基本洛伦兹变换在线视频

前面给出来的这个结果

实际上只要

我看你是V你看我是-V

如果是并没要求进一步的

然后伽利略变换是

额外的要求一个绝对的时间

两个t相同

然后就把这个

两个t相同就是α=1 γ=0

就把这个定下来

那么洛伦兹变换

是我不再限制一个绝对的时间

我们同样还是从S′相对S

沿x方向运动来出发

我们假设它们在重合

就t=t′=0的时候

这是要求运动的相对性给出来的

我们在它们重合的时候

假定在这个坐标原点

发出一束电磁波是一个球面波

那么它在S系看

在t的时刻它就变成一个半径

达到一个球面

它在t′系上看它也是一个球面

这个球面在S系上看

球面在t时刻

球面的那个方程是这个

在S′系我们说它也是光速

沿着四面八方的都是同样的光速

就是各个方向是这个

那么我们再把这个一般的

这个式子代到这个里面

看看它怎么能满足

这已经出现了光速不变

因为都是光速C

而且这个光速C是

因为是球面

它是沿各个方向都是一样的

和哪个方向没关

刚才特别强调

就是光束是沿各个方向都是C

这是一条假定

我们实验看

只能是一条光束这么回来了

但是我们把它推广成

沿各个方向都是C

这个就是沿各个方向都是C

那就要求底下这个式子

在带′的式子

把它换成不带′的这些量

要求这个式子和这个是等价的

那就很容易

你看一下这个x平方的项

必须是出来系数是1

x平方项这有一个α平方

这有一个C平方 γ平方

然后移到这边去

所以α平方减C平方 γ平方

必须是等于和这个1是一样的

然后这还会有x和t的交叉项

这上面没有交叉项

交叉项必须等于0

这个的交叉-2V乘上α平方

这个项

这个交叉项是2C平方αγ

移到这边-2C平方γα

这两个交叉项合起来必须等于0

还有第三个t平方的

α平方 V平方这边是减去

C平方 α平方

必须是等于这个C平方

就是这些都满足了

这个式子就和这个式子是一样的

这就是我们看到的

全都是一样的球面波

就是说它这个光速不变

很重要的是在两个系下看

它都是一个球

而伽利略变换

一个看的是球

一个就是可能是椭球

就移了就偏了

这个式子你会发觉

从两个式子就可以解出

从这个式子把α解出来

在这个式子就可以把γ解出来

然后这个实际上是一个多余的

是可以验证它们

就解出来α不再等于1

γ也不再等于0

是这个式子

这个结果最后

出来的就是洛伦兹变换

就是这个关系

和原来的伽利略变换

是α取成1 γ是取成0

这是不一样的

注意 在这里边特别强调

这个东西实际上就是

光速不变很重要

一个是两个相同

这个实际上是什么

如果是用半径来说

这就是r=ct

前面说的r=ct

r平方等于c平方t平方

一开方就是r=ct

那你把这个c除过来

实际上这相当于是t

就等于r除上c

就是相当于时间的定义

对不对

你假定光速已经给出来了

有了距离

除上c 这就是t

那么这个就定义了

这是r′除上c′就等于t′

这相当于是定义了两个时间

把时间通过这个

另外一个角度来去看

那么还有一个说

这个东西和伽利略变换

有没有关系

还是可以有关系的

假定你认为

我们现在参考系运动的速度

比光速小很多

甚至无穷小

那么这个项就可以略掉

这个项就可以略掉

这项就可以略掉

你把这些V比C的一略掉

你就发觉这就回到伽利略变换

所以什么意思

伽利略变换

在从洛伦兹变换的角度看

它的是洛伦兹变换在低速的极限

就是在参考系的相对运速

远远低于光速的时候的极限

就是伽利略变换

好

这是两个

相对于x方向运动的时候

那么我们问能不能知道了这个

它如果是斜的 一般的运动呢

特别是和

能不能做到和坐标架没有关系

给出一个一般的表达式

我们就可以把这个式子

推广成一般的情况

一般的情况只要把这个式子

理解为这个坐标是沿着

相对运动方向的那个坐标的投影

那个坐标需要做这个变换

然后这个时间依赖的这个也是

在沿着v方向的坐标的投影

是按这个变换

这个是和相对运动方向

垂直的那方向坐标是不变的

只要理解到这个就是了

这个式子x′

那就是在这个带′系

就是那个坐标

我们用矢量写

这样可以独立于坐标架

用r′投影在运动方向

运动方向单位矢量就是

v除上它的模

所以r点乘运动方向单位矢量

这就是相当于广义的那个x′

那么这边出现的x

同样就是r点乘上v

除上它的模

这就是x相当于是

在那个运动方向的投影

剩下的vt这些都抄下来

就是把前面的这个式子

理解为一般的矢量

在运动方向投影

那么y′=y z′=z

实际上就是这个r′

减去它在运动方向的投影

运动方向投影是r′点乘V除上V

但是那只是大小

再乘上它的一个方向

就是V再除上一个V

所以整个后面的这个

