为什么洛伦兹变换是线性的在线视频

然后下面我们讨论一下

洛伦兹变换为什么是线性的

首先我们说是时空是均匀的

那你会问时空为什么一定是均匀

这个我们后面再说

先说假定时空是均匀的

洛伦兹变换是线性给大家证一下

我们同样选择两个参考系

一个S撇 一个S

S撇相对于S做速度V做运动

并且还是

相对运动方向就在X方向

两个坐标系的坐标轴都是一样

就是这样没有坐标轴之间的转动

在时间t等于0 t撇等于0时候

坐标系重合

这样的洛伦兹变换是这个样子

我们原来写的洛伦兹变换

这是一个αx是βt什么之类的

对吧 这是γxδt这样

是线性的

现在说我们是

承认时空是均匀的

但是我不知道是不是线性的

所以我可能就写成它是x和t的

一个一般的函数

我现在要论证这个东西是线性

要证明它对x和t是线性依赖的

只要证明这个是

然后我们在S系里面

就那个静止的系里面

做一个时空平移

就是空间平移了这么多

沿x方向坐标轴移

时间也平移了这么多

那么是这样

现在说什么叫时空是均匀的

时空均匀的含义是说

如果在S系下是这么平移了

在S撇系下也应该看到的是平移

相应的是移这么多

x0一撇 t0一撇

这就是时空是均匀的

我姑且在这里管它叫定义

然后你当然

你说我不理解这个

那你就自己下去去体会

为什么这个平移了

这个东西就是均匀

我现在这个

作为时空是均匀的定义

就是只要有这个就有这个

就是这边移了这么 移了

一个数值可能不一样

会有不一样

但是只要这个移了

那个也就相应的有一个

对应的有一个移动

好 有了这个条件我们看一下

首先看x一撇

x撇是x撇加x0一撇

x一撇又是它 然后加x0一撇

然后这边 这是移之后的

对应的这个东西对不对

把这个代进去

这是移之后的

就是这个移之后的

那么移之后的是由这个产生的

那就是这块换成移之后的

这是移之后的

这就是这个式子在移之后的

这个表达式

这是说它就直接对应它

数学的含义就是它

这不是移之后的那个坐标嘛

移之后的通过这个变到x一撇

移之后的是这个

同样对时间

就把x换成t就是了

然后我们在t等于0

和x等于0的这块

就是相当于它那个坐标原点

然后t等于0的时刻

这个式子就变成它

这个式子就变成它

然后干什么呢

把这个东西移过来

移过来以后是

这个它是等于0

然后移过来这个式子

这个东西减掉它

减掉它

就把这个初始的减掉了

然后一减这个减它

就减出来一个这个

这个移过来是负号

再一减就变成加了

这个也同样 干嘛用呢

消去不知道的这个

x0一撇和t0一撇

有了这个式子

我进一步的去定义

一个这个量叫gxt

这个量实际上是原来的x一撇

把零点的那个数值给扣掉了

gxt 这边是

也是定义零点的数值

那么这个式子就变成这个式子

你看一下

首先定义了这个

如果gx加上x0 t加t0

那么就是这个加x0

然后t加t0

就是这个东西减x00对不对

然后这个东西

你就可以抄这个结果了

这是这一大串

这一大串

这两个项正好是gxt

按这个定义

然后后面这项再和这个减起来

正好又是gx0 t0

就是这个式子

对这个也是类似的

那这个式子告诉你什么

这个函数

这个函数是线性的

对x和t

就是它两个加一下以后

是等于分别的

这就是线性的

如果是它对x和t

是有非线性二次以上的

这就不能简单的相加

这就是线性

而这个gx实际上就是

这个东西加了一个零点

把那个零点

你可以选一些方式

把那个比如说要求

t等于0 t撇等于0

坐标系重合

就可以把这个去掉

这个已经是证明

它的线性的关系

所以这就证明了线性关系

所以只要有这个

实际上是这个式子

它就是线性的 那你就

这个我们分析成

是时空是均匀的条件

时空均匀它就是线性

当然最一般的

要是那个两个坐标架

那个原点不重合

就可以差一个平移

这是所谓的对应的变换

原来是洛伦兹变换

这是彭加莱变换

彭加莱群

那么现在时空是均匀的

如果时空不均匀呢

你说时空凭什么不均匀

我们看起来应该是均匀的

但是现在宇宙学的研究

实际上揭示宇宙在大尺度上

还真不见得一定是均匀的

说时空

所以时空是均匀的

也许在一定的情况下

我们需要放弃

如果是放弃

时空是均匀的

我们还退而求其次所需要的

要求的是什么呢

实验上实际上是要求

惯性定律成立

就是匀速

因为惯性系就用惯性定律

就是匀速直线运动

就是它的坐标

匀速直线运动就是这个样子

速度是这么定义的

那么惯性系就是实际上不要求

一定是这个时空均匀

我只要求保持惯性定律成立的

那样的参考系就是惯性系

好 那么问保持惯性定律成立的

是不是就是这个或者是这个

这种变换就是洛伦兹变换

回答说不一定

这个肯定是保持惯性定律

因为这都是线性的

再做个线标还是线性的对不对

早年华罗庚

咱们国家伟大的数学家华罗庚

研究过这事

保持上面惯性定律不变

最一般的变换是这个样子

还多了一个分母

它要求这里面有

这是有我们刚才的十六个数

这还有四个对应的

是这个平移的

分母之还有这四个数

这还有五个数

所以这个是十六个

这有四个 这有四个

这块总共这个是五

五五二十五个

要求这个的行列是不等于0

那么只要这个项有

C这个不等于0

C1 C2 C3 C4不等于0

这就不是线性变换

这叫什么仿射什么投影变换

那么我们现在讨论的

实际上是这个东西等于0

这个东西又可以吸到

这个定义里面

相当于是这个等于0

这个对应的是弯曲的时空

但是它是满足惯性定律的

可以证明是是保证这个

保这个不变的

那么早年华罗庚给出这些

我们有数学家

还有我们的物理学家

是郭汉英等等都是

现在都去世了

他们都研究过相应的对应

你可以

也可以构造相应的狭义相对论

是弯曲时空的

那是 这个是说一下对这个

如果时空不均匀

是有可能不均匀的