电磁场在线视频

好 我们就得到了推迟势

其中这个R*就是场点的矢量

减去到推迟时刻的

在的那个位置的

就是从推迟时刻到场点的矢量

这是这样

那么剩下就算它的电磁场

电场和磁场

那么要紧

就要对这里面的空间坐标微商

时间坐标微商

这个空间坐标微商

时间坐标微商

麻烦在什么地方呢

麻烦在这个里面的R*

都是依赖于R*

R*是一个方程的解

它是通过那个方程的*

通过这个方程的解

来隐含的依赖于t和R的场点的

那个方程我还不会解呢

或者说我都还没解

所以这麻烦就麻烦在这

那么人们发明了一些巧的办法

因为这里面算电场和磁场

无非就是算这些量的

有空间微商 时间微商

无非就是这些

那么我们就把这里面

所有的出现的

空间微商和时间微商

都搜罗搜罗

然后找一堆关系

然后把这些空间微商中间

相互的关系建立起一组方程

最后你又会发觉

虽然我还不知道这个R*

对空间坐标和时间坐标微商

我还不会

但是我们就可以形势的用这些R*

什么v*这些量

把要算的这些微商来去表达出来

具体的我给大家看一下

我们算 实际上算这几个量

大的R*对时间的微商

大的R*对空间微商

然后t*对时间微商

然后t*对空间微商

这四个量

只要最基础这四个量

这四个量

我们发觉它正好有四个方程

四个方程四个量

就全都解出来了

我们现在就具体算一下

这个R*是它的模

对时间微商

乘上一个R*除上一个R*

这个二倍的

这R*的平方有两个微商分别微

两个是一样的

微完了就是它

然后这R*的平方

可以变成R*点矢量点乘

自己点乘自己

那么矢量点乘自己

又是两项是一样的

其中微一个就行了

这个2拿掉

那么微一个

这个R*的矢量就变成是这个

它对t的微商

这个就不对t微商

只有剩下这个小的r*对t微商

就变成是这个了

R*对t的微商

R*是通过t*来依赖于t的

所以就R*先对t*微商

t*再对t微商这样

而这个R*对t*的微商就是v*

就是推迟时刻那时候的速度

所以就是v*点乘这个R然后t*

这样这第一个方程式

就把我们说的

这个大的R*的模对时间的微商

和t*对时间的微商联系起来

剩下的中间这是一个系数

这是一个方程

第二个方程算它的空间微商

也是变成平方

然后变成两个的

这个和这个的差别

就是这是变成矢量

又变成分别的一项一项微

把那个2去掉

这个R又可以用这个代进去

这个梯度

微前面贡献一个单位张量

微后面的这个

它是对空间坐标微商

也是先通过t*

先是R*对t*微商

t*再对空间坐标微商

就是写成这个样子

这样的话

这个又是微*写进去

所以这个式子就把

大的这个R*的模

对空间坐标微商

和t*对空间坐标的微商

联系起来了

剩下这些都是知道的

另外这两个式子

这个式子两边对t微商

这个式子两边对空间坐标微商

就是这个

这样你看我们说的四个量

就有四个方程

一 二 三 四 四个方程

这四个量一下就解出来了

你解一下线性方程

解出来就是这样

t*对t R*对t

t*对空间坐标

R*对空间坐标这四个

这是解出来的结果

有了这个

这是R*的模 大的R*

R*的矢量

刚才我们实际上是推了

这个矢量的微商

它对t的微商

就是这个负的

小的r*对t的微商

小的r*的微商先对t* t*再对t

这个是v*

然后t*对t在这里面有了

这个抄下来

所有矢量的除了模对t的

矢量的对t的微商就是这个

然后矢量的对空间的

也是这样

先微这个

这出来一个二阶的单位张量

然后这个对空间

先对t*微商 t*再对这个

而t*对这个的微商抄下来

这个也就有了

所以所有

算这个微商所需要的辅助的

这些在这里就全都表达

最后都是用这些东西表达出来了

那么剩下你再做微商

你就老老实实一步一步的

复合函数就代就是了

这个细节就不说

直接写结果

把有了这些为基础

代到这个里面算微商

一个一个的用这个去微

结果就得到这样的一个结果

电场强度这个式子

就是这个表达式

磁感应强度更长

但是可以化成用

电场强度来去表达就是

这里面出现了a*

就是推迟时刻那块的加速度

然后这里面分母的这个S*

是这一大串

其中这个是注意到

在当R很远的时候

这个S是R的一次的 R很远

这个是比掉的

这是一次的

所以这个分母是R的三次方

这分子是R的一次方

这是R平方分之一

这个是R的三次方

这是R平方

这是R分之一

那么R平方之一

