伦敦方程，理想导体及迈斯纳效应在线视频

大家好

我们现在开始介绍

电动力学第四章

电磁波的辐射的第三节

有效光子质量

这一节是我们在

传统的经典的

电磁场理论基础上

为了和科学研究的前沿相接轨

稍稍做的一些拓展

我们在这一节里面

介绍四部分的内容

首先谈一下伦敦方程

理想导体和迈斯纳效应

然后谈一下

有效光子质量与超导的关系

零磁场与超导的关系

在前面这些计算和讨论

是在洛伦兹规范下进行的

然后我们再超越这个洛伦兹规范

给出所谓满足规范不变的

理论的体系描述

最后谈一下有效光子质量的起源

我们在上一节里面提到了

光子的有效质量

在现实世界在真空中

到现在为止

科学家们也没有测到

在真空中传播的光子具有质量

我们所有的试验都给出来的是

光子质量的上限

我们还提到过

在我们这个宇宙演化到

现在的一百多亿年的

这个时间里面

我们可能最大最大所能

估算出的光子的非零质量是多少

因此我们现在主流是认为

在我们的这个自然界

光子就是严格的没质量的

因此我们所有推导出来的

都是波动方程

而不应该加那个光子的质量相

那么这个就是我们

从麦克斯韦方程组推出来的

不加规范固定条件的

矢量势和标量势所满足的方程

那么我们现在方程的右边

是这个空间所出现的

电流密度和电荷密度

这个时候你可以是有介质

也可以没介质

有介质只是把介质上的

极化电和磁化电流

都放在这个电荷密度

和电流密度里面就完了

这样的方程

你很容易去验证

它是具有规范不变性的

什么意思

就是说这里面的A和Ф

你做这么一个变换

所谓的规范变换

A里面多加一个梯度的项

Ф里面多加一个

时间微商的这样的项

这个方程是不变的

就是对A一撇Ф一撇

同样的这个方程

也就是新加的这个项

在这个方程里面互相都

相互抵消掉了

因此这个方程是规范不变的

既然真空中

这是对应的实际上是

没有质量的光子所满足的

这个电磁势的方程

刚才说过了

在真空中到现在为止

实验都没有发现光子有质量

哪怕是一点点微小的质量

因此我们都承认

在真空中的光子就是没质量的

但是在这种情况下

你讨论光子质量

还有什么意义呢

虽然真空里面光子可以没质量

但是电磁场跑到介质上

介质可以有效的

对光子贡献一个质量

这是有可能的

因此在这一节里面

我们就所关心的是

假定某种介质

它具有这样的特性

电磁上跑到上面

光子跑到这个介质上

它就变成有质量了

有一点小小的质量了

那么我们问这样的介质

是一个什么样的介质

那么这个质量是怎么回事

这是我们这一节所关心的问题

虽然在真空里面

我们知道光子是没有质量的

但是我们可以看介质上

光子有质量

这些质量的效应

好 那么我们就假定

这个介质上一开始

没有电荷电流

没有这个电荷电流

那么但是呢

这上的介质电磁场

在这个介质上唯一的效果

就是有了质量

有了质量就是在这里面的

对应的波动算符的这个项

都加了一个常数项

我们前面说波动方程

就这个东西等于零

然后如果是有质量的

这多加一个质量项

为什么这块是质量项呢

我们以前也说过

你拿量子物理里的微商

和能动量的对应

这个空间微商和动量对应

时间微商和能量对应

如果是没有这一项

这个东西等于零

直接就是对应零质量的

一个粒子的质壳条件

如果是有这个质量呢

有这个项呢

这个中括号里面这个等于零

就对应一个有质量

质量为m的这样的粒子的

质壳条件

所以光子如果是有质量的话

就多加了这一项

我们现在要求这个介质

是一种导电的介质

就是在上面有欧姆定律

这个电导率不等于零

这样假定在某种导电介质里面

它的电磁场到上面

它的方程就变成这样了

这个方程是一般的电磁场

都满足了的方程

不管是什么介质

都是这个方程

这个是这种导电介质特别的

满足的方程

那么这里面我们现在说的

唯一的和这个不同

就是这个光子多了质量项

然后这边的电荷电流是没有

就是这么一个性质

下面我们就看这样的介质

因为它和一般的不一样的

就是多了这只是

希望看到这个质量

有些什么物理的效应

这个介质是个什么介质

我们后面会发觉

这个介质实际上是我们

经常能听说的

所谓的超导体

