张量运算，张量例子在线视频

下面我们再说一下

这个张量的运算规则

完备的张量阶有多少张量

刚才我们列出来了

有零阶 一阶 二阶

然后还有就是半整数阶

所有的这些加起来

就是全部的张量了

然后物理规律如何用张量表达

我们在下面这一章的最后两节

我们分别把力学和电动力学

所有我们已知的规律

都改用这个张量来去表达出来

所以这一节最后

我们就再把这个张量的运算

再去说一下

两个n阶张量

那么我们运算

一种是算它的加减法

做了加或者是减

我们证明来去说

加减了以后仍是这一阶张量

即仍是n阶张量

那怎么证明加了减了以后

还是这些张量

就是加减以后

它还是按这个变换关系

那你就把这两个加一下减一下

很容易 很显然

加减完了以后还是这样的

然后再说乘法

这个m阶张量和一个n阶张量

那么乘起来问它是多少阶张量

就是它按哪阶张量变换

那么结论是m阶张量和n阶张量

它乘起来是m加n阶张量

具体这是一个m阶张量

m阶张量的特点就是有m个角标

n阶张量就有n个角标

那么我们构造一个张量

是m加n阶的张量

就是由m加n个分量

前m个角标是用这个张量来去

后n个角标从m加1到m加n

后n个角标用后面这个

然后算一下它的变换关系

你很容易用这个交换关系

就推出来这个东西是按m加n阶的

就有m加n这么多个变换的系数

乘在前面 变换的

比如这个在这个带撇的系

就是因为在不带撇的系

这个是它的定义m加n阶张量

在带撇的系就换成带撇的就是了

这个撇用它代进去两个乘起来

把这个变换系数全抽在一起

最后后面这个就是

就是这个关系式

这个就是在m加n阶张量的变换关系

所以它就是m加n阶张量

这是乘法

这都是比较简单而且是显然的

然后最后有一个稍微复杂一点

假定一个n阶张量进行一次收缩

然后它我们可以证明

它就变成降了两阶

就变成n减2阶张量

首先什么是收缩

收缩的意思就是说

假定是有一个n阶张量有n个角标

有其中选两个角标

把它的数值从1到4求和

本来这个角标都是自由的角标

可以要随便取的

现在不把它随便取了

把它从1到4进行求和

为了实现这个求和

我就乘上一个第i个角标

和第j个角标

乘上第i个角标 第j个角标

δ这个

就要求它们俩求和

这个求和完了以后

你就会发觉剩下的n减2个角标

它的这个洛伦兹变换

张量变换关系是按n减2个角标的

变换的关系

这个结果我们课上

在这个上面不证

是让大家自己下去去练习

为了

这个练习是让大家熟悉

这些张量的计算

大家可以自己证一证

好 张量的运算就是这些

最后我们举一些简单的

张量的例子

就是我们刚才列的零阶一阶等等

所谓零阶张量

就是洛伦兹变换不变量

变完不变

我们在这个物理里面出现的常数

光速 普朗克常数

电荷 静止质量

这些都是洛伦兹标量

也就是零阶张量

还有我们的四维的体积元

就是有空间的体积还有时间间隔

当然第四个坐标有一个ic

这个复数搁在外面就是了

这个四维的体积元

是洛伦兹变换不变量

是零阶张量

注意在这里面时间间隔

和空间的间隔都是变的

自己都是在变的

因为运动的时钟变慢

运动的尺子变短都会要变的

但是它们的乘积是不变的

实际上就是时间的这个变换

和空间的变换两个互相抵消了

合起来是不变的

所以四维的体积元是不变的

这个证明怎么证呢

实际上可以这么证

你算它的洛伦兹变换

就是x'和x

然后一般的我们知道x'和x

是洛伦兹是一个线性的关系

按我们的数学里面的

这个体积元的变换

中间差一个雅可比

这个雅可比就是偏x'的第μ个分量

再偏x的第ν分量

然后实际上就是那个Aij

就是那个变换那个系数

那个aμμν

然后四乘四的矩阵算行列式

而四乘四的然后那个行列式

