方程及边界条件在线视频

大家好

我们现在开始介绍电动力学

第三章的第五节

电磁波的定向传播

在上一节里面

我们讨论了电磁波

被限制在一个

有限的区域里面的电磁场

实际上电磁场

被限制在一个区域里面

就来回形成了驻波

我们现在考虑一个

把上一节第四节

和前面几节结合在一起的情况

所谓的电磁波的定向传播

这时候我们要讨论的是

在空间 在某一个方向上

是没有受到限制的

而在另外一些方向上是有限制

那么这种情况

电磁波直观的说

在没有限制的区域

就像我们第一节和第二节那样

讨论的那样

电磁波在自由空间自由传播

在有限制的区域

就像我们前面的第四节

所讨论的

它会形成一个驻波

是一个固定的

电磁场的振动的分布

这一节我们分四部分

同样先给出来定向传播时候的

电磁场的方程和边界条件

然后讨论两种特殊的

方程和边界条件的

特殊类型的解

一个叫横电磁波 叫TEM波

一个叫横电波

最后实际上还有一个横磁波

是留给大家作业去讨论的

最后我们用一个具体的例子

一个矩形的波导管

我们具体的把

前面的横电磁波 横电波

还有横磁波的情况

具体求解一下

好 我们现在讨论的

电磁波定向传播的体系

就是这么一个体系

中间灰色的区域

是我们要讨论的区域

中间可以是真空

可以是理想绝缘介质

然后这个白的区域是良导体

就像我们谐振腔的边界

或者说是理想导体

中间相当于是

这是一个无穷长的管子

中间有一个芯

这个芯可以加也可以不加

我们在这一节里面分两种情况

就是中间这个芯加进去

或者是不加进去

如果加进去通常一个

最简单的情况

是所谓同轴电缆

就是它们的轴是一样的情况

我们现在是

轴并不是完全是

只是平行的

两条芯并不一定在一块

这时候我们出发

还是定态电磁波的

麦克斯韦方程组

这时候我们不直接用

前面把定态电磁波

把麦克斯韦方程组

最后直接化成的亥姆霍兹方程

因为那时候处理的是

电场和磁场的xyz

三个分量都是平等的对待的

但是在这个体系里面

如果我们把这个管子的方向

叫z方向的话

这个面叫xy平面的话

你会发觉在这个体系里面

z方向和xy方向是很不一样的

因为xy方向的这个电磁场

是有限制的

这是受到这个边界的限制

就xy这个方向上

电磁场有点像

我们第四节讨论的谐振腔

它会电磁波在这里面来回传播

形成驻波

而在这个方向上是

假设是无穷长

它就可以像在一个

绝缘介质里面传播

最后我们也看到

确实我们能看到

最后的电磁波就是在这个方向

去沿这个所谓的行波

这么传播走

所以我们从 还回

从最开始的麦克斯韦方程组

把定态电磁波时间因子引进来

就是对时间的依赖是

E的iωt代进去

这时候这是四个麦克斯韦方程组

这是边界条件

这个边界还是这样

因为这个边界上这是良导体

所以导体上的电磁场都取成0

所以介质里面

中间我们要求的这个电磁场

靠近边界的时候

它的电场是没有切向分量的

那么我们刚才说了

在这个问题里面

z方向和xy方向是很不一样

我们首先

这个定态电磁波对它的时间因子

已经分出去了

剩下对空间坐标依赖的

我们再进一步把电场的

z分量和xy分量 再分别分开

其中z分量单独写出来

这个加一个下标z

就表示这个电场

只保留它的z分量

然后剩下加一个下标t

是它的x分量和y分量

加在一起叫切向分量

然后它对

因为在z方向的传播

我们预期它应该是一个行波

就和我们自由空间

或者理想绝缘介质里面的一样

那个时候的电磁波

就是E的ik点乘R

那么具体现在在z方向

那个k点乘R

实际上就是kz乘上z

这是对z这个坐标

传播的那个方向

所以我们就猜这时候的电磁波

就寻求这样的行波的这个解

所以它对于z的依赖

明显的给它出来

对xy的依赖我还不知道

为什么呢

因为x它在这里面可能是

我们说形成一个驻波

它传过去反射回来形成驻波

那么驻波对于xy

到底是怎么依赖的

我要具体解方程和边界条件

最后来求解出来

所以我们在这里面

把电磁场进一步的

一般这个里面

是依赖于xyz的

把z的函数明显写出来

剩下的xy作为后面要

待定求解的函数

那么这些微商

