光学方程在线视频

好了

我们现在得到了这些东西

这是在几何光学近似下

就是这一项多了这两个方程

随着空间变化

现在整个的定态电磁波是在这

它的振幅和位相

满足这一串的关系 这是

允许几何光学近似的时候

就有这一串

下面我们说有了这些

又能得到什么更多的信息

我们现在定义这个电磁波

假定是有轨迹的话

我们怎么定义它的轨迹

假定它有轨迹的话

我们就定义为

等相面是有一个法线

实际上就是φ的梯度来去确定

有个法线

这个法线所走的轨迹

就是这个电磁波的轨迹

好 假定你能构造

就是确定这个法线的轨迹

一个方程

那你这轨迹就知道了

那么假定这轨迹存在的话

我们用这个参数描述

这个轨迹参数方程

那么这个参数用s来去写

这轨迹走了就是r作为一个

s这么一个曲线这个轨迹

在这个轨迹上

这个s实际上

就是走的那个曲线的长度

或者说ds 就是那个dr

小的那个dr的长度

这是通常曲线的方程就这么写

而我们从最开始的

数学准备里面就知道

这个φ是常数那个平面

它的法线就是

和φ的梯度就是是平行的

φ梯度本身的方向

就是沿着那个法线的方向

就是等于说φ的梯度

就等于一个常数

乘上它那个法线的矢量

同样呢你要是用轨迹来去写

这个dr ds

也是它那个等相面的法线

因为是那轨

所以dr/ds

也正比于它那个法线

这样的话我们就可以这么写

因为这是正比于它的法线

这个东西也正比于它法线

我就写这个东西

是等于一个常数乘上它

因为它们俩是 方向是一样的

都是沿着等相面的那个

法线的那个方向

那么这个a应该是什么呢

我们就可以这么着

这个东西自己点乘自己

自己点乘自己

这边自己点乘自己这就是1

因为这个dr点乘dr它自己

就是这个平方

就是ds平方 这约掉了

就是a平方

a平方按这个式子

如果是近似的话

就是等于它

就是在可以做

几何光学近似的情况下

它就是它

这是一个常数

但是如果这个不能做近似的话

你回去看这个方程

这个东西新加的项

新加这些项

就和振幅是有关的 是这个项

就是说在你能够略去

c的空间微商的时候

这个就是它

就是在可以做所谓

几何光学极限的时候

这个a就是它

就是这个表达式

那么a是这个表达式

这个方程具体写出来就是它了

实际上说这个

说得更仔细一点

当a是现在这个情况的时候

它只依赖于介质的情况

和这个电磁波的频率

就和这个电磁波具体的振幅

就没有关系了

固定的一个频率的电磁波

它这个a只依赖于

看你的介质走到哪

它这个 因为这个是r的函数

怎么在跑

但是如果是

不是几何光学极限

它和这个振幅有关

这个电磁波是

振动的厉害点 弱点

这个a是不一样的

好了 在这呢

从这块知道这个式子

这是严格的

我们知道这个振幅

本来就和这个dr/ds

或者是等相面的法线是垂直的

就是振幅是在

就是它是横波相当于是说

还是横波

在等相面里面这个振幅是

这是这个式子告诉你的

而这里面的c一撇

在几何光学极限下

这个项可以略掉就是它

而这个东西 刚才不是说了

在几何光学极限下

这个是它吗

所以它就是这个表达式

你会发觉

这是有三个方向 一个是

那个轨迹的切向

或者是那个等相面的法线

一个电场的振幅的方向

一个磁场的振幅方向

这三个方向

又是像我们的平面电磁波似的

右手关系

这三个是一横波 成右手关系

当然这个里面是在

几何光学近似的极限下

因为这里面用了这个条件

本来这个磁场要有了这个

就不一定和它简单是右手关系

那么我们现在讨论的是

一般的非均匀介质

就是ε可以

静电常数可以和空间坐标有关的

那么我们前面讨论的平面波是

静电常数是等于常数的时候

和空间坐标没关

它是我们现在

这种情况的一个特例

那我们看一下

那个特例在这里面是怎么体现的

