非齐次（有源）波动方程的球面波解在线视频

大家好 我们现在开始介绍

电动力学第四章

电磁波的辐射的第二节推迟势

推迟势实际上是麦克斯韦方程组

一个是非常重要的结果

它是我们在静电场里面

和静磁场里面

标量势和矢量势的库仑定律

给出来的

毕奥萨伐尔定律给出来的

表达式的推广

现在推广成电磁场

可以随时间变化的情况

在这一节我们分三部分来进行介绍

首先讨论一下

有源情况下的波动方程的球面波解

在上面这一章里面

电磁波的传播里面

我们谈的是没有源的

随时间变化的电磁场

在这一章

我们谈有源的

随时间变化的电磁场

特别关注它的源的影响

然后特别对两个特殊的规范

洛仑兹规范和库仑规范

进行一些讨论

因为当我们用势

来描述电磁场的时候

我们介绍过有所谓的规范对称性

这个任意性

为了去掉这个任意性

我们要加一些约束条件

就是取规范固定条件

在电动力学课里面

主要用的是两种规范固定条件

一种是洛仑兹规范

一种是库仑规范

所以我们把前面推出来的波动方程

具体的应用这两个规范固定条件

看一下这个波动方程

可以化成什么样

然后我们对波动方程里面

电磁场对应的光子有质量的情况下

作一些讨论

这个在电磁场对应的量子有质量

这个问题在上一章的开始

推波动方程的时候

我们曾经涉及到过

在这一章里面

我们会给予更仔细的讨论

这个是标量势所满足的波动方程

这是我们前面推出来过

现在作为推迟势

我们希望求它的球面波解

那么作为球面波解

我们的做法呢

是一般的特别关注这个源的贡献

一般的这种源的计算

是比较复杂比较困难的

所以我们分成两步

首先考虑所谓点源的贡献

一个点源的产生的

在场点r

点源假设是位于r一撇

它在场点产生的电势我们叫U

这里面r是场点的位置

r一撇是源所在的位置

当然你会说

这么写出来好像量纲有点不对

没关系 这时候的这个量纲

比电势是要少一个空间的体积积分

因为这个δ函数

实际上是空间体积的负幂次对应的

那么假定我们这个

点源的电势知道了

这个电势就知道了

为什么呢

你可以两边做一个积分

如果你承认这个电势

和这个点源的电势

是这么一个关系

那么你把这边的积分积进来

这边一积分就是方程的右边

这边积分就是它

所以知道了这个点源的电势

那么这个就很容易就求出来了

实际上在静电场里面

我们讨论过所谓的格林函数

格林函数就是点源的解

现在这里面的这U

实际上对应的是

现在这个问题里面的格林函数

好 下面我们就最主要的是

求解这个方程

这个方程比原来这个方程

简化在什么地方

就是它的这个源的依赖

只在空间一个点有

其他地方都没有

而且因为是点源

所以我们从物理上就可以知道

这个点源产生的电磁场

关于它的这个势

应该是对这个点源是对称的

球对称的

因为这个点源你转一下

看不出它有什么差别

那么所谓的产生的这个势

对于这个点源在的这个位置

是对称的

是什么意思呢

就是它对这个r的依赖

应该是以这个小r

这个大R定义为常点到这个源

这个点源在的位置的距离矢量

那么它如果一般来说

它是这个大R的函数

因为这个小r减一个r一撇

就换成大R了

但是如果球对称的

就是它和这个r的方向没关系

这样就是球对称的

就是在一个固定的

离点源固定的长度大R

这儿一个球面上

它的数值全是一样的

这个电势

这就是球对称

所以我们当猜测

从物理的直观看到

对这样点源的电势应该是球对称的

直接就可以得到这个解

应该只依赖于这个大R的模

就是大小

和它的方向没有关系

这么一做

实际上就把这个方程

做了很大的简化

本来是对这个小r

或者换成是这个大R三个分量