本来是有对x微商

对y微商 对z微商

我们也分出来

对z的微商

单独给它拿出来

剩下的是对x和y的微商

这样的话这些方程

你再进一步简化

就分成z分量和切向分量

然后这些

前面的这些

都只依赖于xy的函数

比如说这个方程

现在是这两个方程

先算方程 这是矢量的方程

可以是在切向

切向就是我现在是xy方向的

组合的全都是叫切向

然后只是z方向的

是单独抽出来

那么这两个方程

它的z分量 在z方向的

比如说这个方程在z分量的

这个就是它 z分量的

这个是 z分量呢

这个叉乘完要是z分量

一定是

两个都是切向的

就是都是xy平面的

叉出来才能叉乘z分量

只要有一个是z

一叉乘出来不是z分量

所以两边是z的就是这个

这边都是取切向的

就是这个式子

这个是 z分量是这个

这个同样z分量就是这个式子

我把这个写在这了 z分量

这两个都是切向的

切向这边是xy这个

就是这个东西

然后这个是

切向分量就是它

那么写成这个的时候

本来这个里面

两边都会有这个E的ikz

乘上z

但是方程两边都有

我就拿掉了

所以这个方程是

不光是它们z 是z方向的

还进一步它只依赖于xy了

就是更进一步简化了

原来这个是三个坐标的函数

现在变成只是两个坐标

我们又进一步

把这个方程简化了

然后这个只是

刚才说的只是

z分量的还有切向的

那么比如这个方程在切向

这边就写成切向

这边要是切向的呢

就是一个是切向的

一个是z的

叉乘出来还是切向的

然后或者是

这个是z的 这个是切向的

具体的

就是前面这个是切向的

就是这

后面就是z

然后前面是z分量

这是切向的

这是z分量是什么意思呢

就是这个的z分量就是它

就是对z的微商

而对z的微商

原来这个就是对z的依赖

就是ikz

所以对z的微商

在这里面因为对z的依赖

是知道的

所以对z微商

就直接换成ik就行了

就像当初我们定态电磁波

把对t的微商

换成负iω一样

所以这里面这个项

对z的微商

就直接写成这个了

就是这个Ez

是这里面的这个Ez

然后偏偏z就换成ikz了

同样这个式子

换成切向就是这个一样

这里面也是

这里面有两项 一个是

它是xy 它是z分量

一个是它是对z微商

这个是xy

但是这是xy对z微商

这个z的依赖是知道的

就下来一个ikz就是了

所以这两个是这两个方程的

切向的部分

这样的话这两个方程

把它沿着z分量和切向的

这都列出来了

还有这两个方程

这两个方程点乘

实际上就是这个和这个

分别去做点乘

那就是切向点乘切向

然后z分量微z分量

z分量微z分量的

对z的依赖

同样也是下一个ikz

就代表对z的微商

所以这两个点乘的散度

就变成这两个方程

这里面这个就变成

是一个二维的散度

因为这里面只依赖于xy了

E的ikz都拿出来

可以都两边

方程两边除掉了

这样的话

这四个麦克斯韦方程组

现在就变成这一串

麦克斯韦方程组

然后边界上的边界条件

就是假定这个

你能够把磁感应强度算出来

按照边界条件就可以把边界上的

传导电流算出来

套这个公式就是了

如果把电场算出来

就可以边界上的这个

电荷密度就可以算出来

当然还有这个边界条件

这个边界上

我们这些方程加上这个边界条件

这个边界条件

我们分几种情况来去解

现在在这个里面

很重要一个

这个电场磁场有切向的分量

还有z分量对吧

我们就把z分量单独的拎出来

作为一个分类

就把解分成三类

一类是电场和磁场

电场和磁感应强度

都没有z分量

这个是什么意思

没有z分量就是电场和磁场

都是横的

就是沿着这个管子

都是沿着横的这个切向的

这叫横电磁波

因为横电和横磁

电场是横的 磁场是横的

所以叫横电磁波

在这里面的

这是这种

还有一种电场是横的

就是电场没有纵向的分量

没有z分量

这叫横电波

然后磁场是横的

这叫横磁波

所以这个是叫TEM波

transverse

TEM

这是TE横电波

这是横磁波

这么三种情况来去讨论

我们在课上给这两种情况

做详细的讨论

这个留给大家底下去讨论

因为这个的讨论和它是类似的