达朗伯方程在线视频

在随时间变化的情况下

我们还是可以引入

矢量势和标量势的

只不过这时候

矢量势和标量势和以前类似

是有不确定性的

它有一个所谓的

规范变换的任意性

那么我们实际计算里面

为了把不确定性给去掉

就要加一些规范固定条件

我们通常用的有两种

一种是库伦规范

一种是洛仑兹规范

下面我们进一步把这几个

麦克斯韦方程组

用矢量势和标量势表达出来

实际上麦克斯韦方程组里面

当我们引入

矢量势和标量势的时候

就已经把这个方程和这个方程

去求解了对不对

引入矢量势

相当于就求解了这个方程

你把矢量势代进去

这个方程很满足

然后这个方程

法拉第电磁感应定律就是引入

下边不引入标量势

所以引入矢量势和标量势

这两个方程就变成恒满足的了

剩下就是这两个方程

它们对矢量势的约束

我们先从这个方程

就是安培环路定理

加上微E电流

这个方程出发

这个B是等于A的旋度

E是等于有负的φ梯度

还有负的偏A偏T

然后再加一个对时间的微商

所以偏φ偏T

有一个偏φ偏T

这边本来有一个时间微商

这再微一次 微一个时间微商

这里面的这一项

把它用散度写开就是这样的项

这个等于它

这就是第一个矢量势和标量势

联合起来的偏微分方程

第二个还没用过的

麦克斯韦方程组

就是库伦定律了

我们把E等于负的偏φ偏T

和负的φ梯度

再减去偏A偏T代到这边去

再加一个散度

这个方程就是这样

所以实际上是这个方程

这个等于它

还有这两个方程

这两个方程你自己可以代进去

去试一试

它也是在规范变换不变的

也就是把A和φ

按我们前面的规范变换

换成A一撇和φ一撇

这方程要么它是完全不变的

是一样的

多出来的那个开的那个项

互相消掉了

不出现在这个方程里面

因此呢 什么意思

这两个方程是对A和φ

是有无穷多数解的

因为它解里面

可以有规范变换的任意性

那么我们下面就利用

它有规范变换的任意性

我们可以看一下

我们刚才说的两个规范固定条件

就是两个加了约束的情况下

这个方程可以进一步的给化简

就是本来这个φ不是有任意性吗

那我就干脆多加一些条件

让这方程简化一点对不对

首先这两个方程看起来

麻烦的地方在什么地方呢

A和φ缠在一起了对不对

这个很复杂 缠在一起了

这个就是纠缠在一起的四个变量

然后又是三个空间坐标

加一个时间坐标

四个求解的函数

然后再四个自变量

是非常复杂的偏微分方程

偏微分方程组互相缠在一起了

首先看我们的库伦规范

能怎么简化

库伦规范就是

额外加的约束条件

A的散度等于0

那这一项就没有了

这一项就没有了

我们就发觉

这时候这个方程里面对A来说

就可以把这两项放在一起

剩下的这两项合在一块

就写成这么一个形式

我把这个东西吸收到

这个j的定义 叫j星

你就会发觉这个是这样

这一项方程呢

这一项在库伦规范没有了

就变成这个

所以库伦规范下

矢量势和标量势

就是这么一组方程组

这个方程你注意到

标量势满足的方程

和静电场时候的标量势

满足的方程完全一样

所以它意味着什么呢

这时候在

虽然是随时间变化的情况

但是它的方程是一样

所以它的解就应该是一样

因此这时候它的

静电势的部分的解

就和静电场的行为是类似的

因为它这个方程是一样的

那你说这个矢量势呢

矢量势不一样

因为这是拉普拉斯方程

矢量势这不是拉普拉斯

是波动方程对不对

矢量势

但是假定你从这个方程

把这个φ解出来了

这个φ就知道了

所以这个东西和它合起来

相当于贡献了一个有效的源

所以这时候矢量势满足波动方程

只不过波动方程的源

含标量势的贡献

是一个有效的源

不光是普通的电流是这样

这个时候电磁场的

这个波动的行为

最主要的是从

矢量势里面出现的

就是矢量势是波动方程

而标量势它的体现

就和静电场是类似的

这是库伦规范的特点

就库伦规范把标量势

那一部分就弄得和静电场

是完全一样的

那么再看洛仑兹规范

洛仑兹规范是这个关系式

这个关系式实际上

这个A如果按我们以前说

A的横场是散度恒等于0

实际上就是A的纵场部分

和φ的时间变化率有关系

那么你看一下这个方程

这个方程你就会发现

这里面A的散度

就可以换成偏φ偏T了 按这个

而换成偏φ偏T

正好和它是一样的

因为这个里面的C平方分之一

正好是μ0 ε0

这块还有一个负号

所以这一项和

在这个洛仑兹规范里

这两项正好消掉了

而这一项很重要的是

矢量势满足的方程里面

和标量势交缠的那一部分

缠在一块了

这两项一消掉呢

剩下的就是这个项和这个项

就是这个方程

所以在洛仑兹规范里面

矢量势是满足标准的波动方程

不像这个 是波动方程

但是它在原项里面

含有标量势的

而 然后这个项呢

这个A的散度

也是可以换成偏φ偏T

换过来就是这个

你会发觉在洛仑兹规范里

标量势部分

也满足标准的波动方程

这和库伦规范里

它是满足拉普拉斯方程是不一样

是波动方程

而且这个矢量势和标量势

是对称的

你看见没有

都是波动方程

然后这边是 是电荷密度

这是电流密度

这也是为了以后我们

所谓的相对论的

狭义相对论的情况说

洛仑兹规范是明显的满足

相对论的协变性

这是我们下面一章

来去具体的来去说

这就是改用势来去描述

在两种不同的规范下

这个势的方程的不同的这个样子

那么在这几个波动方程的情况下

实际上现在因为是真空的

出现在这个波的速度都是光速

你要解出来这个结果

把光速人为的趋成无穷大

实际上相当于

这里面的这个项没有了

这项就没有了 这项没有了

这个时候这个方程都回到

静电场静磁场的

标量势 矢量势的那个方程

所以实际上我们现在

随时间变化的情况是包含

原来的静电场静磁场的情况

你只要把电磁波的速度

取成无穷大就行了

回到原来的

好 第四章的第一节

电磁场的矢势和标势

就介绍到这里