两边对s积分起来

就得到这样一个结果

也就是作为这个轨迹依赖

a这么一个函数

它的积分可以写为从

这个曲线的s1这一段开始

到s2这一段的积分出来

就是等于实际上

这个曲线两端的这个位相的差

那么这么一个积分就

实际上从另外一个角度

可以看成是

这个轨迹的一个泛函

由此我们把它定义为一个

所谓的光程泛函

从这个结果看

这个光程泛函实际上是

这个光走到终点和起点

它们两个位相差

那么我们下面将要证明

这个关于轨迹的方程

实际上是这个

光程泛函取极值得到的

这个方程是光程泛函取极值

得到的这个结果

早年被费马生成第一原理

叫做费马原理

也就是说它的具体的表述

就是实际电磁波的轨迹

也就是这个方程

实际上是光程泛函取极值

就是实际的电磁波的轨迹

是使这个光程泛函取极值

这个光程泛函就定义成它这个量

我们算一下

这里面要把它做一下变化就是说

让它取极值就在极值点我们

因为它如果是极值的话

你围绕极值点

做一点点小的变化

任何的变化都会是一个稳定点

那个变化量

一阶量是等于0的才是极值

所以让它做一个变化是等于0

这就是表示它是极值的条件

那这里面要变化

在这个里面就有这个的变化

有这个的变化

那么都算一下

一个是算这部分的变化

这是δa

一个是算这个的变化

这是dr点乘dr

这是根号里面的

所以就微这个根号里面的

首先这根号就变到分母上

然后再微里面的

里面的是两个项

本来是一个二分之一

两个项 把那二分之一消掉

然后微其中一个

这是按通常微商做的

这个a是r的函数

所以对a的变化是

先对a对r微商

然后再对r的变化

出来了这个项

然后这里面这个项

交换一下变分

和原来这个积分的顺序

本来这块先做小的变化

然后这个变分

先做积分的这个

然后再做小的变化

现在先变化再做积分

这个项抄下来 这个项呢

本来这个微商是微这个δr的

现在把前面这一堆

变成全部的微商

这个d变成整的

整的这个d就是

就可以积出来了

就变成光程积分的头和尾

在头和尾的时候

我们要求这个变化是没有的

就是在头和尾

我们只变中间的路径

所以整个变成d的

这个部分是等于0的

然后剩下这个变成总的d

然后再扣掉微前面的这一部分

这就是这个

这是通常在求积分的

那个分布的积分的部分

然后在这一部分里面

像前面这个项有一个这个

都提出来

两项都提出来一个δr

然后再提出一个

根号dr平方

这个项你说没有根号dr平方

那我再乘上一个根号dr平方

除上一个根号dr平方

这个项和这个约掉

剩下的就是它

而这个根号dr平方

实际上就是ds

所以这里面这个就是ds

再除的这个也是ds

就是这个

走到这你就看看就差不多了

在这里面对任意的δr的变化

这个等于0都要存在

那只有前面这个系数是等于0

前面这个系数等于0

就是这个方程

这个方程就是这个方程

这个时候你会发觉

在这个费马原理里面

我们不需要知道

这a具体是什么形式

只知道它是r的函数

通过r来依赖于这个s的函数

然后它求极值

我们就马上就得到这个方程

所以这个方程可以看成光程泛函

这个东西求极值得到的

这就是费马原理

那么我们现在从

麦克斯韦方程组推下来呢

是倒过来说

推出来这个

还进一步的一个近似的情况

几何光学极限

这个a是这个表达式

好

电动力学的第三章的最后一节

电磁波的几何光学极限

就介绍到这里

到此为止

电动力学第三章全部介绍完毕