是它在运动方向的那个投影

那部分写成矢量的部分

它扣掉

它在运动方向的投影的矢量

剩下的就是垂直运动方向的矢量

同样这是在带′的系的

在不带′的系r减去

这个是在运动方向的投影

然后写成矢量的样子

所以两个

这相当于是广义的y′或z′

这边是广义的y和z

这两个是相等

这表示他们在垂直运动方向

是不变的

然后时间这块是出现的是

V比c平方乘上x

那么本来是应该是一个

V比c平方乘上x

x又是等于是r点乘V比V

r点乘V比V

这一个V和那个原来V比c平方

那个V削掉了

剩下就是r点乘V比上c平方

所以整个的推广成一般的

洛伦兹变换就变成这个样子

这个样子我们可以化一化

这时候这个r′就可以怎么写呢

这个是什么

这个是它在垂直的一个分量

这是垂直于运动方向的那个r

它是不变的

因为这个东西是等于它

r′可以写成r′减去这个项

然后再加一个这个项

对不对

r′减这个项就是它

所以这个

然后再加的这个项

这个项是这个

就带进去了

然后把这两个重新化一下

实际上就可以写成是这个样子

然后这个时间照抄过来

这样你就知道

假定r和t知道了

r′就知道了

t′也就知道了

这是一般的式子

这个式子看实际上

实际上是这个减1的这一项

是这个东西

实际上是把这个r-vt

沿v方向的垂直的方向的贡献

然后单独的这一项乘上它

是r-vt投影的那个方向

然后它这有一个收缩

就多除了这么一个因子

这是一般的洛伦兹变换

有了坐标的洛伦兹变换

然后你算速度

那就是

我们现在

因为v在这个里面用了我们

改成用u一个粒子运动的速度

就是dr/dt

在带′的系就是dr′/dt′

那么上下除上一个

分别除上个dt

而这个dr′/dt′就可以

这块写成一个d

然后再除个dt

这是u

这个是dr/dt

这个是u

这块dr/dt

这块是减v

用的这是

底下dt′/dt

就是用这个式子d一下

然后再除上个dt

这个可以把它通分一下

就是写开一下

这就是两个参考系的

速度之间的合成关系

就比这个坐标要复杂多了

然后你还可以

在这里面我们引入一个量

叫做以后的所谓的4度的速度

我们是用一个不是dt

一个叫做原时的量

原时这个量定义成

dt乘上一个根号1-v平方

比c平方

为什么定义

这么定义

后面会讨论

实际上会发觉这个量

在洛伦兹变换下是一个不变的

然后dxα是包括三个空间的分量

α等于123

还有第四个分量

就是α=123就是xyz

如果是第四个

就是普通的时间分量

再乘上一个虚数i再乘上一个c

所以这个前三个x=123写出来

这么定义的这个量是这个

第四个分量是这个

这个就在我们狭义相对论

叫四度速度

后面我们会用到

先给出这个速度的

四度速度的定义

前三度的

四度速度的前三个分量

就是我们普通的这个速度

也实际上就是相对于这个u

然后除上一个根号1-v平方比c平方

好

刚才这个坐标是这么变

速度是这么变

还有一个性质

希望大家自己下去去验证一下

这个你会发觉用这个变换关系

你当在x系下那个速度的模

u的模趋近于c的时候

这变换以后

这很复杂的关系是变换以后

这个u′的模也就趋近于c

这个需要大家自己去验证验证

因为我们这是矢量的关系

算模的话

你要自己点乘模平方项很多

你自己去对一对

然后你还进一步可以验证

假定在s系下

这个u的模是小于c的

你就能推出在这个洛伦兹变换下

这个在x′系的那个速度

也是小于c的

其中这个v是我们要求

是小于c的

还进一步你可以把这个u v u′

这三个可以另外用三个

实际上是三个速度

用另外一种写法

比如说这个u′

实际上是某一个物体a

相对于s′系

这个s′系我们叫做

另外一个物体叫做c的速度

可以u′我们就叫成vac

u还是这个物体

相对于s系

我们s系叫b速度

所以这个速度也可以写成vab

然后这两个参考系的

相对应的数是s′相对于s速度

那么s′写的是c s是b

所以这是应该是vcb

按速度的相对的是反过来的

就是我们可以

v可以是-的vbc

就是b相对于c的

这个写成ab

就是a相对于b的运动速度

这是a相对于c的运动速度

那么用这个vab vac vbc

三个循环的

这个速度变换关系

就换成可以用这三个来去写

是等价的

重新一个叫法

有了速度的变换

再对时间做一次微商

就是加速度的变换

那么就在速度这个式子上

再做一次对时间的微商

就在这上

再做对t 对dt微商

然后再除上一个dt'比dt

大家自己算一下

我们是直接把这个结果

这个结果就已经长到

对加速度的变换就长到

这一行勉勉强强能够写下来

你一直可以算

在多少阶的时间变换的导数

在洛伦兹变换是怎么变

好

第五章的第二节就介绍到这里