带电点粒子及电荷分布在外电磁场中在线视频

下面我们再推广到更复杂一点

这个质点假定它带电

然后它放在这个外电磁场里面

按我们以前知道的信息

一个带电粒子在电磁场里面

要受这个洛伦兹力

但是那些是什么呢

那些是我们实验

根据实验定律总结出来的

那么受洛伦兹力

再加上牛顿第二定律

所以一个带电粒子的运动轨迹

F等于ma那个F是洛伦兹力

然后那边是ma

这是原来的牛顿第二定律给出来

它应该满足的运动方程

那么我们现在要重新去写

这个方程

我们也不从实验定律出发

所以我们不能把实验定律

作为一开始的输入

我们一开始从作用量来去写

这么一个带电的粒子

在外电磁场里面

这时候首先第一个要问的说

这个外电磁场在我们这个体系里

该怎么描写

因为电磁场虽然我们前面的

那些说过

引入电场什么

但是我们现在是从理论的最开始

从理论的角度

重新写这个电磁场的理论

这时候所有的东西都要从零开始

忘掉前面的实验的那些东西

所以碰到的第一个问题

是在我们现在要明显的

特别是考虑这个狭义相对论的

这个情况下

电磁场应该怎么描写

首先这就回到我们

这个上一节说的

所有的物理量要满足相对性原理

最后都会嵌到某些

那个某个张量里面

那么电磁场作为是场

所以描述它的这个场

也会嵌到这个张量里面

具体说它就应该是某种张量

我们希望用势 电磁势来去描写

后面我们看到场强

电场强度 磁感应强度

是一个导出的量

在这里面势是一个基本的量

那么电磁场如果是用势描写呢

它一般是某一阶的张量

我们现在假设是可以用一个矢量

四度的矢量来描述这个电磁场

具体写下来是这样

一个四度的矢量

就有空间分量还有时间分量

空间分量我们叫A

是一个普通的矢量

时间分量有一个i

然后你说你这是为什么

这块是Φ除上c

这个c不搁在分子上

或者不加个正负号

这个都没有关系

实际上这些都可以看成是

这个Φ的重新定义

就可以吸到这个Φ的定义里面

这个Φ这么写

我们会发觉我们得到的方程

和前面通过实验定律

总结出来的方程是一样的

就跟刚才这个一个质点里面

前面那个系数

作用量前面那个负的m0c一样

这个也是

我们要求最后推出来的方程

和实验是对得上

那你还会问说

为什么选一个四矢量

不选一个二阶张量

或者选一个标量

结果是这样说

如果我们不选四矢量

推出来的方程

就不是麦克斯韦方程组

只有选择是四矢量

就是最后推出来的方程是

正好是麦克斯韦方程组

这个大自然选择了对电磁场

选择了是用四矢量进行描述

好 这个

这是我们从四矢量出发

作为这是一个场

是一个 实际上后面会看到

是一个势

既然它是这个四矢量

那么说了四矢量

在这个洛伦兹变换

这个两个参考系

是沿x方向做相对运动

在t等于t’等于0的时候重合

坐标架都是同方向的

这个洛伦兹变换

坐标是这样的变换关系

注意坐标和这个两个对比一下

这个x和它的x分量对应

y和它的y分量对应

z和它的z分量对应

这个ct和注意的Φ比c对应

所以你就把这个坐标的

洛伦兹变换里面

把xyz分别用这个矢量势的

这个它的空间分量的

x分量 y分量 z分量代换进去

而把里面的ct换成Φ比c

或者具体的是t换成Φ

除上c平方

这样的话这个洛伦兹变换

当它说四矢量的时候

就意味着这个变换关系

你注意比一下

这个变换关系就做了

就是根据这两个的对比来去出来的

因为它们都是四矢量

就是大家变换是一样的

只是说这个在时间分量上

这个的定义和这儿差了一个

这是乘上c 这是除上c

所以你把这个t换成Φ比c平方

这样的话就会变成是这样了

在这里面t换成Φ比c平方

然后把这个两边的c平方都拿掉

所以就变成是这个样子

所以当我们用这么一个 矢量势

来描述电磁场的时候

隐含着在两个参考系

相对沿x方向

它是这么样一个洛伦兹变换关系

好 这个刚才已经说了

然后这个是第一步

