反射透射波的波矢在线视频

好 先看反射波

反射波频率和入射波是一样

刚才这是因为反射波和入射波

都在同一个介质里

所以它的那个波矢的模

只取决于这个介质和这个频率

频率又一样 那介质又一样

那它的模就是一样的

所以都在这个里面

那它一般的按这个写

就可以写成是这样

注意 特别强调

这个是反射波

所以它的z分量

一定是一个负号了 反过来了

这是往后一走

那么这个关系里面

我们这是K3的x分量

那么我们刚才边界条件给出来

这个反射波的波矢的x分量

和入射波的是一样的

所以这是K3的x分量

K1的x分量是这个

然后K3和K1又相同

所以就是这个角和这个角是一样

这就是著名的

大家从中学就知道的反射定律

所以反射很简单 就是反射定律

这是对所有的电磁波都成立的

然后下面再看透射波

透射波频率和入射波也是一样

然后要求透射波的x分量

波矢的x分量和入射波是一样

入射波的x分量只有实部

是这个

所以透射波的波矢的实部

是等于它 虚部是等于零

然后透射波的波矢的y分量

和入射波的波矢的y分量

入射波的波矢的y分量是等于零

不管实部 虚部

所以我们透射波的波矢

本来是有六个参数

xyz 实部 虚部 六个参数

现在边界条件

就把四个参数定下来了

还剩两个

透射波本来自己还有两个方程

就是这两个方程

所以这四个知道的

再加上这两个方程

就把透射波的波矢完全定下来了

下面我们就定一下

现在在这里面

就还剩透射波的波矢的z分量的

实部和虚部对吧

你就算一下 算一下这个量

z分量的实部的平方

减去z分量虚部的平方

实部的x分量扣去实部的y分量

就是实部的z分量的平方

然后同样虚部的平方

扣去的虚部的x分量

和虚部的y分量

就是虚部的z分量的平方

整个这个和起来

就是实部的z分量的平方

减去虚部的z分量的平方

而这里边的这个项和这个项

总的实部的平方

和虚部的平方的和

就用这个关系式代进去

然后剩下的这个项

这个xy的这些

前面都知道代进去就是了

这样的话我们就得到

第一个关系式

就是我们要求的透射波的波矢的

z分量的实部和虚部的

平方差是这个关系式

这边都是知道的

然后这两个乘积

这两个乘积可以看成这个点乘

这个点乘是它的x分量

y分量和z分量三个和

你把x分量的和y分量的扣掉

剩下就是z分量的

而这个项直接用这个代进去

x分量和y分量

分别把这几个式子代进去就是了

就得到它

所以我们对透射波

z分量波矢的实部和虚部两个

得到了两个方程

两个未知数 就直接解就是了

这个解实际上有很多解

然后我们现在注意

我们是寻求这个K2R

它的z分量首先是要正的

要实的

因为这是我们原来K2R

定义它就是实的 选的实部

然后还是正的什么意思

正的意思是说

透射波在往这个里面的

它那个位相是往里走的

这是你求的物理

那要说负的它就往回走

就不是你的透射往这边走了

所以我们在这里面找这个

你就把刚才这个方程

这两个方程联合起来

找出来它的实的正的解

就是这个

实际上这块可以

本来可以取正负的

然后这块也可以取正负的

这块取正负的

这块取负的它就不是实了

就是虚的解

它的z分量的虚部是这个

这是我们得出来的这个

你看起来很复杂 一大串

后面我们仔细的来讨论

这个解会有些什么结果

我们下面就来讨论

这个解的这个情况

首先讨论简单的情况

透射的这个介质

是绝缘介质的情况

就γ2等于0的情况

γ2等于0

我们在这种反射透射的问题里

介质里面

通常在光学里面定义一个折射率

就是用它的相对介电常数

乘上相对磁导率

再开方这是折射率

或者是就是普通的

完全的介电常数乘磁导率开方

再乘上一个光速C

真空中的光速 这是折射率

那么假定这是绝缘介质的话

K2的大小也可以写成是这样

跟K1类似 把1换成2就是了

它就可以用折射率除上光速

乘上ω来去写

而这个两边都是绝缘介质

两个的波矢的模的大小比

实际上就是它的折射率的比值

好 然后我们看这个式子

这个式子里面

这个如果是导电就会

根号里面再开根号

就会多出这个项

如果是绝缘介质那这项就没有了

这个项就开方就可以开出来了

对不对

但是开方出来你要小心

这个开方取正号

是要求开完了以后

要保证开方完

这开出来这个数是正的

不能取负的 你这取这