有三个变量的函数

现在只是依赖于大R的模

就变成一个变量的函数

这样的话

解这个方程就会简化很多

我们先用这个试探的解

代到这个里面去看一下

把这个方程化成对这个大R

还有t的方程

原来是对这个小r三个分量

还有t的四个变量的函数的方程

现在我们把这个猜的这个解

塞到这个里面

然后把这个方程化成

一个大R这个模还有t

两个变量的方程

那么这里面最主要的是要算这个

对这个小r的拉普拉斯算符

作用到上面

我们现在知道

这个里面的这个函数

对这个小r的依赖

是通过大R的模来实现的

那么我们就具体算一下

这个拉普拉斯算符

实际上是对空间坐标微两次

那么一次一次微就是了

微第一次

就是先对大R微商

大R再对第i个坐标去做微商

那么这个微商一微出来

就是这个Xi

就是小的xi减去Xi一撇除上R

第二次微商

一个是微前面

然后微这个 有三项

第一个微这个项的时候

同样因为它是通过大R来依赖的

对这个量就要先再对R微一次商

所以微这个项

这个项抄下来

然后偏U偏R再对R微一次商

然后R再对xi微商

然后微这个直接就等于1

因为这里面有一个小的Xi

一微完了就是这个项

然后是微1/R写在这儿

把这个对R的微商同样再做出来

又出来一个Xi除上R搁在这儿

第二项抄下来

第三项1/R也微出来

是负的R的三次方

然后上面是Xi

原来还有一个Xi

所以是两个Xi乘起来

这里面的这两个Xi一求和

就是R平方

所以把这个消掉

第一项就是它

第二项求和求三项

三项都是一样的

所以这是个三

然后这个i一求和

就是R的平方约掉变成1/R

所以这一项是1/R的偏U偏R

这个是3/R的偏U偏R

两个一减是2倍了 得到它

这个我可以乘一个R除一个R

然后把它变成这么样一个样子

这样的话

这一项就写成了这个

或者是这个结果

这个我们待会儿

不断地要用这个结果

好 刚才的算了半天的就是这一项

如果把这种形式的解代进去

它就是这么一个结果

那么这个项塞到这个里面

这个方程就变成是这个样子了

这个样子你注意到

我可以把这个R再乘上来

一乘上来以后

这个是对t的微商

R跟t没关系

所以这个R就拿进去了

但是一乘上来

这个δ函数前面是一个大的R的函数

这δ函数只在R等于0有贡献

可是前面成的R一等于0呢

整个这就等于0了

所以R一乘上来

这一项就没了

所以就变成这个和这个

这个方程是什么

把UR看成是一个要求解的函数

这是一个一维的波动方程

就是1加1维

一维时间 一维空间

一维的波动方程

然后这个波速是光速

那么一维的波动方程

它的解有两个独立的解

只要是t和这个变量R

是这么一种形式组合的就可以

是t减R比c

或者是t加R比C

这两种解都可以

都满足这个方程

这个函数可以是任意的

因此我们就得到

这个里面这个通常叫推迟解

这个叫超前解

后面我们稍微仔细的会说

推迟和超前的含义

因此这个方程

现在有两种独立的解

一个是就选它

这个R除过来就是这样

这叫推迟解

第二个就选这种

是加的 超前解 这两个

这个函数是可以任意的

那么当然他们叠加起来也是它的解

因为这是线性方程

好 这是我们的这个结果

在这里面

这个函数还是任意的

那么注意到这个的

只是这个方程的解

实际上还和这个方程还差一点

这个方程和这个方程

差在什么地方

就差这个非齐次项

这时候是把R乘上去的 对不对

如果R不乘上去

这边就有这个非齐次项

这非齐次项就在R等于0的时候

是要有奇异的

而这个解你除除看

假定这个如果这个函数

在R趋于0的时候

不是趋于0的话

这两个项也都是有奇异的

