洛伦兹规范，库伦规范在线视频

我们的解就是这样的这个结果

这是算了这个电势的部分

那你说矢量势

实际上矢量势的每一个分量

也是这样的方程

我们前面推这个

达朗贝尔方程的时候

伦兹规范里面

会发觉标量势和矢量势的方程

是一样的

只不过矢量势这换成矢量势

这块换成电流密度

然后1/ϵ0换成μ0就是了

所以把这个标量势的结果

换成矢量势

只要是把标量势换成矢量势

然后对应的这个里面的ρ换成j

就ρ除上ϵ0换称μ0乘上j就完了

所以矢量势的

就直接就代这个结果就行了

这是在伦兹规范里面的

因为伦兹规范里面

两个方程是完全一样的

所以你就不需要再解了

就是把那个符号换一换

就直接换出来

这就是伦兹规范下

这个标量势和矢量势的

推迟势的表达式

为什么我们实际用的是负号呢

就是因为我们看到的

都是从一个源出发

这个电磁场往外跑

而超前势是要求

实际上可能

这个源还没存在的时候

外面就有电磁波了

你要认为在初始的状态

是没有电磁波的

那个源没出现的时候没有电磁波

就可以把超前势给去掉

作为初始条件

所以某种意义上

超前势是我们的一个非物理的解

我们物理的解是用这个推迟势

这个推迟势的这个结果

假定这个电荷密度和电流密度

是不随时间变化的

是一个静态的情况

你会发觉

这个时候的这个势的结果

就回到就库仑定律给出来的结果

库仑定律就是ρ除上4πϵR

不过那时候库仑定律

因为电荷密度不随时间变化

它根本不依赖于这个变量

那么毕奥萨伐尔定律

给出来的矢量势就是这个结果

那时候电流也是稳恒的

不随时间变化

就没有这个项

现在是把它推广成

可以随时间变化

可以随时间变化

那你就本来直接写成一个t变量

直接写成t变量那时候的

得出来的标量势和矢量势

不是麦克斯韦方程组的解

现在告诉你

费了半天劲解出来的

是它这个里面

要多加一个这个项

负的R/c

所谓的推迟效应

就是从这个R/c这个项

你就会发觉

就把这个变量里面

t的这个依赖

加上这么一点点R/c的

这样的修正的项

它就又变成了随时间变化的

电磁场的解

这就是推迟势

那么这一项

就是这一章里面

最最重要的考虑的效应

它是非常非常重要的

具体重要体现在什么地方呢

体现在我们原来说

电势标量势 矢量势在远处

是无穷远自然边界条件 是1/r衰减

因为在R很大的时候

这个就变成

拿出去一个1/r

这也是1/r

这没有问题

现在也还是这个样是1/r

但是算电场强度

和磁感应强度的时候

算电场强度是要对它做微商

包括对这个对t做微商等等

原来是说电场磁感应强度

无穷远自然边界条件

在静电场静磁场的时候

是场强也是无穷远

是1/R平方

就是因为你做一次微商

这块就多微了一次

那时候之所以说

这个做一次微商

这个就变成多一次

是因为这个微商里面

对R和t的依赖

那时候没有t

只有对R的微商

就是只有这块是对小r的依赖

它对这个项没有依赖

所以一微这个就平方分之一

磁场是旋度也是微这个

现在对这个R的依赖

不光是这个1/r

还有这儿的

如果你那个微商

包括还有对时间的微商

如果不是微这个

微这个里面的

微t或者是微R

就是你从势做到场的那次微商

可能就不额外的贡献一个1/r

就不是原来期望的1/R平方

而是1/r

因为你对这个微商

不一定额外的贡献1/r的因子

原来要微到这个上

这个一微就变成1/R平方

就每一次微商

多额外贡献一个1/r因子

所以总的场强是1/R平方衰减

但是现在由于这项的贡献

特别是你的微商微场强的时候

微到这个变量的时候

它就不额外的贡献

1/r的压低因子

导致这部分所谓的推迟效应

会使场强在无穷远

它也会有1/r的效应

而不是1/R平方的效应

这个1/r的效应

就是它的衰减会比较缓慢一点

这个就是这一章

所谓辐射电磁场最最重要的效果

我们下下节会仔细的来去讨论

这就是在这儿说的

E和B在无穷远处

不按我们原来的

自然边界条件1/R平方衰减

它有1/r的分量

好 再有一个呢

是我们说原来这两个解

是从方程组

得到的方程波动方程是

洛仑兹规范给出来的那个

波动方程来推出来的

那你算出来的这个解

到底满不满足洛仑兹规范

还要检查一下

所以我们具体的验证一下

我们来证明

这么样得到的解

确实是满足洛仑兹规范的

规范固定条件的

洛仑兹规范固定条件是

A的散度和偏Φ偏t

乘上一个μ0ϵ0加起来是等于0

我们就算一下

就把这个东西去做一个散度

看看它和偏Φ偏t有什么关系

然后做散度呢就是这儿

以后我为了在这一章里面的

后面几节

为了方便我们把t减R比c

都用t*来去写

这是一个记号

省事要不然老写这个太麻烦

这个微商里面跟R有关的

一个是这个

一个是t*里面跟R有关

这个t*就是这个t减R比c

然后有两项

一个是微1/r的这个项

一个是微t*的

这个里面就是微t*里面的

R比c的那个项

前面这些项

对R的微商可以换成

对R一撇的微商

因为大的R是R减R一撇的

换成对R一撇微商除以一个负号

