因果性与色散关系在线视频

好 最后我们来看一下

这个色散关系和因果性的

这个联系

色散关系是一般的研究

电介质极化率和电磁波频率

之间的关系这么一个

我们刚才建立的是极化率

和电场强度的一个关系

最一般的实际上

可以写成是这个样子

就是在t时刻它的极化率

是和t时刻及t时刻以前

所有的电场都会有关

不一定只和t时刻的这个电场有关

因为它可能t时刻以前的那个电场

会造成有一个延迟的影响

影响到这个它的这个极化率

所以一般的是这么一个关系式

注意这个关系式呢

这个积分是从这块从零到无穷大

为什么从零到无穷大呢

t’等于0的时候

这个影响它的电场的时间是t

t’如果是大于0呢

这个解了呢

这个就是比这个t时间更早

这个t是负的时间

就是更早的时间

t’为什么不能小于0呢

t’如果是小于0的

代表t时刻以后的电场

显然对t时刻的这个极化

是没有影响的

这个下标是0就是非常重要

是说它是因果的关系

就是如果是t

这个有小于0的贡献

那就是超出因果律

因为是t时刻以后的电场

怎么能影响t时刻的这个极化呢

所以这个是从0开始

那么从0开始

只有0以后的这个表示

是t时刻以前的电场

对t时刻的极化才有影响

以后的电场没有影响

所以就把以前的

这个小于0的这一部分就卡掉了

这是因果律

这是刚才下限必须取0

然后我们一样的

做这个傅里叶变换

傅里叶变换

这个电场强度和极化率的

傅里叶变换

那么实际上在频率空间

你会发觉它就是一个

固定的频率下的这个

它们是直接的这样的关联

这个因此这个极化率

就可以用固定频率的

这个来定义

那么我们现在就根据这个式子

来去研究

因为这里边和一般的

有什么不一样呢

关键就是下限取了0

下限没取到负无穷大

这就是因果性的限制

那么我们会发觉

下限取成0

最后就对这个极化率

对频率的依赖

有一个特殊的限制

这就是因果性对极化率的

这个限制

这就是我们设的色散关系

好 这个式子

我们先拿这个的傅里叶反变换

代进去

然后这个p又代这个关系式进去

这个p（r，t）代这个dt’的积分

然后f（t’）E的这些

然后这个E呢

再把它的傅里叶变换代进去

这个的傅里叶变换再代进去

傅里叶变换代进去

你就可以先对t积分

一积分是一个δ函数

是δ（ω’-ω）

然后除以一个2π

把2π约掉

然后再把ω’积分积掉

那个就要求ω’等于ω

所以这一积完了

只剩下这个t’的这个项

然后要求ω’等于ω

就是把t的积分和ω’

两个都可以做掉

做掉就把那2π消掉

把剩下的那些量里面的ω’

