介质的色散在线视频

现在谈介质的色散

我们现在实际上是

要去算介质的这些介电常数

后面也可能会

还会谈到磁导率

它们和频率有关

那么我们就拿一个材料

来去算一下

推导一下它的这个介电常数

应该是和频率有什么关系

假定这个介质中的单位体积的

电子数是n

每个电子都以它的

和原子实的那个固有频率

这个ω0在振动

那么整个这个外电磁场

是这个样子

那么我们定义的这个介质的极化率

是通过磁化强度和极化率

是这个关系

其中这个极化强度

就是单位体积里面的那个偶极矩

对不对

这是单位体积有这么多个电子

会变成偶极子

那么每一个电子的偶极矩

就是它拉开的那个距离

就是r0t乘以它

这个r0t我们就用刚才

一个束缚的电子受外电子场

这个式子你是在固体里

或者在大气里都是这样

都只不过调这个r0和这个γ~就是了

代进去

代进去你这个这两个一比较

这个式子

这是根据它的定义

这是我们刚才解出来的那个方程

振荡 强迫振动

在束缚的电子得到的

那么这个和这个式子一比较

把这个E和E0这个关系代进去

把E0和E的负iωt拿掉

你就可以读出来这个极化率

极化率是这个

然后这个介电常数和极化率

是这个关系

我们就得到了这个介电常数

这一个材料它的介电常数

和频率的依赖关系

这个是它的固有频率

这个材料的

这是材料的那个粘滞系数

好 你就会发觉

这个介电常数不光是有实部

还有虚部 有这个i

实部叫成一撇 虚部叫成二撇

那么实部写出来就是这样

虚部就是这个样

我们一个电磁波在这个介质里面

电磁波的波矢 可以有实部虚部

是满足这个方程的

我们现在假设讨论简单一点

因为我们就讨论介电常数

所以我们假设这里面的γ和磁导率

都是实的 简单一点

那这时候你发觉介电常数

是实部虚部

就会造成什么呢

这个方程里面两边取实部就是这个

两边取虚部就是这个

实际上你就会发觉

介电常数的虚部起的效果

和这个电导率有导电的效果

是一样的

因为在这里面它会有效的

相当于贡献一个电导率的效果

据此来去说

实际上也许一开始

根本就没有电导率

一开始都是这个介电常数的虚部

因为它这个虚部造成

这个电磁波会有这个

这个不等于0 有这一项

会造成电磁波有这个

波矢会有虚部

就是电磁波有衰减

电磁波有衰减

是导致这个材料对电磁波有吸收

好 这个先不管它的这个吸收的

这一部分

就看它的这个实部

实部在这里边

注意εr0’从这一块看

它和频率有关

它和频率有关

那就意味着这个波矢的实部

也和这个频率有关

或者更一般的说

你那个算的那个折射率

会和这个频率有关

那么折射率会和频率有关

你一个电磁波

不同频率的这个电磁波

射到这个介质上

它那个折射的角度就会不一样

具体体现为就是这个

假定是一个白光赤橙黄绿青蓝紫

都射到这个棱镜上

你如果这个折射率和频率有关

那不同的折射率

这个折射的角度就会不一样

对不对

就会赤橙黄绿青蓝紫就会分开了

然后到这儿又不一样

在出来的光 就会有不同的一样

那么我们现在根据这个结果

我们可以来去进一步的论证

是这么一个结论

这也实验看到了

就是低频的这个电磁波

或者用光的话

低频的光就是叫做高波长的光

偏转大

高频的光偏转小

注意这个偏转大和偏转小

是指的这个

对这个界面的这个法线

因为我们的角度

那个偏转角是以

这个和这个法线之间的夹角

所以相对这个来看

哪个叫偏转大

这个红色的这个叫偏转的大

因为它和这个法线之间夹角大

从这儿看好像是红色

反而偏转的小

实际上是法线定义的问题

就是从这个角度呢

是红色的这个偏转的

也就是低频的它偏转的大

因为离这个法线偏转的厉害

那么这边偏转

再偏一次又偏转的小

最后合起来就偏的更

那么我们下面就要来论证

根据这个关系式

来证明确实是低频的偏转大

我们看一下

现在这只是公式

这是观察到的图像

这是我们刚才的结果

我们具体的先整个的

算这个介电常数是这个

然后我们看一下这个介电常数

对频率变化一点

对介电常数的影响

做一个变化

然后就出来这个变化是这个ω平方

这里面算这个ω

本来还有一个这个项

这个项的变化就略掉了

因为那个项相对是小的

这个项其中这个分母和这个n

这些东西

正好就凑合ε减ε0

这样就可以少写一些

用这个项来去写

当这个ω比这个ω0小很多的时候

这些项都可以略掉

所以这个分母就直接用ω0来去写

所以这个变化直接可以写成

这样的结果

注意到在折射的这个过程中

在一个刚才那么入射的

那个折射的过程中

由那个折射定律

就是nsinθ等于n’sinθ’