还是取绝对值

就是雅可比

就是这个体积积分的

那个体积元的变换

就差一个雅可比

那个雅可比的行列式

而这个本来行列式是

就是我们刚才那个

变换矩阵的行列式

变换矩阵的话

我们前面证明过是等于1

或者负1

然后取绝对值只能1

所以就是这是

所以这是四维体积元

是洛伦兹变换不变量

这是我们现在就证

用刚才的结果

讨论过的结果来证明

所以这个两边

都有这个ic因子拿走

就是体积元乘上时间的间隔

这个小的是洛伦兹变换不变量

然后再说我们前面定义的

四维的速度

现在是用dxμ和dτ

底下是dτ是dt乘上

根号1比v平方比c平方

就是我们的dτ本身是原时

我们说了是一个洛伦兹变换不变量

因为它是通过间隔定义

间隔是洛伦兹变换不变量

就是间隔除上一个c就是了

所以这是洛伦兹变换量

这个xμ是四矢量

所以这个就是这么除出来的

就是一个四矢量

就是我们前面定义的四度速度

现在是一个矢量

速度本身在洛伦兹变换下

不是矢量也不是标量

但是这么组合的方式

是一个四矢量

然后这个微商 对四个x的微商

这时一个一阶张量是一个四矢量

为什么呢

我们就看一下

假定这个x'和x的变换

是按那个一阶的四矢量的

变换关系就出来

就可以只要证明它是

按一阶张量的变换关系

那它就是四矢量

对x'微商可以换成对x微商

那就是x再对它

x对它微商就用它的反变换

xμ是等于aνν乘上xμ

是反变换

所以求和的

这个求和和xμ是前面求和的

然后把x'μ拿掉就是它

这个不正好就这个四矢量的变换嘛

虽然这个x是在分母上

但是它是一个四矢量的变换

这既然是个四矢量

这两个四矢量乘起来

本来两个四矢量乘起来

就是m阶张量乘上n阶张量

两个乘起来就是m加n阶

两个四矢量

两个一阶合起来就应该二阶张量

然后再收缩一次

现在收缩因为只有两个角标

所以只能是没有什么任意的选择

只能是这么一种收缩方式

就再降两阶

二阶张量降两阶就变成零阶

是一个标量

所以这个是一个标量

那这个标量是什么呢

你把四个分量写出来

就是它 这是什么

这是波动方程的那个算符

微商算符

所以这个式子告诉你

这个波动方程的那些个微商算符

空间坐标 时间坐标

在洛伦兹变换分别都要变的

但是它们这么一个算符

整体是不变的

注意在这里面

必须这个波动的算符

这儿必须是光速

真空中的光速其他是不行的

是真空中的光速这个就是不变的

所以这就是为什么

麦克斯韦方程组

是电磁波的波动方程

就可以是不变的

这个微商算符这一部分

至少是不变的

然后这个量是一个二阶单位张量

为什么呢

那你就证明它满足

二阶单位张量的变换关系

只有二阶张量

单位张量它本来是它乘别的东西

就等于它

它是一个单位的这个

因为就只是对角元是1

其他这地方都是0

那么最主要它是二阶张量

怎么证明呢

证明它满足这个二阶张量的

变化关系

这个带撇和不带撇都是一样的

都是μ等于ν是1

不等于是等于0

所以这是从这个角度

它每一个分量实际上都是一个标量

然后这个式子是什么

这个是原来对这个变换矩阵的

那些系数的一个约束关系

就是原来推出 推洛伦兹变换

要求它那个间隔不变

就推出来这个满足的这个变换关系

把这个式子进一步可以写成它

把这个λ'一求和就得到了它

而这是洛伦兹变换间隔不变

给出来对系数矩阵的约束要求

这个式子和它

这正好是二阶张量的变换关系

所以这个δμν

是一个二阶张量

它实际上每一个分量既是标量

合起来又是一个二阶张量

最后为后面的讨论做一下铺垫

这后面两节的

我们说我们现在已经到了

可以把所有的物理理论

改写成满足相对性原理

要求的形式

在这个之前

我们从宏观上来去讨论一下

假定我们已经知道