这个方程是一类特殊的介质

这个是一般的方程

包括介质包括什么都可以

那么这个方程

也应该和这个方程

也是这个方程的一个子部分

对不对

因为这是一个特例

那么既然是一个子部分

我们就把这个方程

和这个方程对照一下

那么这个方程里面少了这个项

但是多了这个项

那么我们把多的这个项

移到等号这边去

这两个方程不就一样了吗

所以这两个方程一对比

我们就能对出来

这个方程这个光子的质量项

实际上有效的相当于是贡献了

在这个介质里贡献了一些

电荷和电流

这个电荷电流

这个j的这个项

就是从这过来的

把它移过来就是这个式子

这个ρ的这个项

就是在这里面

就是从这过来

移过来就是这个式子

就是在这样的介质里面

光子质量贡献了

有效的电荷或电流

在这个介质上

具体就是这个式子

好 这是相当于这个介质上的

电磁性质方程

就和我们在一般的

麦克斯韦方程组建立的时候

介质的麦克斯韦方程组建立

提出来的所谓的D等于εE

B等于uH类似的

这个介质的电磁性质方程是这个

那么注意到写成这个样子的时候

你会说那你既然说是

电荷电流是这样

电荷电流一般是满足

电荷守恒定律的

你这会不会

对电荷守恒定律有破坏

那么我们就算一下

把这个阶的偏ρt

这是电荷守恒

你把这个带进去

最后就变成它是这么一个式子

他们有一个共同的系数提出来

和光子质量有关的

那提出来你就发觉

如果电荷是守恒的话

在这里面的A和Ф

就必须这个组合是等于零

这个组合是什么啊

是我们的洛伦兹规范的

规范固定条件

就是说这个介质上的电荷电流

如果是不违反一般的

电荷守恒定律的话

我们讨论这个介质上的

电磁场的性质

必须是在洛伦兹规范下讨论

否则的话就不对

那么我们前面几部分

先在洛伦兹规范讨论

后面我们设法来去

超越这个洛伦兹规范

来继续讨论

再有一个性质来去说

注意到本来这个方程

一般是满足规范不变的

这个电荷密度和电流密度

在规范变化下是不变的量

是一个物理观测的量

但是A和Ф

矢量势和标量势

在规范变化是变化的

如果这个介质的

电磁性质是这样的

这边再规范变化是不变的

这边再规范变化是变的

你做了一个变化

这个式子就不对了

又加了一些项

所以如果你承认这个式子

这时候这个体系的

规范对称性就没有了

就是你不能做规范变化

一做了变化它就变了就不对了

所以对这样一个体系

当有这个关系的时候

规范对称性是破坏了

后面我们会看到

这个规范对称性破坏

实际上某种意义上是一种假象

我们可以把这个体系

修改一下它的描述

给它变成是规范不变

这后面再去说

那么从这个角度来去说

电荷守恒要求取洛伦兹规范

本来即使是假定你那个体系是

规范不变的

当你取了一个特殊的规范

就是电场矢量势和标量势

给了一个特定的约束条件以后

它也就不是规范不变的了

所以从这个两个角度看

这个体系的规范对称性

都是明显破坏的

因为这是物理的要求

就取洛伦兹规范

一取洛伦兹规范

这项就等于零

这个C平方分之一

就是这个μ0ε0

这项就没有

所以这个方程就简化了

就是纯波动方程

看一下有没有

这项就没有

本来你还可以说

这加这个项

怎么是波动方程

还多了这些项

但是我们在里面就看到

这个电荷守恒

就要求这些多的这项

根本就没贡献

所以现在的方程是这个样子

对这样的这个体系

电磁场在它的这个介质上面

它的矢量势标量势

满足这个方程

然后这是洛伦兹规范

规范固定条件

它保障这个体系是电荷守恒的

然后电磁性质方程

是这个样子

好 我们下面就从

这些方程里面

看看推这个体系的电磁性质

是啥样

首先算一下什么呢

在这个式子上两边做旋度

这个式子两边做旋度

就变成是这个样子

然后这个因为是导体

我们现在说是导电的介质

可以用欧姆定律

阶等于Υe

我们认为是均匀的导体

所以这个Υ可以拿出去

就变成E的旋度

E的旋度按法拉第

电磁感应定律

可以换成负偏B偏t

这边做旋度

A的旋度就是磁感应强度

所以这头这个项和这个项

合起来的解就是变成是这样的

它是一个对磁感应强度

这上头的磁感应强度对时间的

一阶的微分方程

它出来在任何一个点

假定这个