我们现在是忽略掉

那个磁导率对那个频率的依赖

所以实际上就是介质两边

就是θ角

这是和那个法线的之间夹角

和它的这个

那个折射率就是根号ε乘μ

μ是固定的就不管了

那么谈频率的变化的时候

频率变了以后

这个根号ε ε会变

那么这个是要固定的

那么就是θ要变

这两个合起来是不变的

所以你当δε来变呢

它就折射到那个折射角会变

对吧

所以我们当频率变化的时候

它导致这个ε不变

那么导致你在折射的过程当中

这个θ角的变化

我们要证明对那个θ角的变化

是高频的 高频偏转大偏转小

刚才给出来的

那么利用这个式子

你就这个δθ和δε就关系起来了

而δε和这个频率的变化

又关联起来了 是在这儿

最后就得到这个

这样的这个关系

这样的关系你注意到

在这里面有一个εr减1这个量

具体的我们拿实际的例子来看

这个相对介电常数

对水是82 对玻璃是3.7

就是对我们通常的这个材料

相对介电常数都比1大很多

所以这个是一个正的数

所以意味着什么呢

这就是θ的变化量

和频率的变化量是负的

这是一个负号

这就是这个结论

低频偏转大 高频偏转小

就是频率增加了以后

θ角开始往小了

是往小了

频率往大了变

那个偏转角反而是往小了变

最后的结果就是这个结果

这是定性的

然后这个这种色散

一个最简单的

就是我们的那个彩虹

彩虹大家是在雨天

这个空间中有很多的水气

然后太阳光这么射过来

你就会看到这么一个彩虹

现在彩虹的解释

这个水气是中间有很多水滴

一个水滴入射波从这儿射过来

这个就 这就会发生色散

这是色散

你会发觉基本上

它在一个大概42度度附近

实际上是40.89到42度这一段

最后不同的

不管是怎么着

这么射过来的

出射都是在这附近

然后这一块呢因为

就是这个和频率的

有关的关系会出来的赤橙黄绿

那么你这个

假定这个入射光是这么过来

它就会在

维持在一个42度角的这个

正好就形成这么一个弧形

这个区域

那个区域就是你看到的

就是它的散射光

基本上是这样

那么我们刚才推出来的

这个介质的介电常数

这个实部是这样

虚部是这样

那么虚部我们说

实际上起的是电导率的作用

是管的吸收

因为它到这儿电磁波

有虚部有衰减

导致有吸收

实部你这个函数

大概可以写出来

画出来大概类似是这样

你就会发觉

它会在某一个特定的频率段

就是当这个ω比较大

可以让这一项是负的

然后把这个1也减掉

还是负的

就变成就是εr’

可能在某一个区域会变成负的

然后这个虚部会在某个值特别大

是共振吸收

就是ω等于ω0

会有这样的情况

然后我们再具体的看一下

实际上对一般的这个电磁波

在很低频的情况下

我们盯着这个虚部的这一部分

因为虚部的这一部分

假定它的原始的那个电导率

就没有

就看这个

那么如果这个ω0是不等于0的话

在低频就是这个ω趋于0

这个ω趋于0

这些都可以不要

底下就是ω0的四次方

这是 ω

ω也趋于0

如果这个ω0是不等于0的话

这个ω趋于0

那这个就等于0

这个等于0是什么意思呢

就是它就是一个绝缘体

就是说因为它这时候

这个等于0

这个分母不等于0

分子等于0

整个这个虚部等于0

虚部等于0就是它没有衰减

所以它这个电磁波里面没衰减

就好像是个绝缘体

但是如果是对ω等于0的时候

这个分子等于0 分母也等于0

所以它可能是不等于0

就是只有对ω等于0的

那样的材料

它是会产生低频的极限

低频的电磁场

会它显示出导体的行为

这是在低频的情况来去看

那么对这个低频极限

当ω不等于0的时候

当ω不等于0

你会发觉这个式子

一般情况就不等于0

所以一般的材料

即使那个电导率等于0

就是我们考虑的这个电导率

一开始就没有

只要这个有一定频率的电磁波

到一定材料里它都会消减

就是它都体现一定的导电性

就会有一定的吸收的效果

然后再更看一下高频的极限

这个是说从等于0

到一般的不等于0

再到很高频的情况

在高频的时候

像虚部吸收也是小的

就是最主要是这个

就是这个可以拿掉

这个也可以拿掉

这个整个这是一个负号

就变成是这个了

这个整个的相对阶

就变成是这个

在高频区域这个表达式里面

你就注意到这个相对的介电常数

会有一个临界的这个频率

使它等于0

然后这个临界频率是

这个频率如果是低于

那个临界频率

它就变成负的了

因为低于临界频率

临界频率就是这个东西等于它

这个在低于临界频率

这个东西又更大了一点

那这个就变成负的

负的就是什么又是消减

那整个这个临界那个频率

使它等于0

就叫等离子体频率

为什么叫等离子体频率

我们大气里面很多的就是

这样的这个描述

有等离子底层

那么它的特点就是这个电磁波

它有一个临界的频率

就是等离子频率

低于那个频率的电磁波

到里面就会衰减

就是电磁波根本就进不去

就进去了就衰减了就没了

过不去

只有高于那个临界频率的

它电磁波它不衰减

它可以穿进去

这就是我们现在等离子体的

那个大气里面等离子层

所以你要进行

和卫星进行无线电信号的传输

那你必须要高过这个

频率必须高过这个临界的

这个频率

这是一个好像是水那个材料

对各种不同频率的电磁波的

这个吸收系数

实际上是它的那个虚部

就是相当于是那个大小的依赖

在可见光这块呢

它是吸收的比较小的

所以电磁波可以透进去