我们说一个外电磁场

我们就用这个四度的电磁势

来去描述

然后是说

这个说是描述一个带电的质点

在这个和外电磁场发生相互作用

一个带电质点它也是一个质点

那么首先和我们刚才

那个自由质点的那个作用量

它应该有那个项

就是那个ds那一项

另外它比那个还多的什么呢

多了一个相互作用

因为它和外电磁场是相互作用

所以我们描述这个体系

就在刚才自由质点那个体系下

加上一个它的

和外界电磁场的相互作用项

就是了

这就描述就表示它带电

它和外电磁场相互作用

那么这个相互作用项问题是

又是说这个相互作用项怎么写

那么这个相互作用项

因为是相互作用

它是一个要包含这个

质点的性质

质点就有走的轨迹

可以用它的ds 可以它的dr

dxμ都可以写

反正走了一小段距离

然后还有这个外电磁场

那个外电磁场就是用这个Aμ来去写

而且要求这个相互作用项

这两个性质都包含

还得要求是一个标量

我们说因为它写的作用量

是要一个标量

那么满足这些要求的

最简单的项就是这个项

因为什么呢

这个外电磁势 这是一个四矢量

那么你如果只用dx来去写呢

这个最后是个矢量

不能是标量

你这个项必须是个标量

所以就不用它的模平方

这个是用dxμ dxμ和这个Aμ一收缩

乘起来一收缩这就是一个标量

这个这样的项既有外电磁场

又有这个带电粒子

而且是最简单的

每个都用它的最基本的量

两个乘起来

任何一个其他的可能的相互作用

都比这个要复杂

然后乘上一个系数

这个系数实际上是衡量它们的

这个乘积的这个强度的

在这个里面贡献

通常把这一项叫做最小耦合

为什么是最小耦合

因为这个简单的不能再简单了

就是你不能没有这个项

就是不能没有这个粒子的

轨迹的量

也不能没有外电磁场的项

那么这两个都要有呢

这个就是最小

再弄的更复杂

这个可以再加其他的

那就更复杂

所以这叫最小耦合

那么写这个项呢

出现在作用量里面

这注意到出现这个外电磁场

在这里边出现的是

这个电磁势

而不是 场强我们到现在

都还没有引进来呢

这是我们在前面几章里

曾经这个讨论过

在这个电动力学里面

场强是基本的

还是势是更基本的

那么场强更重要

还是势是更重要

那么在这里你看到呢

从理论物理的角度

最开始出现在作用量里

不是场强 是势

所以这个势是非常非常重要的

特别是这是经典理论

如果进到量子理论

这个作用量这个势

会出现在作用量里

会更显出它的重要性

好 当我们写下这个项的时候

你自然的就会发觉

这个项里面有个特殊的对称性

所谓的规范对称性

为什么呢

你把这个四度的势加上一个项

加的这个全微商项

一个标量场的一个四度的微商

加的这个微商就变成是

这是全微商

全微商和这个积分

这个曲线积分

就变到曲线边界上了

边界上 你可以要求这个变换

在边界上是不变的就完了

中间所以它中间的那些变换

是不影响的

那什么意思

你加这个东西

根本不影响这个体系的

中间的那段

这个粒子走的中间的路程

根本就没有影响

所以这个意味着加了这个项

对体系没有影响

所以用A和A’是一样的这个体系

那么这就是这个体系

体现出一种对称性

因为你把它变了一点

看不出来这个变化

这叫规范对称性

这是规范变换

把这个写出来的这个

这个带电粒子

在外电磁场里面的

这个作用量写出来

现在把它的可以用分量来去写

它的空间分量就是dr

这个空间分量就是普通的A

就变成是这个项

然后两边的时间分量

时间分量这儿有乘个c这除个c

然后两个 都有两个I

是个负1

写出来就是这个项

那么前面这个ds可以换成dt

里面多了一个这个根号这个因子

这边把个dt提出来

这边就变成v

所以整个变成一个dt的积分

把那个dt的积分拿掉

剩下的里面的这个

就是拉格朗日量

所以对这个带电的质点

在外电磁场里面

它的拉格朗日量我们就读出来了

就是这个