因为现在我们是Υ不等于零

然后这个光子质量不等于零

剩下都是物理常数

那么这些都是不等于零的

都是正的

那么什么意思呢

只要这个介质上

某个地方有磁场

那么这个磁场就是

随时间指数在上升的

对不对

除非什么时候

它会不是上升的呢

只有可能是当这个Υ

等于无穷大的时候

它才不会上升

否则的话Υ等于无穷大

就是理想导体

先不说是超导体

是理想导体

Υ等于无穷大的时候

它这个磁场就不随时间变化

否则的话如果Υ是有限大

这个磁场就会任何一个地方

它都会随着时间就变得无穷大

再有这个式子里面

红着写的这两部分

这是通常大家如果要是知道

一点超导的知识的话

这是在描述超导的

唯象方程里面的

一个著名的

叫伦敦第二方程

就是伦敦第二方程告诉你

在这个超导体上

电流密度的旋度

和它的磁感应强度成比例关系

这个负的系数

那么这是第一部分

第二个这个是我们前面

讨论过的

对于一个导体上的电荷密度

把电荷守恒

再用到库伦定律的那个关系式

最后就得到一个

关于电荷密度随时间变化关系

就是在导体上

在随时间变化的时候

所有的导体上的电荷

任何一点电荷

随时间都是指数衰减的

这是原来得到的这个结果

它意味着什么呢

你在导体中间

只要这个电导率是不等于零

是导体的话

电荷密度只是衰减

那么你要考虑时间长一点

那个里面的电荷就没有了

电荷就只能在表面上

在里面是没有了

所以从这个意义上说

如果我这个介质

我不是看开始那一瞬间

是看后面某一段时间的话

这个ρ原则上都可以取成零

因为它已经快衰减没了

所以这时候在这个介质上

只要是导体我总是可以取

这个j的散度都是等于零

就是在时间比较长的那时候

总可以取j的散度是等于零

然后这是我们前面给出来的

用标量势和矢量势表达出来的

电场强度的表达式

那么再说一个

这个ρ可以取成零

ρ一取成零

这个Ф也就取成零

就是在这个介质上

这种导体介质上

ρ和Ф你就可以不考虑

在时间比较长的时候

因为这些都可以不要

那么回来说这个式子

这个式子如果时间比较长

这Ф都可以不考虑

Ф可以去成零

就是偏A偏t

A又和j有这个关系

把这个系数除过来

就变成是这种关系

就是电场强度和电流密度的

时间变化率成一个比例关系

这个是在超导体里面

是另外一个著名的描述超导的

唯象方程

叫伦敦第一方程

在早年伦敦描述超导体

很重要就用了两个方程

一个是伦敦第一方程

就是这个式子

当然它那个是一个常数

它那里的系数

和我们这里写的系数

它那个是在唯象上

描述的一些系数

我们现在是用光子质量来去写

就这个方程和这个方程

所以从这块看

似乎我们现在这个方程

已经把描述超导体的伦敦方程

全都出来了

那么我们对应的描述这个材料

似乎就应该是超导体

超导体实际上是两个性质

最重要的

一个是它是理想导体

就是它的电导率是无穷大

电阻失灵

光是这个还不行

这只是说它是理想导体

还有一个是磁场

在里面是衰减的

所谓迈斯纳效应

下面我们就要来看

来去证明它

确实电导率是无穷大

然后它的磁场里面是衰减的

其实从这已经能看出来一点

如果这个电导率不是无穷大

这个磁场里面就会无穷大

好像磁场在这个介质

会跑到无穷大

这个好像没有看到过

所以从这个角度来说

这块已经是

有点说明了它的电导率

是无穷大

我们再从另外一个角度

来去看这个事情

用这个欧姆定律

然后再把这个伦敦第一方程

代进去

刚才推出来的

这个就给出一个

关于电流密度的

又是一个一阶的微分方程

它的解是这样的

注意这是正号

什么意思

在这个导体上就会有电流

对不对

但是如果初始

就开始有一点电流

那么如果这个电导率

不是无穷大

这都是有限的

那么它的这个电流

会随时间也是指数生长

就是电流会越来越大越来越强

最后那就肯定是崩溃了

就是有限的初始电流

随时间就会无穷增强

这在实际上显然是没看到的

那么怎么阻止它无穷的增强呢

一种是这个项是没有

那么这个项没有

就不是我们讨论的介质

我们现在就要讨论

这个东西非零的

那么剩下一个呢

就是这个只有可能Υ

是无穷大

Υ无穷大

这个东西等于零