在那个平面波的时候

这个φ就是k点乘r

那你看一下这φ梯度是什么

φ梯度就是k自己

因为你做一下

一微这个r就是

单位的二阶的单位矢量

二阶的单位张量

和它一点乘它自己

那么这个按这个 两个

这时候这个点乘它自己

等于它 就是这个

这就是我们以前有过的这个式子

波矢的平方等于这个

那么这是k

φ梯度是k

然后ω乘n比c是k的模

所以这是k的模除上k就是这个

所以对平面波

原来的平面波那一条轨迹

所谓的那个等相面的法线

走出来的轨迹

实际上就是一条直线

这个直线就是沿着

那个波矢在的那条

出来的那条

无穷长的那条直线 就是这个

好了 我们现在就说

现在的一般的是这么一个关系式

这是等相面的法线

有两种描述

这是一种是用等相面来去描述

一种是用它的参数方程

一个轨迹的参数方程来去描述

如果是几何光学近似

这个a就是写成这样一个结果

好 我们现在具体看一下

在光线走的这条

这就可以有一条线了

因为这个我们要推出

这个曲线满足的方程

我们对这个量

再对s做一次微商

因为s实际上

是这个r的一个函数

这个ds平方

就是等于dr点乘dr dr的模

代到这个方程里

就是φ梯度然后

这本来实际上也是一个方程

因为φ是r的函数 是位相嘛

是r的函数

它是说φ对r的微商

微完了以后 这r的函数

满足这么一个微分方程

然后这个系数

又是r的函数在这

这个里面对s微商

是通过r依赖

所以那就应该是什么呢

先对r微商

那就是做梯度

然后每一个r再对s微商

复合函数

对r微商相当于做梯度

然后相当于是对xi微商

xi再对s微商

然后xi是一二三 xyz

三个微过来 具体的

这里面微第i坐标的时候

就微进去

因为这个和这个微商是可以换的

拿到里面去 第i

这两个i一求和

就是这两个点乘

而这个偏φ偏xi

这就相当于它的第i个分量

就是dxi/ds

所以直接代那个方程 代进去

这里面偏φ偏xi

就是a dxi/ds

然后这里面的微商

就分别的微进去

一个是微前面这个a

一个是微后面的这个项

微后面的这个项呢

前面和这个合起来

都是dxi/ds

所以里面的这个

就可以拿到里面去

变成二分之一

因为这是两个平方

两个平方各微一次有两个

把这二分之一拿掉就是它

这个项dr点乘dr

就是ds平方

底下ds平方约掉了

所以这个就是1

这一微商常数1就没有了

所以这项是没有了

这个本来也是1

所以这个出来就是它

这就是最后就得到一个

明显的对这个曲线的这个方程

因为在这里面

特别是在几何光学近似下

对这个r的依赖是知道的

这就是一个方程

对这曲线的微分方程

那么如果是均匀介质的话

均匀介质 这个n就是常数

折射率就是常数

所以这个微商就等于0

那么什么意思呢

均匀介质整个这个量

这个a是常数先拿出去

这个量dr对s是不随s变化的

这就是我们刚才得到的

均匀介质我们刚才说了

dr/ds

就平面波实际上是

k比上k的模

就k那个方向

就是这个轨迹

dr/ds是一个常数

它就是一个常数的一条直线

所以均匀介质中电磁波走直线

就是这个方程的一个特例

现在是一般的情况 不是

这个东西不等于0

所以你要解这个方程解出来

电磁波走的这个曲线的方程

是满足这个的

那么进一步我们这个位相

本来是坐标r的函数

这个r在我们这个

又可以用我们的轨迹上

用s来去写

所以这个位相

也可以直接换成是

这个参数s的函数

那么我们可以

直接这个位相对这s微商

那么它对s的依赖是通过

这个r来参数

所以先对r微商

r再对s微商

然后这个φ的梯度又是等于它

那么就是a然后乘上它

这一堆是等于1就等于a

所以你就会得到一个更简单的

这个位相对曲线的那个参数

s的微商

就直接是这个a

这个a如果是几何光学近似