协变表达在线视频

这是机械动量

然后这个是正则动量

大的是叫正则动量

这是电磁势

这个机械动量

是一个自由的质点的时候

定义它的动量

然后叫四动量原来是

现在都是用张量的

某一阶的张量

具体的 现在这动量是四矢量

那么场强

刚才我们定义的

电场强度和磁场强度

看一下刚才定义的

电场强度和磁场强度

不是用四度的张量来去写的

现在我们要重新

设法把它嵌在这个张量

表述的体系里面

我们具体的

就用这个四度的矢量

和四度的时空坐标微商

定义这么一个二阶反对称张量

这是二阶张量 两个脚标

然后反对称是它对

μ和ν交换一下

出一个负号

你把它这个分量一个一个写

和刚才定义

电场强度和磁感应强度

那式子对应

这个两个

因为每一个脚标可以取四个值

所以总共有十六个

你可以把这十六个数

排成一个四乘四的矩阵排起来

因为反对称它的对角元

就是两个脚标一样它等于0

然后这一半和这一半

是差一个负号

你就会发觉是这么一个对应关系

当你写这个关系式的时候

这是二阶张量

二阶张量洛伦兹变换

就是这个变换关系

那么这个变换关系

如果是改用这个矩阵来去写

你自己去对一对

正好是把洛伦兹变换

小的a写成的矩阵

一个是前面乘一个和后面

乘一个它的转置

所以它的电磁场的洛伦兹变换

刚才我们曾经给出一个

没做推导

用这个式子

你就直接把它两个矩阵乘两次

就可以乘出刚才我们

得到的那个式子

这个关系里面

具体你仔细分析一下

这个空间部分的分量

和磁场是联系在一起的

然后这一边

时间和空间这个交叉的这些项

是和电场联系在一起的

这是用磁感应强度

和电场强度来表达

二阶的反对称张量

叫场强张量不同的分量

或者反过来用场强的不同的分量

表达磁感应强度和电场强度

这个大家自己代进去

验证验证就是了

这都是等价的

在这一步

这一步我们是把动量

化成四度的动量

这是把场强化成二阶张量

电场强度和磁感应强度

化成二阶张量

然后我们再把这个力

原来说的洛伦兹力

也设法化成张量

注意洛伦兹力实际上是

电荷密度乘上电场强度

还有一个电流密度

和磁感应强度的叉乘

所以一个是源

一个是场强

所以我们把这个场强和源

源是这个电流密度 场强

把它们进行这样一个收缩

本来这是三阶张量

收缩一次变成一阶张量

是一个四矢量

这是一个四矢量

具体的你把这个代进去

用我们的洛伦兹力公式代进去

发觉是这个样子

所以我们普通的洛伦兹力

就是这么定义

这个量前三分量

所以我们把写成这个式子

相当于是洛伦兹力的四度推导

四度的力 洛伦兹密度

然后这个是相当于是

发热的功率

这个式子我们给它证一下

为什么是这个样子

比如说我们算前三个分量fi

那么fi这个

就是这个μ是i分量

后面这个可以四个分量都求和

那么后面四个分量求和

先求空间分量

就是k是123

然后时间分量第四个分量

然后你再把fi4在这里面

这个fi4这个和E的关系

然后j4

电流的第四个分量

和ρ的关系代进去

这边fik

这个和磁感应强度的关系代进去

这个jk就是电流的空间分量

这个一写出来

结果就是它的第i个分量

那么如果它是

这是第四个分量

这是第四个分量呢

这边求和

这个求和就不能求到第四个

因为第四个

两个第四个分量合起来是

就是对角元等于0

所以这只有空间分量求和

所以这只有空间分量

然后把这个

这个项代进去

就直接就是它 就是这个

这是给它一个具体推导证明

所以我们得到洛伦兹力密度

推广成四度的洛伦兹力

然后我们再把刚才的

这个表达式

就是四度的电荷密度

是写成了一个ρ乘上dxμ/dt

这是点电荷的

这个式子还不是明显的协变的

因为这出现的不是张量

这都是分量对吧

我们下面就把它变成协变的

怎么做呢

加上一个dt的积分

把这个t一撇的积分一积掉

这个t一撇就变成t了

就是它

但是这样的话

这个就变成四度的δ函数

就是时空合起来的δ函数

也是洛伦兹不变

因为时空体积是不变

四度δ函数洛伦兹不变

然后这边呢

这个分子分母这个dt

可以直接都变成原时

因为本来dt和原时之间

就差了一个根号

一减V平方比C平方

反之分子分母各有一个

要差那个因子

两个差的因子一补上

分子分母消掉了

所以变成原时

这样的话这个表达式

就是洛伦兹协变

因为什么呢

这是一个标量

这是个标量 这是标量

这是一个四矢量

所有的量都是

都是张量的形式

这就是电荷密度的协变的定义

一个点电荷的电荷密度

而这个量又正好是四度速度

这个点粒子的四度速度

那么再有就是我们最后的

相当于是这个

带电粒子的运动方程

就是牛顿第二定律

然后那个力是洛伦兹力

我们来说

实际上它可以写成这个

这是让这个后面马上要证一下

实际上也有一部分

是让大家来作业去推

我们后面的证明

是直接从作用量推出来的结果

让大家作业证明

是用前面给出来那些关系

来证明我们那个

前面给出来的动量

机械动量随时间变化

是等于洛伦兹力

那个关系式的协变推导

是这个表达式

这个表达式里面

这个kμ可以

空间分量可以写成这个样子

具体写出来是这一大串

这是让大家底下去证明

下面我们这个结果

你看到这结果挺奇怪

我们下面直接给你从作用量

直接把这个推出来

而不是用这些关系来回倒腾

给导出来

这里面的

因为这个动量

这是对原时微商

本来的牛顿第二定律

就是动量的时间微商

但是时间不是一个协变的量

我们这个动量换成四度动量了

是一个协变的量

这个换成是原时

当换成是原时的时候

这边的力也就不是原来的力

就和原来的力差了一个这个因子

就是因为这个和原时的差别

这是四度的力

协变的力

这是一个四矢量

这是个四矢量 这是四矢量

这个标量

那么原来的那个方程

就化成是这个样子

这个样子的

这个方程的前三个分量

就是原来的那个

第四个分量按它的

是这么一个关系

所以原来的那个方程

在不同的参考系下

就是它的

这个方程是

哪个参考系都是这个样子的

那你在带撇系呢

就直接带撇的

在不带撇的参考系

空间分量就是这个

这是一个多的部分

那么在带撇的参考系下

就直接

方程样子都是一样的

同样这个力也可以

用这个k来去写

和这个的推导过程是类似的