这个就没有了

所以这个导体上的电流

要维持是一个有限的

而不跑到无穷大

它就必须要求

它是一个理想导体

这时候电流是一个恒定的值

那么当然还有一种情况

一开始这个就不放电流

那我们就

在里面我们就不讨论

一开始不放电流

我们现在讨论

就是一开始有电流的这个情况

那么这个时候

我们得到对这个理想导体

电流是一个稳定的

不随时间变化的

那么偏j偏t等于零

那么电场强度等于零

所以导体上是没有电场的

实际上也很自然

在这里面

这Υ是无穷大

这个要是有限的

这个电场必须是零对不对

实际上这已经是超导体

有点意思了

剩下还有磁场的部分内容

要去讨论

好 这是我们刚才得到的

这些结果

现在这个A就可以直接换成j

这是对j

然后我们又说出来

因为Υ无穷大

j是不随时间变化的

所以这项就没有了

所以这个方程就变成

j就变成这个方程

然后偏ρ偏t又等于零

电荷守恒告诉你

j的散度是等于零

j不随时间变化

j和它

然后电场是等于零

这些都是我们刚才得到的

然后我们看磁场

这个里面的

这是安培环路定理

那个偏E偏t

偏E偏t是等于零

因为电场是等于零

所以这个麦克斯韦方程组

这个安培环路定律

写成这个样子

然后这个B是等于A的旋度

A又换成是j

所以B又和它是这个关系

你把这个塞到这个里面去

两次叉乘

两次叉乘有两个倒三角

▽去点乘就是这个平方

还有一个是一个▽

和这个B去点乘

代这个方程

然后把这个要乘过来

最后就变成这个方程

所以这上面磁感应强度

实际上从这可以看出来

这个不随时间变化

磁感应强度也是不随时间变化的

所以磁感应强度是满足

跟这个方程是一样的

我们在这个里面

看这个磁感应强度

猜这样的解

这个是怎么写的呢

这个r怎么选的呢 r等于零

是选在这个界面上

就像我们讨论界面上

反射投射似的

本来是还有一个定态电磁波

还有负iωt

现在不随时间变化

我们相当于等于零

那些负iωt项没有

直接猜这样的解

把这个带到这个里面去

就会发觉

它要满足那个条件

波矢K就必须满足这个条件

注意这是iK点乘r

所以微两次商

下来两个ik

这是负的k点乘k

两个负号拿掉

就变成是这个

这个约束条件

然后这个方程就是这个

这是要波矢和这个振幅

是垂直的

我们现在这个选

注意r等于零

是在那个界面上

就是因为外面的电磁波

刚跑到界面上的时候

我们开始去

然后看界面里面

透进去的多少

这个式子告诉你什么

这个波矢必须是纯虚的

为什么呢

波矢要是纯实的

这是恒正的数

这是恒正的数

两个恒正的数等于零呢

不可能的

那这就告诉你这个波矢

虽然我们这么形式上这么写

但是实际上它只有虚部

你这写一个虚部的话

这有两个i有一个负号

然后剩下的虚部的

我这个写成ek是表示

波矢的那个方向

单位矢量

那么自己点乘就是

负的ki的平方等它

那么ki一开方就是等于这个

所以这时候这个波矢是这样的

波矢是这个样子的话

具体带到这个解里面

它就是一个这种样子的

这个rk是r点乘ek

这个里面波矢写成这个样

最后有一个r点乘ek这个样

r点乘ek就是

你算那个距离矢量

在那个波矢传播方向上的投影

就是这个

那么这个时候

这块虽然是负号

但是这个负号实际上是你加的

你一开始定义里面

这块也可以加个符号都没关系

这个有两种

就看到的波矢的这个方向

和你界面的外法线方向

就是介质的外法线方向

是小于90度还是大于90度

是小于90度

这是一个增强因子

如果是大于90度

往里走就是一个衰减的因子

所以这块可能是增强

也可能是衰减原则上

但是物理上如果是增强因子

就是电磁波越往里走

它那个越来越强

这显然是不现实的

那你就会介质比较大的话

越走到里边最后就变成

非常非常大

这是没看到的

所以只可能是衰减的情形

也就是说这个电磁波

在这个里面只可能是走衰减的

只要这个东西不等于零

这个就是衰减的

所以它告诉你

这个里面的电场是等于零

然后磁场到里面

是指数衰减的

这个指数衰减是什么呢

就是迈斯纳效应

所以我们现在这个里面

电导率是无穷大

然后磁场到里面是指数衰减