后面的是通过t*

那么先对t*微商

然后t*再去做梯度

这个点乘就是这块的这个点乘

这个本来是1/r的

现在改成连这个电流密度

一块都去微

这里面是微的R一撇

微所有的这个R一撇的依赖

包括这里面的R一撇

这里面的R一撇

这里面的R一撇

微这个里面

微1/r的就是它

微这个j的多了那就扣掉

加这儿一个负号

所以后面这项

把这个微j的项给减掉了

只剩下微1/r的就是它

所以这两项合起来就是这一项

后面这项抄下来

这一项直接就拿掉了

因为这是全散度

全散度就可以变到面上

面上没有电流

这一项就没有了

剩下就是这项

这一项是对小的r一撇微商

包括这里面的r一撇

和这个t*里面

t*是t减R比c

这里面含有r一撇

这两个的

那么我们把它仔细的分一下

我可以分成先微这里面的r一撇

然后这个t*先固定

然后再微t*里面的r一撇

微t*里面r一撇怎么办呢

就是先对t*微商

然后t*再对这个r一撇微商

就是这项

这一项就是这个里面的

微t*里面的r一撇

这一项抄下来

这一项按照我们的电荷守恒定律

注意电荷守恒定律

就是做散度的时候

是只微前面的这个坐标的

后面的t是固定的

所以现在这个确实是不参与微的

本来是参与微的

我把参与微的单独分出去了

那么就可以用库伦定律代进去

这个j的散度

就等于偏ρ偏t

然后偏是后面这个变量就是偏t*

这项这个里面两面

共同有这个因子

里面的这个

一个是对r微商

一个是对r一撇微商

注意这个里面是

通过大的R1来的

大的R对r和r一撇

依赖正好差一个负号

就是是r减r一撇的函数

所以这两项就减掉了

这项就没有了

所以只剩下它

只剩下这项呢

对t*微商和对t微商是一样的

因为你对t微商

也是先通过t*

然后t*对t就是一个

t*就等于t减R比c

t*对t微商就等于1

所以这个就可以换成对t的微商

对t的微商就可以拿到外面去了

因为这剩下的地方都不依赖于t

拿出去这堆是什么东西

就是这个

所以把这个再代进去

这个移到等号那边去

这就是洛仑兹规范的规范固定条件

所以确实我们现在给出来的推迟势

是满足洛仑兹规范的规范固定条件

这是推迟势

你要超前呢 一样的

一样可以是可以满足

这个洛仑兹规范规范固定条件的

好 这是我们洛仑兹规范

这个说完了

然后再说一下库仑规范

那你说库仑规范怎么算

我们刚才的解的方程

解的是洛仑兹规范的

那个波动方程

库仑规范

大家再回想一下

这一章的第一节里面

我们推出的那个方程

这个说库仑规范

这个Φ满足的是静态场的时候

实际上是拉普拉斯方程

不是波动方程

而矢量势是满足波动方程

但矢量势的波动方程

对应的源项是要做了一个修正

就是源项改成这样的源

那么静态的

就是拉普拉斯方程

和波动方程的差别是什么呢

就是没有对时间t的微商的项

时间t的微商的那个项里面

前面有一个1/c平方

一个波速的那个1/c平方

你把c趋近于无穷大

就那项就没有了

所以实际上相当于是

那个波动方程

要化成拉普拉斯方程

你把c趋近于无穷大就行了

所有的c当成是无穷大

它的解也就是这样

你把c趋近于无穷大

这项就拿掉就是了

这就是库仑规范的结果

实际上这就是库仑定律给出来的

这个电势

只不过现在有明显的t的依赖

那么在库仑规范下

矢量势呢

矢量势还是波动方程

只不过把那个电流源

换成是一个修改的电源了

含电势的结果

所以这个j*换成它

然后波动方程

直接用波动方程的结果

但是源变了一下就是

这就是库仑规范的

推迟势的表达式

那么这个库仑规范的

推迟势的表达

是不是满足库仑规范的

规范固定条件

这也是留给大家作业

自己去证一下

实际上确实是可以证明

是满足库仑规范的规范固定条件

库仑规范的规范固定条件

就是A的散度是等于0

就是这种情况下

你可以去算A的散度

确实是等于0的

那么这两种规范

假定是一个纯的电流场

什么意思

就是没有电荷分布的

这个ρ是等于0

ρ等于0呢这一项就没有

这个项也就没有

这时候你会发觉

；洛仑兹规范和库仑规范

是完全一样的

因为这项没有

这个j j*和j就是一样

这两个式子就完全一样

所以对纯电流的

没有电荷分布的

纯一个电流体系

所产生的矢量势是完全一样的

然后如果是这个电荷密度

是不随时间变化的

就跟这个变量没有关系

那么这两个也是一样的

而且这跟这个t没关呢

这个跟t也就

标量势也就和t没关

那么这项也就没有贡献

所以这两个也都相等

因为这项等于0

也就是这两种情况

纯电流场

或者是电荷密度不随时间变化的

这时候这两个规范的结果

都是一样的

那么在这个洛仑兹规范里面

这两个形式是

从看起来是完全一样的

就是只是这块换成

电流密度就是了

所以对电流密度的每一个分量

结果都是和这个类似的

你只要知道这个标量势怎么处理

把它移到这个矢量势的每一个分量上

就都可以来去进行计算

也就是说

这句话写的矢量势的处理

可以借鉴这个标量势的结果

对洛仑兹规范

好这是这一节的第二部分