你拿出来了以后

里面还取个负的那就不行

好 所以我这加了一个

绝对值的模

是表示这时候是开方开出来的

在绝缘介质

必须这个项哪个放在前面

必须要保证这个绝对值号拿掉

它是正的

就是要最后这个拿掉以后

后面这项是正的

因为是根号开出来的

这是有讲究的 不是随便能够

那么另外一个那个它的虚部

直接也是类似的来去做

虚部本来是说

这不是γ2等于0吗

这个就直接取成0就完了

没那么简单

如果这个取成0是这个等于0

是在这个分母

是不等于0的情况下

是一个有限的数的时候

这个直接就等于0 没问题

但是后面我们会看到

在某些情况下

分母也可能等于0

那个时候就变成0比0

所以这个时候不能轻易取成0

我们来一个一个看

先看这个这是结果

那么这个时候

我们注意到这个里面

把这个绝对值号拿掉

要保证正的

那就取决于这项大还是这项大

对不对

这个θ角是和入射角有关的

先不看这个

那么先至少这两项

说的这项大 这项大

这和入射的没关系

那么我们就分两种情况

一个是这项大 一个是这项大

如果是这项大 这是什么意思

这项是这个说明是n2大于n1

就是由光疏的介质

通向叫做光密的介质

光疏光密是说它的折射率大和小

这是有一个光疏的介质是

比如说我们现在的光线

射到这个地板上

这个地板就相对于这个

我们的空气就是光密介质

是光疏射到光密

就是现在我们这个光

或者射到人身上也是这个样子

那么这时候这个东西大于它

那么这个又是小于1的

θ1这个是小于1的

所以整个这个和起来就比它小

所以这个东西拿掉以后

就是这个放在前面

这个东西减它

就和它是完全一样的

所以加一个2倍

就把这个2消掉了

所以整个这个就是它

那么这项这也是2倍

这个就是不等于0的

所以这个上面直接

可以安全取成0

所以K2的z分量的虚部

直接就等于0 这是什么意思呢

本来K2的那个虚部的x分量

和y分量都等于0了

现在z分量

在虚部的z分量再等于0

就是透射波根本就没有衰减

这时候就是电磁波

就是在透过去的

像通常一个绝缘介质一样

直接往里走就是了

好 既然是这样

我们这个K2在这个里面

又没有衰减

它就有一个实的一个矢量

那么这个实的矢量

它又没有y分量

就在这个平面里的矢量

我们就可以人为的写一个角度

它和这个z轴的夹角

然后因为它是xy分量

就是一个x分量 一个y分量

然后它的模刚才是给是出来K2

在这呢 就直接写成这个就是了

这个K2的模代进去

就这个表达式

这个θ2就是通常叫折射角

或者透射的那个角度

那么这个θ2怎么定呢

因为这个就是K2x

我们边界条件是K2x等于K1x

所以这一部分

就把它和1的那部分相同

这个式子实际上写出来

就是我们的折射定律

这样就是大家中学就学的

折射定律就有了 这是电磁波

注意 在这个折射定律里面

这个θ2是要求的对不对

求出来的

你把这个N2除过来

现在是N2大于N1

这个θ1又小于

所以整个这个这是小于

乘起来是一个小于1的数

这个乘起来是小于1的数

保证这个θ2

能够解出一个实的数值

因为sinθ一定是小于1的

如果你这个算出来的

是一个大于1的

这个θ2就没有实的解了

所以现在是θ2

是可以很好的解出来一个解的

而且你会发觉这个

因为是这个关系 n大 θ小

也就是说如果是看这个水面

这是光疏到光密

这个θ是和这个的夹角

那么就是你会发觉这个电磁波

我们现在说的光线

都是往下这么偏

往下偏意思是什么意思呢

但是你的感受

直接的感受的光线

是直线这么下来的

如果这块有一个目标

一条鱼的话

那么你的感受是在这

但是实际上它是因为折射往下

底下是更密的 底下更密

它的折射角就更小

就这个角是比这个角要小

所以就往下偏

往下偏这个实际的在底下

所以我们通常捞水里的鱼

你看着这个你就手这么伸

实际上比你要深一点

你总也捞不着基本上

就是你得比你想象的要更深一点

才真有可能去捞到它

这是第一种情况

这个光疏到光密

然后那么另外一种情况就反过来

光密到光疏

就是第二种介质的折射率

要小于第一种折射率

那么这个比它大

这里面是这一项比这一项大

那要把这个绝对值符号拿出来

你会发觉这项虽然比它大

但是后面又乘一个小于1的数

所以还不确定