这比原来的自由质点多了一个

这个带电粒子

和外电磁势相互作用的这个项

好 然后我们进一步的

要算它的方程

就是运动方程拉格朗日方程

拉格朗日方程里面很重要的

是算一个

是动量对时间的微商

等于这个拉格朗日量

对坐标的微商

那么动量就是拉格朗日量

对速度的微商

所以一个是对这个项对速度微商

这就是原来已经微过了

就是自由的质点的时候就算过

那么新的多的呢

对速度微商呢

就是微这个

注意这个里面写的这个势

势里面A和Φ都是空间坐标

和时间坐标的函数

A和Φ里面不含速度

那个是场

它只依赖于空间的哪个点

在哪个时刻

所以当我们对速度微商的时候

那个空间坐标固定的时候

这个A就是不参与微商

Φ也不参与微商

微这个v速度

就下来一个这个项

所以动量里面现在的

这个带电粒子

和外电磁场相互作用

对动量贡献了一个这个

这个动量定义为叫做正则动量

就是这个体系里面的正则动量

那么这个外电磁势

会对正则动量贡献一个这个

从这个角度来去说

我们原来说矢量势

这个实际上是矢量势

这个矢量势我们曾经说

讨论它的物理意义

因为它有规范变换的任意性

说它很难有直观的图像

在这里从另外一个角度说

这个矢量势乘上这个电荷

是对动量有贡献的

实际上它某种意义上

起着动量的效果

但是这个正则动量和机械动量

机械动量是这个

这是一个带电粒子

这个正则动量和机械动量

就差了这个项

对一个带电的体系

然后你可以算它的哈密顿量

哈密顿量是什么呢

是动量乘上速度

减去拉格朗日量

对这一部分的项算出来就是它

这个原来算过

剩下我们就算这一部分的贡献

然后动量呢

动量乘上速度

所有的原来的那个

质点的那一部分

就都跟原来一样

我们只算额外的贡献

就是这个乘上速度

就是A点乘v

然后再减去拉格朗日量里面

新加的是这个

这两个一减就没有了

所以这一项

对这个哈密顿量的贡献是没有的

因为这一块乘上速度

再减去拉格朗日量

和这个减掉的

然后剩下的就是

减去L里面的这个项 新多的

那么减去L 这个多加

把这个负号搬过来就是它

所以新加的这个项里面的

这一项对哈密顿量的贡献

是消掉的

只剩下这一项

这就是现在的

有相互作用的时候

这个电磁势力对能动量

都会加了一些修正

然后我们要算

有了这些我们就要算它的运动方程

所谓的拉格朗日方程

拉格朗日方程是

这个动量的时间变化率

等于拉格朗日量对空间坐标的微商

对空间坐标微商计算比较复杂

所以我们为了那些计算

先用一个矢量运算的关系式

这个关系式大家自己

可以下去证证

用我们最开始数学准备的场论的

数学里面场论的运算规则

去算一算就是了

我们现在就承认这个结果

那么我们要算什么呢

算拉格朗日方程的

右边是涉及到拉格朗日

对坐标的微商

对di个坐标的微商再乘上

我们把它乘上一个基矢量

然后求和

就是对x的微商乘上x的基矢量

对y微商乘上y的基矢量

对z微商乘上z的基矢量

这个整个合起来

实际上就是拉格朗日量做梯度

就是用分量写就是这个

那么做梯度就可以

注意到拉格朗日量做梯度

空间坐标这一项是没有贡献的

就要微这个里面的这些项

就要做梯度 就是这个

一个是这个里面这是个常数

就微这个Φ Φ的直接做梯度

然后这个 这个项做梯度

其中这个项就抄下来就是了

这个项A点乘v就可以

这不就是相当于是

A看成是小的

大A看成是这个小a

这个v看成是b就完了

就可以代这个公式了

但是这个微商里面

这个v在这个空间坐标微商

这时候速度是固定的

所以这个东西对这个v的

这个微商全都是可以不要的

也就是在这个里面

b是不参与微商

所以这一项是拿掉的

对b的这两项是拿掉的

剩下这两项

b看成是这里面的v

小a看成是大A

剩下就是这两项

因为这个b看成是v就是这个项

看成是ev

然后这个b看成是ev

然后这个看成大A

所以再把这个式子