这是通常的场

这个就是辐射场

这是非辐射场

那么相应的电场可以分成

辐射场和非辐射场

磁场因为是简单的

和它叉乘起来

也是分成非辐射场和辐射场

那么说一下

我们现在的这个电磁场就是

它的很重要特点呢

点电荷因为

都是以球面波的形势

然后这个球面波的电磁波

是以光速往外

持续的往外发的

那么就是一层一层的往外发

因为它持续的往外发

而这个球面波的

在这个球面上

不同地方的电场强度

和磁场强度是不一样的

依赖于

从这个式子里看依赖于原始

那块发出来的

那个源的电荷的速度

加速度还有观察的方向

这有叉乘有加速度 有速度

有各种各样的式子

那么我们通常说的静电场

实际上你看一个电荷

发出的静电场

我们感觉就是永恒的

搁在那不随时间变化

实际上从这个角度看

实际上一个电荷即使静止在那

它是不断的在往外发电磁场

然后你的静电场是

不断的不断的

那个场在扫过去

最后看起来是一个稳恒的状态

你好像是一个静电场

是这么一个样子

好 然后我们做些更

稍微详细一点的讨论

我们知道刚才

一个任意运动的点电荷

它的电场强度分为

辐射场和非辐射场

相应的磁感应强度

也分为辐射 非辐射场

具体写下来

电场的非辐射场部分是这个样子

辐射场部分是这样

那么磁感应强度非辐射场和

辐射场波动和电场

是这么相关的

那么我们就做一些简化

在这里面出现了挺复杂的

这样的式子

我们就把这个式子定义成

这么一个大的R

原来是带*的

带*就表示推迟时刻的势

这个大的R是从推迟时刻的源

电荷在的位置到场点的那个距离

这个大的R没有*

后面我们会看到 在

至少在匀速直线运动的情况下

它就和推迟时刻没有关系了

就和现在在的时刻的那个粒子

t时刻在的位置可以关联起来

那么这个式子右边乘上

点乘上一个v*

这个就变成是这样

然后再把这个式子

自己做一个平方

两边自己点乘上自己

一做平方这个式子就是

这个的平方交叉项

这个的平方就是这一项

这个平方就是这一项

交叉项就是这个项

然后在这个里面

这个项R*点乘v*

就可以用这个式子代进去

这个式子把这个移到

等号的这边去

把这个*号的这个

换成这个不带*号

还多了这一项

多了这项正好

把这里面的加号变成减号了

这样的话这个式子

把这个移到等号另外一边去

这个移到等号另外一边去

这个式子就变成这一串

然后我们在这里面

出现的是这个S*

这个S*的原始是这么定义的

这涉及到R*点成v*

这个R*点成v*

同样把这个式子代进去

把R*点乘v*换成R点乘v*

然后多了这一个项写在这

组合一下 合并同类项

就变成这样的项

然后这么算出来的

这个S*把它平方

两边做一下平方

平方一下就是

一个是这个项的平方

一个是这个项的平方

这项平方在这

这项平方在这

两个的交叉项写在这

好 我们刚才得到

这S*的平方就在这

这个S*刚才得到这个关系式

还得到这个关系式

这是做一些化简

这里面的这个项

就利用这个项

注意这是1减v*平方

比c平方的平方

这里面只有一次

所以有一个留下来

还剩下一个和它乘起来

就代这个式子抄下来

上面这两项就抄下来

那么在这里面

你就会发觉这里面的R*

这个项和这个项就消掉了

剩下只有这个项和这项

也就是R*在这里面就没有了

就剩下这个项

所以它这里面大的R*都没有

只剩下

因为不出现这个R*

所以我本来是S加个*

我也可以加一个

把那S*去掉

*去掉就是去的

要求是去的这个大R的

那个*的表达式

所以现在有了这么一个表达式

非辐射场的部分

又可以写成这个样子

其中我们把这里边这个S

换成用这个表达了

好 这是刚才的非辐射场

就可以写成是这个样子

其中S是这个表达式

这的R和原来的R*

是这么一个关系式

那你说你整了这么一大堆

干什么用呢

我们回到匀速直线运动

本来是任意运动的

匀速直线运动

你那个原点选好了

就是t等于0是在原点的话

R0t就是这个 这个v

那么注意匀速直线运动是

任意时刻它的速度都是那个v

所以推迟时刻也是这个v

然后它的R*

就是R*和t*就是

也是这个关系

只不过R*就是在

推迟时刻时候的那个位置

这换成t*就是了

就是这个

那么它的R*和t减t*

原来的这些关系都在这

那么我们现在按

这样的话看一下

这个定义的大的R

原来说这个大R这么写

好像还是明显含

这都是推迟时刻的