我们现在已经知道存在一套

前面刚才说的那套张量理论

假定你那个物理量

都是那个张量的分量

那么写出来的这个理论

就满足相对性原理

就是它从数学上

明显的表达相对性原理

你只要写成张量的方程

因为它就满足参考系

不同参考系下

那个方程是一样的

那么因此有了这个

数学的理论做基础

你把物理的理论

就嵌到这个数学理论就行了

那么也就是说把物理的方程

全写成这个张量的方程

写成这个样子就可以了

这就行了

但是你现在 到现在为止

你怎么知道你已经知道

学过的讨论过的那些物理方程

就一定能写成张量方程

你至少

我们在前面写那些方程之后

我没看出来

哪个和张量方程有什么关系

写出来的F等于MA

什么D的散度等于什么ρ什么

麦克斯韦方程组

那都是一些矢量的方程

没和这个张量有任何的联系

然后你凭什么

你就说它能写成张量方程

而且还进一步的说

我们前面

比如说讨论的这些物理量

比如说就算我们电磁学

电动力学里讨论的电场 磁场

我也不知道这些量和这些

四维张量有什么关系

你这四维张量是怎么定义的

现在的这个里面的各阶的张量式

通过在不同参考系下变换一下

它怎么变来去确定

它变换有一个特殊的

变换的要求的

我以前讨论的物理量

根本就没讨论过

它在不同参考系下怎么变

我根本不知道它怎么变

那我怎么知道它就能

根本它和这些量

是什么关系都不知道

我怎么知道它能写成这些方程

所以从这个角度说

我们现在以前有的那些理论

和现在这套满足相对性原理的

这一套张量的理论

还没搭上边

我们下面就是要来去重新的

从要求理论满足

相对性原理的角度

要重新的审视一遍

我们的电力力学的

麦克斯韦方程组

所有的那些方程

甚至包括力学的那些方程

重新审视一遍

基本的逻辑关系是这样

因为按我们现在走到这

两个是没什么关系

那么我们说怎么建立关系呢

是这样

我们要求所有的这些物理理论

从一开始就满足

要求它满足相对性原理作为

相对性原理作为

最高的第一原理

不是实验证明的

是说要求的

那么就是要求这些物理量

一开始就满足相对性原理

那是什么意思

要求它满足相对性原理

就要求它能写成

这个张量的理论

然后根据这个要求

来确定这些物理量

和张量是什么关系

我把这个东西

现在上升成最高的原理

然后根据这个推导出

我们的电动力学

甚至还有力学

然后建立这些

用这些张量来去

把那些方程

都改成用张量来去写

那你说假定是

就是你加了这个要求

你怎么去把这个物理量

一个个的和张量的关系

怎么建立起来

怎么推这些东西

这个就是我们后面两节

非常重要的任务

在后面两节里面

我们不再像这个课

最开始从实验定律

去推麦克斯韦方程组

而是从抽象的理论的原则来去

相对性原理

就是一个抽象的理论原则

我们还有一些其他的原理

比如说我们前面提到的

规范对证性等等

一些抽象的理论的原则来

再加上

很重要的一个相对性原理

来把那个理论写下来

而且一开始要求那个理论写的

就是用张量来去写

写出来了张量

然后写出来张量那些方程

最后来辨别那个方程里面

出现的量之间的关系

和我们已经熟知的

哪个方程去对

发觉和它是一样

然后我们就可以认同那个量

就是我们以前讨论过的那个量

一个一个的

我们从这个后面的两节

一个是做力学

一个是做电动力学

所有的都从头开始走一遍

那样建立的过程

一个是把各个物理量

和张量的关系建立起来了

再有它和张量的关系建立起来

各个物理量在不同参考系下

变换关系就知道了

再有物理量都嵌成张量里面

那些方程就明显的是满足

相对性原理

在各个参考系下都是一样的

这就是我们后面几节所要做的

现在是它的一个铺垫

好 第五章的第四节就介绍到这里