进到这个介质里面

所以它就是超导体

这个是要求ek的方向

和外法线方向是大于90度

因为这个外法线方向

这个ek是波的传播的方向

大于90度就是斜着往里走

那么在这个时候呢

对那个里面

我们一开始就讨论的

电流不等于零的区域

我们刚才就能推出来

它就是维持一个固定的电流

因为它那个电流的衰减因子

是没有的

这时候因为我们一开始讨论的

就是j不等于零

那么既然它是指数衰减的

e指数上的这个东西

它的倒数就定义了一个

所谓的穿透深度

也就是说这个rk

走了这么长的距离以后

这个振幅就衰减成

原来的e分之一

实际上定义为它的穿透深度

就是这个磁场只能

穿透到这么远的距离的时候

它振幅

变成原来的e分之一

而这个kI分之一

按我们刚才给出来

就是由这个光子质量来去决定

这个超导体

有很重要的两个参量

一个就是穿透深度

就是衡量这个迈斯纳效应

这个就直接是

由我们这个光子的非零质量

来去决定的

那么电流也是这么衰减的进去

因为电流的方程也是一样的

电流的方程也是一样的

所以电流呢

就是只在贴在

超导体的表面在流

中间是没有的

表面上然后到里面

就几个穿透深度就衰减没了

然后我们看一下

进到里面稍微里面一点

那个磁场是没有了

而磁场在我们的电动力学里面

是用里面的磁场强度

和里面的极化强度

这么一个组合

这是一开始定义磁场强度

是这么定义的

磁场强度是把这个拿过来

这么定义的

现在里面的那个

磁感应强度等于零

那就意味着在介质里面

它的磁场强度和磁化强度

是差一个负号

而这个如果是我们的

作为一个介质的话

它的磁化强度和磁场强度

一般来说可以用磁化率

这么一个来去描写

这是一般唯象

写的这个公式

这是在我们这个

特殊的介质里面

所满足的这个条件

也就是磁感应强度等于零的条件

这两个一对比

你就发觉磁化率等于负一

磁化率等于负一对应的什么呢

这个体系的介质的磁导率

是等于磁化率

和一加乘上μ零

磁化率等于负一

就是μ是等于零

这叫通常的完全的抗磁体

就是B等于μh

这个μ是等于零

就是B等于零

就是B等于零就从μ等于零

这个磁场强度并不等于零

但是它μ是等于零

就是里面的那个磁场

和外面过来的磁场

两个正好是完全相反

就抵消了

最后变成里面的磁

就是那两个磁感应强度互相抵消

最后变成总磁感应强度等于零

就是完全的抗磁体

然后再看它的电的性质

这个方程把两边1+极化率去掉

把这个乘过来

这就是原来的极化率满足的

介质的电磁性质

就是总的极化强度

等于ε0乘上χe乘上e

就是这个

现在把这么重新写一写

两边乘上一加χe

而这个量

就是我们电动力学定义的

电位移矢量

电位移矢量还有一种方式

用极化强度来去显示

是写成是这个

里面的电场又没有

所以这个东西是等于零

那么就等于P

你就会发觉

这个P乘上这一大堆

极化率这个量又是等于P自己

这个一代

就是这个东西要求等于1

这个东西等于1只有可能

这个极化率是无穷大才行

就解出来

所以这个极化率无穷大

当极化率无穷大

就是那个介电常数就得无穷大

介电常数是1+χe

再乘上ε0

我们说在介质里面

静电场我们说

但介电常数无穷大时候

这个介质就趋于导体

所以从这个看到它也是导体

实际上它是超导体

而且是进一步的

那么所以这个介质到现在为止

我们大概就知道了它的图象

就是假定这个介质上的

电荷和电流

完全是由光子的有效质量项产生

就是我们那个方程里面

光子加了个质量项

本来没加电荷电流

但是加了光子的质量项

那个质量项贡献了

相当于是贡献了电荷电流了

那么这时候最后的结果

介质中间内部

是没有电场也没有电荷

电荷都衰减掉了

电场等于零

然后磁感应强度和电流密度

在介质里面都是指数衰减的

这个电导率

和介电常数是无穷大

磁导率为零

这是这个超导介质的性质

所以我们就把一个

现象学看到的一个超导体

在这个电动力学的层次告诉你

它实际上从更基本的

物理基础来看

它相当于是电磁场在上面

获得了一个有效的质量

这就是看到的现象

就是伦敦的第一方程

第二方程

然后能推出它是电导率无穷大

然后磁感应强度指数衰减