所以实际上我们还应该把这些解

塞回到原始的这个方程里

通过在R等于0那块的奇异行为

要求这边的奇异行为

方程这边的奇异行为是一样

来给出对这个限制

这是我们下面来做的

如果是像刚才这个

一开始就相当于把R等于0那块

根本就拿掉了

那这个就是任意的

所以我们把这个解

塞回到原始的这个方程里面

原始的这个方程

这个解先拿这个算就是了

这个的解相当于是

把这个c换成负c

就直接得到

这两个解就可以来回换

我们就用这个解来

那么这个方程的右边放到这边来

左边放到这儿

这个现在就把它用推迟解塞进去

我们希望从这个方程

来把这里面的这个

任意的函数f定下来

这里面这个拉普拉斯算符

这有两项

一个是这两次微商都作用在1/R上

还有两次算符

都作用在后面这个上

还有这两次微商的

一个作用在这个

一个作用这个

这有两项交叉项

这个中间的交叉项

然后这个偏偏t的

因为这个是跟t没关

所以一定都是做在后面

所以这个里面

整个写下来就是这样的项

这个项是什么

这就是我们数学准备里面

说的δ函数

这个三维空间的δ函数

代进去就是这个表达式

这个把这个1/R微商做出来

这个是先对这个变量微商

对这个变量微商和对t微商是一样的

然后这个变量再做梯度

就出来这么一个项

这个里面

偏偏t方就写在这儿

这个对这么一个函数

改成对R微商就用我们前面

刚才算过的回来看一下

就这儿的

这个直接就用这个结果

这是反正是一个R的函数

这个就直接是微两次商

加上一个微一次商

然后乘上一个2/R

所以这个项就是微两次商

再加上微一次商乘上一个2/R

这个项就直接重复一下刚才那个计算

然后后面的这个直接抄下来

前面这项这是抄下来的

这后面的这几项

你仔细看一下

这项和这项和它就消掉了

因为什么呢

你偏偏t和偏R比c

实际上是差一个负号的

然后这个微两次偏偏t

和偏偏微两次R

然后再除上一个c方

是完全一样的

所以这项和这项

实际上这就是波动方程

关于这两项

它正好是波动方程解

所以这两项弄出来

正好就消没了

然后这项和这项又互相消掉了

这个里面的R一点乘上R平方

约掉一个是1/R平方分之一

这项也是1/R平方分之一

然后这是对t的微商改成对R的微商

这项和这项就消掉了

所以什么意思呢

所有的后面这些项

都在我们现在这个情况下

是严格的消掉的

最后结果就是剩下前面这项

前面这项

这个要求R只有等于0

才有非0的贡献

所以R等于0这项又没有了

就等于它

然后这个项你看和这边一对

这个δR拿掉

剩下的这个f的函数的形式

就确定出来了

就是f这个函数

对这个t的这个变量

t减R比C的这个的依赖

这个t的变量

就是原来的这个ρ里面对t的依赖

然后R一撇

就是ρ里面对R一撇的依赖

我们有得到这么一个结果

实际上你在这个算的时候

一开始后面这些不算也可以

因为后面这些

我们算了知道它严格消掉

那么不算呢

就是这个奇异性质

δ函数的奇异性

和后面这个是不太一样的

所以这奇异性是不一样的

所以后面不算

直接就比前面就可以了

这样的话

就定出来这个f是这个样子的

那么代回到原来这个解里面

这个推迟解就完全确定下来了

你可以换这个超前解

就是c换成负c

这个结果是定出来是一样的

就整个这个过程里面

c换成负c就变成一个加号的事了

但是到这儿也没有贡献

所以c换成负c

这个就变成是G

这个就变化是G

得出的G也是这个解

所以这个超前解就变成这样

这超前解和推迟解的差别

就是这块是负号

这是正号

超前解这是正号

好 我们就得到了

这个U就算出来了