但是在匀速直线运动

这个*已经可以不要了

因为速度都是一样的

和推不推迟时刻都是一样

但是这个*还在

我们来证明

这么定义在匀速直线运动

那个*就可以去掉了

因为这个大的R*是r减r*

然后这个R*的模在这里

就是这个t减t*

然后乘上这个

t减t*乘上c

这个c和它c约掉了

剩下这个v*

而正好这个r*

和t*v*是消掉的对不对

负的r*真的t* v*

就是这个

所以这个对r*的

对*的依赖就消掉

剩下就是r减vt

这个r是什么

坐标原点到场点的距离

这是t时刻的

这都和推迟时刻没关系了

所以在这个表达

用这个大的R来去写

至少对匀速直线运动

它可以消掉推迟时刻

推迟时刻麻烦在

就是你得进行一个复杂的折算

折算到那个推迟的

现在都是用场点

在现在这个时刻的量来去表达

那么这样的话

我们再看非辐射场

这个时候 这个表达式

现在对匀速直线运动来去看

它R就变成是这个量

那么注意到在这里面

S和R是这个关系

我们就把它分几种情况

首先看电场

我们要求在平行于

v的方向来去看

现在平行v的方向看

如果平行v的方向看

R点乘v*就是和R乘上v一样了

对不对

然后一平方

这就是v平方比c平方

这一项和这一项就消掉了

这一项和这

在R平行的时候

就没有那个夹角了

没cosθ的时候

这两项就消掉了

所以这时候S就是等于R

那么什么意思呢

这时候的S就等于R

这是R的三次方R

然后就是这个

在平行的方向看

就是电荷在平行的方向

就是沿着v是往这边运动假设它

那么就沿着这个方向看

它就比一个静态的

一个电荷的电场

多了这么一个因子

这个是一个小于1的因子

然后越趋于光速

它就越小对不对

所以这意思是什么呢它比

假如静态的

它是一个库伦定律

四周是对称的

各处的出的场强度都是一样的

我写成一样长的矢量

但是在高速运动

特别是趋近于光速

在这个方向上就很短

就很扁 是这样

然后磁场的这个呢

你平行于这个的时候

R是平行于v

这要一叉乘就等于0

就是平行于这个

这个方向是没有磁场的

然后看垂直于

垂直就是这么看 侧面看

假定这个粒子这么运动

我从侧面看

侧面看R垂直于v

这项就没有了

所以这个S就相当于是

R多了一个根号因子对不对

所以垂直看

这个S是多了一个根号因子

这是根号的三次方

这是二分之三次方

这是一次方

所以最后除出来

就多了一个分母

多了一个根号因子

所以垂直的方向

当v趋于c的时候

这是大于1的

就垂直的方向

在这个侧面看

它比那个静态的这个要强

就在侧面

我这个粒子

当匀速这么走的时候

在这个方向的场是减弱的

在这个方向

在侧面的方向是增强的

是这样

而磁场你算一算

它也是这个增强

就是侧面的是增强

所以告诉你一个图像

一个粒子产生的场

就看匀速运动

它在静态的时候

它这个场是一个

像一个球似的均匀的

当速度越来越高

它沿的运动方向

那个就越来越扁

然后侧面就越来越强

就到高速的时候

快相对论变成一个大扁片

一个大饼似的

所以我们高速运动的粒子

实际上不是两个球相撞

实际上是两个大扁片在那是这样

然后再看

这是看了它的非辐射场的部分

然后看再算它的辐射场

辐射场表达是这个样子的

辐射场注意到

它和R*是垂直的

因为这是叉乘

一点乘是等于0

我们可以定义一个R*的单位矢量

就是从推迟时刻

指向场点的那个方向

所以这个辐射场

是和那个方向是垂直的

那么从这个式子看

它要有加速度

所以有加速度就会有辐射

那有的人问

没加速度什么意思

就刚才我们讨论匀速运动

会不会有辐射场

那匀速运动不是这等于0

看出来这等于0

也不一定

因为匀速运动a等于0

如果这个也等于0

它还可能有贡献

那么我们具体的看

它这个分母是出现的什么

是这个东西

要等于0

这块实际上就是你拿出来

这是一个n*

1减去n*点乘v*除上c

如果n*点乘v*是等于1的

除上v比c是等于1的话

这块就变成0：0了

就可能非零了

那么后面我们讨论

切伦科夫辐射

就是这个样子

就是切伦科夫辐射

就是这个东西等于1

它那个时候是匀速运动

但是可以有辐射场

这后面再去说

现在我们算一下它的能流密度

实际上这个都互相是垂直的

都是沿着n*那个方向

你就直接算电场

电场强度的平方就行了

自己模平方

算出来写出来用n*来表达

就是这么一个挺复杂的式子

要平方