换成ω

因为把t积掉了

和t有关的就没有了

这个式子和这个式子去对比

把这个E拿掉

ε也拿掉

剩下的这一堆就是这个

在频率空间的这个定义的极化率

所以极化率就是这个式子

而这里面就沿用了这个

这个是哪儿来的

这个就是从这里面来的

下限取0

因果律就要求这儿是0

而不是负无穷大

这有什么用呢

注意到在这里面

一般的来说这个和下限取0

没有关系

在这里面ω

我们现在这个f是

这个f是实的函数

这个频率换成负的时候

你就相当于整个求复共轭

求复共轭这个还是它自己

求复共轭这个也出个负号

和频率是负的是一样的

所以求个复共轭和这个负号

两个正好消掉

就有这么一个关系

好 因为这个是

现在时间在这里面

因果性要求这时间只能是正的

所以这时间是正的

那么这个ω

如果是推广在复平面上来说

复平面的上半的复平面

这个ω的虚部是正i乘上一个

就是i前面是一个正的数

这是一个i的前面再乘

上半平面 不是在实轴上

上半平面它的虚部

是一个i再乘一个正的数

这个t也是正的数

i乘i是负1

所以在上半平面

这是一个指数的压低的因子

所以上半平面被积函数

是衰减的 指数衰减的

是这样

这个很重要的是要求t是正的

t是正的就是因果性要求的

那么而且离这个实轴越远

它这个衰减就越大

也就是t越大的时候

这个东西越小

实际上反映的是越早的电场

对现在的那个极化就影响越小

极端的情况下呢

就是当这个t趋于非常大的时候

这个乘积就衰减没了

就等于0了

这个告诉你

这个对频率

在负的ω平面

上半平面这个被积函数是衰减的

所以这个积分

就是对t的积分是收敛的

指数衰减嘛这个可以收敛

所以导致这个积分的结果是

可以是存在解析

而且当这个频率趋于无穷大的时候

它的虚部趋于无穷大

上半平面

上半平面本来那个频率的

那个虚部值就可以往上走

越往上走虚部越大嘛

趋于无穷大的时候它就等于0

因为这是衰减没了

所以这个式子直接告诉你

这个ω是一个解析函数

说白了就是

而且是在频率很大的时候趋于0

那么它是个解析函数

就用你们的复变函数

解析函数有一个柯西定理

就是解析函数总可以写成

这么一个表达式

在解析函数存在

就是现在解析函数在上半平面

所以我们画的这个围道呢

这个环路积分

就可以在这个上半平面里的

一个围道

这是解析函数

那么解析函数就对这个极化率

对频率有一些特殊的要求

而这个式子呢

上半平面的这个围道

实际上可以不写直接围

因为它在可以在实轴上走

然后在无穷远的那个大圆上

无穷远的大圆上它都衰减没了

所以这个都衰减没了

所以就无穷远大不写

只写实轴上

实轴上它这会有一个

ω’会等于ω

有一个奇异的

那么我们把奇异的

写成这个绕开 绕一个小的

在上平面那么绕开

就把那个奇异点往下推一点

这样

就写成这个

而这个你们的复变函数里面

这个表达式可以写成它的主值

加上一个δ函数

你把它的主值那一项写出来

然后加的δ函数那一项呢

直接这个ω的积分就积出来

积出来发觉和那边的是一样

差一个二分之一

移到等号那边去

整个这个式子代进去

这个第二项的积分

和前面那一项合并出来

最后就变成这么一个结果

实际上是把这个2消掉了

就是这个柯西定理

是它解析函数

最后给出这么一个关系式

这就是我们说的色散关系

就是要求和开始的是

这个t时刻的这个极化率

只由t时刻之前的电场

和t时刻的有影响

和t时刻以后的电场没关系

最后就得出这个极化率对频率

是一个

在上平面是一个解析函数

那么解析函数

最后推出它这么一个

约束的关系

这样的约束的关系注意

这边和这边

这边是多乘了一个i

所以这边如果算的是实部

乘个i就变成这边

就是虚部

这边要是算出来要是虚部

算它的虚部乘个i就变成实部

所以这个式子实际上把这个

极化率的实部和虚部

就关联起来了

这个色散关系

那么我们下面举一个特殊的例子

看一下它怎么利用这个

把实部和虚部就能够算出来

我们刚才给出来的那个极化率

具体的是这个表达式

写出来把它分母

这个i翻到分子上

是变成这个样子

那么它的我们就给你演示一下

它怎么

这是它的实部

这个是它的虚部

利用这个

你从实部可以推出虚部

可以用虚部可以推出实部

我们就看一下怎么推出来的

那么这个式子两边都取实部

这儿一取实部这边就变成虚部了

因为有那个i 对不对

那么我们现在去

就把这个的虚部拿出来

这个虚部是这样

然后我们就算一下

那么假定这个积分能算出来

这个算出来应该是实部

应该是这个

看看是不是这个样子

那你就老老实实把这积分做

你做出来发觉

就是这个实部的这个

其中我们利用这个主值积分

这样的这个项的主值积分为0

你就直接就用这个色散关系

就用虚部就去求出实部

同样用实部也就能求出虚部

那么到此为止

我们就把这个色散关系

就给出来了

用一个例子告诉你

色散关系实部和虚部

建立的这个的这个关系

这在你某一些问题

物理问题里面

如果是实部和虚部

有一部分是很难计算的话

那你另外一部

假定是可以算的话

你就利用色散关系

就可以把从一部分推出另外一部分

那么到此为止

我们的电动力学的第六章

就全部讲完了