作用量在线视频

大家好

我们现在开始介绍电动力学

第五章的第六节

相对论电动力学

在这一节里面

我们把我们前面几章

讲过的电动力学

重新从作用量出发

用狭义相对论

满足狭义相对论要求的方式

重新表述一遍

这一节是整个电动力学课里面

相对来说最难的

也是内容最丰富的

我们这一节大概要说八部分内容

首先是讨论电磁场的作用量

然后把作用量求

按我们最小作用量原理求极值

发觉得到的麦克斯韦方程组

然后讨论矢量势

和麦克斯韦方程组的一些关系

涉及到介质

会出现极化强度和磁化强度

我们把极化强度和磁化强度

这样的量也和协变的张量

是什么一个对应关系讨论一下

然后讨论能动量守恒

能动量守恒里面也是

都把它变成张量的表达形式

其中特别抽出来真空的能量

做一点特别的讨论

然后对能动量的

洛伦兹变换做一些讨论

因为在能动量守恒里面

用协变的量来去表达的时候

发觉能动量

不仅是在电磁场的体系里面

是用一个二阶张量来去表达的

而在力学里面

能动量是一个四矢量

是在上一节我们刚介绍过的

能动量作为一个二阶张量

又一种可能作为一个四矢量

这两个就会有些冲突

这个冲突

是我们这两节来去讨论的

这是介绍一下这个冲突

然后讨论一种可能的解决方案

所谓劳厄定理

好

首先讨论电磁场体系的作用量

在前面一节的力学的讨论里面

我们的电磁场

是作为一个外界的电磁场

不是一个动力学

就是给定的一个外电磁场

然后动力学是一个带电的粒子

带电的质点

它在一个给定的外电磁场里运动

我们现在把粒子

在这一节里把电磁场看成

是一个自己的一个动力学

所以它是一个动力学变量

那么作为一个动力学变量

我们的从最小作用量出发

就应该有描述电磁场

自己的行为的作用量的部分

因为电磁场也是一个独立的变量

而不是像上一节里面

电磁势是一个给定的

不是一个广义坐标里面的一部分

因此为了描述电磁场自己的行为

我们就要在作用量里

加一个纯反应电磁场的项

我们在电磁场外电磁场

和带电粒子的相互作用里面

提出来了有规范对称性

所以这个纯电磁场

这样的项也自然的

应该满足规范对称性

还有一条它所加的那个项

是要有一个洛伦兹变换的标量

实际上你会看到

我们最后得到的麦克斯韦方程组

都是电磁场的一阶方程

出现在电磁场的作用量里面

只含有一阶微商的

或者说最多含有到两阶微商的项

只有两种项就是满足规范对称性

最多有两次微商

又是一个标量

就有两种项

一个项是这样项

用场强的这个项

这是二次收缩

收缩成标量

用磁感应强度和电场强度写

具体的就是这样的项

还一个项是这样的项

这个本来是四阶张量

然后再用和我们原来

矢量分析里面的三维空间

有一个三阶反对称张量

我们现在四维时空有四个角标

有一个四阶的全反对称张量

这个就是一二三四是一

然后交换奇次就是负一

交换偶次就变成正一

有任何两个或两个以上

相同角标就等于零

再把四个角标和它再收缩掉

全收缩变成一个标量

这样的量也是有两个微商

用电场强度和磁感应强度

写出来是这样的项

这个的项你要仔细看一下

在空间反射的下的变换的行为

这样的项在空间反射是不变的

这个空间变换是出一个负号的

这个项还有一种写法

可以写成用势来去写

是这个式来去写

可以写成一个全微商的这个项

这个项因为是一个全微商的项

写在作用量里

全微商里划到边界上了

我们除非这个体系

有一些拓扑的效应

在自由的空间里面

通常我们这项就不考虑了

所以这是电磁场作用量项

在自由空间里

只有这个项有贡献

我们就把一个

现在我们是讨论一个物质的运动

就是电荷电流的流动是给定的

跟刚才正好反过来

刚才是给定外电磁场

这个电荷电流受外电磁场作用

算这个电荷电流

怎么在外电磁场作用

现在给定这个电荷电流

然后看它对外电磁场的影响

那么这两个体系

都要涉及到电荷电流和电磁场的相互作用项

我们在那边和这边

都是同样的相互作用项

我们就用刚才给出来的

从一个电荷

和外电磁场的相互作用

推广成一团电荷的用电流密度

来去写这个相互作用项

写成这个项

现在多加了一个

因为是描述电磁场

广义坐标就是这个电磁势

就是这个项都在

加了个系数在这里

那你说这个系数

为什么选成这么一个怪怪的

也是一样

这个系数是为了我们

最后推出来的拉格朗日方程

和我们的麦克斯韦方程组

完全对应上

好 我们现在既然是这样

我们就开始做协变的推导

就是推导它的拉格朗日方程

我们不再用原始的

那个力学里面给的

因为那个广义坐标广义速度

那个不是一个协变的写法

我们直接就把它求极值

然后求协变的这个方程

我们就要求δS等于零

在这里面变化的这个是固定的

是一个外界贡献的电荷电流元

现在变化的是这个电磁势

一个是变化这个里面的

一个是变化这个A

而这里面两个项是一样

所以就销掉一个

变成四分之一变成二分之一

为一个就是了