就是乘的这个角是多大

这一项的贡献

有可能使整个这个项比它大

也可能这个东西足够小又把它

虽然它比它大

和起来又比它小了

所以又进一步分两种情况

当这个是从光密到光疏的时候

就是这个比它大的时候

我们先不考虑角度比较小的情况

虽然这个是比它大

但是我们要求这个角度足够小

小到什么程度 满足这个条件

就是让它和起来还是比它小

虽然这项比它大

但是和起来比它小

那么这个角度小的条件

临界的就是sinθ1等于这个

一般的是θ1小于它

这是虽然是光密到光疏

但这是小角度的入射

这个这时候当这个足够小的时候

满足这个条件的时候

这个和起来比它小

所以把这个拿出来的时候

还是因为这个项大 这个项小

所以还是这个东西减它

跟刚才那个情况是一样的

就是现在虽然是光密到光疏

但是因为一个入射角足够小

所以这个项拿出来

还是这两个和在一起

就跟刚才的情况完全一样

然后这个项也是这样

这个是等于 还是刚才这个结果

就是光密到光疏

在小角度入射的时候到底多小

就是这个来去决定

和刚才的情况完全是一样的

还是折射定律这些都成立

那么刚才的这个条件

就化成这个式子

那个极限是这个东西小于1

这个东西小于1

所以这时候的那个折射定律成立

那个透射的这个角度

还是有一个实的解

还是能够解出来的

好 还有第三种情况

还是光密到光疏

就是这个东西不成立了

就反过来了

就是这个角度不那么小

就这个条件

这时候你就会发觉

我们得到的透射波的

波矢的z分量

这时候就是这个比它大了对不对

这个一拿掉就变成这个是正的

这是负的

正好和它这个差一个负号

一减就没有了

这个东西等于0

然后这个就更奇葩了

这个东西一减这个也是等于0

分母是0 分子也是0

因为γ是趋于0 那怎么办

这个东西不会算 0比0

那么我们就要回来

注意分母原本上不是0的

原本上是有一个γ的贡献的

对不对 我们现在是分母

γ一开始取成0

那你就回到原来γ不等于0的时候

回到γ不等于0是这个结果

然后我们怎么做呢

我们把这个东西先提出来

把这个东西提出来

γ留在这 展到1阶

然后提出来的那个0阶项

两个就抵消掉了

剩下展到了1阶留下来

1阶的项和它这两个γ2

就可以除掉了

这个一除除出来了

就得到这个结果

就是我先对一个小的γ2搁在那

但是这个小

然后去做这个展开

保留到底下的这个γ2的

这个平方这个项

然后前面这个消掉

最后你会发觉

保留到γ2平方项的时候

分子分母的两个γ2都消掉了

最后就得到这个

这时候γ2再去乘这个

所以最后很奇怪的时候

这个时候透射波的波矢的

虚部的z分量是不等于0的

是等于它

而我们刚才说在这种情况

这个东西是大于它的

所以这个是一个实的数

那么我们就得到

透射波的波矢的虚部

是沿z方向的

因为它的xy分量都等于0

它是什么意思

这个透射波在z方向是衰减的

实部只有x分量

因为它和入射波的x分量

实部x分量是一样的

没有y分量

这个z分量是等于0

所以我们最后

就得到这么一个结果

透射波实部是有x分量

然后虚部是有z分量

就是这个透射波的波

实部也就是沿着这个x轴

这么传播

但是往z方向是衰减的

越往里面衰减

这个透射波实际上

根本就没往里传

是沿着 贴着界面这么走的

你可以算一下

这个透射波的这个速度

好 这是这个情况

就对应了所谓的全反射

实际上刚才的这个

临界的这个值相等的这个时候

这就是全反射的那个角度

这时候就全反射这个入射波

实际上从光密到光疏

实际上根本就没进去

它就是在界面说有一个波这么传

这时候时这个透射的介质

还是绝缘介质

我们说前面解那个方程边界条件

曾经说过绝缘介质

不一定没有衰减的电磁波

这就是绝缘介质

是可以有衰减电磁波

但是那个方程要求的是

如果是有衰减的话

它的衰减的方向

和传播的方向是垂直的

在这里面就是衰减方向是z方向

传播方向是沿着界面的x方向

好 如果是这个透射的介质

根本是导电的那就更复杂了

导电的就这个东西不等于0

反正它是斜的可以往里走

这个透射波的有实部波矢

有z分量有x分量

所以有z分量 有x分量

它位相传播是这么斜着进去的

然后衰减是z分量

就是沿着z分量是衰减的

就是往里越传越衰减就是这样

好 这个波矢的情况

基本上我们就说完了