有两类独立的解

一类是推迟解

一类是超前解

那么下面看一下这个解的含义

就先盯着这个点源的

那你说一般的呢

一般的就是所有的点源加起来

你这个整个一个电荷分布

就看成跟无穷多个点源

每个点源都是一个这样的解

加起来就是了

对这个点源 这个点源

它的电势

我们还是看它等值面

在给定的一个时刻t

等值面是什么呢

是R固定的一个球面

因为R只要固定t又确定

那么这个U就是确定了

那就是R是什么

是从这个源的这个的地方

到场点的这个距离

这R固定就是一个大球面

t减R等于常数

所以这个叫球面波

就是是你这个源在的

那个大球面的球面

这个球面上电势是相同的

然后说所以它这个R是不同的呢

就是不同的球面

这是电势不一样的

在某一个时刻看呢

它那个就像洋葱似的

一层一层套着的

那么在不同的时刻

取一个固定值的

那个电势值的那个球面就会运动

或者是就是那个R会变

如果是R是膨胀的

这就是这个球面在往外走

如果R是收缩的

这球面往里走

往外走的那个叫推迟的推迟势

往里走的叫超前势

当然那个等值面在移动的时候

你还要额外的考虑

因为它那个球面越来越大

不像平面波的

都是一个大平面

现在球面从小往大的时候

整个那个R在变的

它有一个整个的振幅

有一个1/R的压低

你如果不考虑这个1/R的压低

就默认它可以有这个1/R压低

剩下的我们说的等值面

那个等值的意思是

实际上绝对的是不等值的

就是有一个1/R的差别

扣掉那个1/R以后

剩下的部分相等

那个叫等值面

这个等值面的运动速度是光速c

为什么呢

你可以假定我们考虑两个球面

一个是R2一个是R1

假定R2比R1大

然后说它是一个

假定这个它们的值是相同

指的意思是

不管这个1/R的压低的情况下

那它值的相同呢

就是这里面的变量要相同

就是上面除了1/R的

这个变量相同

在t1时刻是R1

t2时刻是R2

那么就是这两个相同

这两个相同

你就得到这么一个关系

这个R2减R1比上t2减t1是什么呢

正好是这个球面扩张的那个速度

因为R2减R1

就是它们那个半径的差

然后除上这个时间差

正好这是球面扩张的那个速度

这个式子里告诉

这扩张的速度就是光速c

所以这是对这个减号的

也就是对这个情况

所以这个告诉你

我们假设R2是大于R1的话

这是正的

这是等于c

所以它是往外走的

就是随着时间增加

t2比t1大

然后这个球面是往外膨胀的

那么如果是对这个呢

你就把这个结果里面

c换成负c就行了

c换成负c这儿换成负的

那什么意思

这是负的

要是我们假设t2是后面的时间

t2大于t1

那这是负的就意思R2比R1小

R2比R1小就是

后面的那个半径比前面小

这是往里缩的

往里缩的

就是这个球面不断的往里缩

所以一开始

对这个超前解

是一开始有一个很大的球面

然后它不断缩缩缩

一直缩到某一个时刻

就变成缩到一个点了

然后对于前面这个超前解呢

对这个超前解呢

是一开始从这个点出发

这个球面的半径越来越大

越来越膨胀

超前解就是这个 这是负c

好 这样我们就把这个解

就完全做出来了

就是有一个推迟势

如果这个代到这个里面

就叫推迟势

如果这个代到这个里面

就是超前势

那你说一般的这一个分布

是什么样的

它告你一般的分布里面的

每一个点都是一个源

然后每一个点以它为中心

如果是这样的

就往外发这个球面波

然后不同的点是不同的中心

最后你看到的就是

所有的点出来的球面波

加起来的一个

叠加出来的一个效果

如果反过来是这种超前的呢

就是每个点都是一个超前波

都往里汇聚

最后大家汇聚的波叠加起来