代到这个项里面就是这两项

有了这个以后

这个我们算拉格朗日方程的右边

就直接可以

然后两边实际上方程

对每一个坐标的都乘上

方程两边都乘上一个基矢量

然后求和起来

那么然后我们就可以算了

最后算那个

我们先算这个量

这是机械动量的时间变化率

这是我们通常牛顿第二定律就去算

只不过牛顿第二定律的时候呢

是这个v比c小得多

这个就是1 这个就是普通的动量

现在是推广了狭义相对论

情况下的这个动量

有相对论修正

按这个式子来去看

这个项把这个移到等号那一边去

是等于它的正则动量dP dt

再减去e乘上a

那ddt就是da dt 对吧

而我们的拉格朗日方程

给出来的这个dp dt

这是p 这是dp dt是等于

把这个移到等号那儿

是偏L偏x

然后你三个两边的基矢量乘出来

实际上就是它

所以是dp dt

实际上是等于

这个拉格朗日量的梯度

就是这儿算的这个量

所以是等于它

然后这一项抄下来

这一项刚才算出来了

是等于这一大串

把这一串抄下来

具体写下来这一项里面有三项

这三项 这三项抄下来

而这个da dt

注意 我们说这个da dt

这是a对t的微商

a对t的微商包括两部分

一个是它的空间坐标

因为空间坐标是指的说

我这个带电粒子走到那个

那一块的那个空间

实际上是那个

那个空间坐标

是带电粒子走的那个轨迹

所在的那一块

所以它那个空间坐标

是含着t的

所以它一个是通过

先对空间坐标微商

空间坐标再对t微商

这是一个

还有一个它本来是场

它明显含时间的

所以有对时间的显示的微商

那么在这里面

这一项偏r偏t就是速度v

这一项和这一项就消掉了

这儿有一个负号

是吧

剩下的就是这三项

这个两个叉乘的这个项

搁在这儿

然后这两项合在一起

这项和这项合在一起就是这个

所以我们在这里

用了这个拉格朗日方程

这个机械动量随时间的变化

就是这么一串

具体的写出来就是这个结果

就是我们刚才推的

这是用了拉格朗日方程

注意到在这个式子里面

这就是这个带电的质点

在这个外电磁场里面

它满足运动的方程

这个方程里面这个外电磁势

a和Φ 不是以它自己的形式

是它以一个微商的形式来去出现

这么一团出现

这么一团出现

这么一个结构出现一项

这么一个结构出现一项

既然它是以这么一团出现

我就姑且把这么一个量

定义成一个新的变量

这个量定义成另外一个新的变量

这个就是它的受力

这样我们牛顿力学呢

这就是dp dt

这是相当于是ma

这边就应该是受力

那么我们就把这个项定义成E

这个项定义成B

这时候的E我们管它叫电场强度

但是这是一个导出量

这个导出量就是定义成这个

这个叫B 磁感应强度

也是一个导出量

那么它怎么导出呢

就是因为这个带电粒子

在这个电磁势

外电磁势 外电磁场运动中

那么它受力的时候

是以这种一个组合来出现的

当你这么定义了电场强度

和磁感应强度

这个力是洛伦兹力

洛伦兹力公式也就出来了

对不对

因为这个本来是受力

那么这不就是洛伦兹力公式吗

所以我们推出来了洛伦兹力公式

再进一步这么定义了

所以现在就引入了场强

电场强度和磁感应强度

这个A和Φ和这些微商

在洛伦兹变换下的变换关系

都是知道的

你就可以用这个电磁势

还有这个坐标的微商

在洛伦兹变换的关系

可以倒推出

根据这个关系

倒推出电场强度和磁感应强度

在洛伦兹变换下的关系

具体这个过程大家可以自己下去

去练习一下

这还是挺繁琐的

但是是可以推出来的

难度并不是特别大

推出来的结果直接给你列过来

就是两个参考系

相对沿x方向运动的时候

这么定义的磁感应强度

和电场强度

它的洛伦兹变换关系是这个样子

这是我们把一个自由运动的质点

推广成它带电

是在外电磁场里面

这时候我们首先给出了

电磁场的这个描述

包括电磁场的洛伦兹变换

场强也定义出来了

然后推出了洛伦兹公式 是吧