麦克斯韦方程组在线视频

在这里面

这里面是偏μAν

偏νAμ

这个两个项实际上是一样的

因为这个对μν反对称

所以又进一步只负1一项就行了

把这个二分之一拿掉

最后选前面那一项就是了

前来那一项和后面那一项是一样的

后面这项接着抄下来

然后把这个微商微到里面去

就变分变到里面去

这里面这个微商本来是微这个的

现在变成全微商

就是连这两个都微

微前面这项多了后面扣掉

微后面这项就是它

所以这个减去微这个的这项

就是这个项

后面这项仍然抄下来

这个项是全微商变到边界上

我们让边界上是没有这个变分的

或者边界上场都趋于零了

就没有了

所以这项就没有

剩下的这个项可以提出来一个δAν

那你说这是Aν这是μ

这改成μ求和就完了

改成μ求和

δAμ是任意的

只有这两项合起来是等于零

也就是这个项这个式子

所以要求这个取极值

就是这个式子

注意这个过程

全都是用张量来去写的

所以这个推导

是明显满足相对性原理的

是个协变的推导

当你认定这个场强和势

电磁势是一个偏μAν

减去偏νAμ的话

它自动满足这么一个循环的方程

你把F和A的关系式代进去

它的正负正负相互之间都销掉了

所以这个实际上

相当于是F用A那个表达式写出来

实际上相当于是

这个方程的一个解

所以当F用那个势来去写的话

自动就满足这个方程

这个是从作用量取极值得到的

这个相当于是那个势的定义

自动就满足这个方程

这样我们就得到这么两组方程

一个是相当于是势的定义

一个是得到的这个极值的这方程

我们会看到这两组方程

给出来的就是麦克斯韦方程组

怎么看

这是我们得到的这两组方程

我们一个一个算

那就没什么干算

这个东西自由的角标是μ

我们现在自由角标

可以取空间分量可以取时间分量

就是先取空间分量

空间当取i

第i个分量

然后这个求和

这个求和又是空间分量时间分量

空间分量先求j

然后时间分量第0个分量

第4个分量

第4个分量搁在这儿

本来是和它求和合在一起的

移到等号一边去

然后这个的空间分量

就和磁感应强度连在一起了

这个就是它的电流的空间分量

这个空间分量和时间分量

交叉项和电场连在

对第四个坐标微商

就是对时间的微商

把这个改回用矢量来去写

就是这个样子

这个是什么

这是安培环路定理加上位移电流

真空中的麦克斯韦方程组的一个

好

这现在是把这个方程的

空间分量写出来了

然后再说这个方程的时间分量

时间分量这是第四个分量

然后这是第四个分量

前面这个求和

就只能是求时间分量

因为这要求空间分量这是等于零

两个时间分量对角等于零

所以这空间分量求和就是这个

这个第四个分量

直接连的是电荷密度

这个是交叉的是连着电场强度

然后把它用矢量形式

写出来就是这个

这个就是麦克斯韦方程组的

库仑定律的那个式子

这样的话这个方程的

空间分量时间分量就都算出来

就全了全部的

这个对应的是麦克斯韦方程组

那两个有元的

麦克斯韦方程组正好是

甚至说这个方程

这个方程

这本来都是可以

取空间和时间的分量的

我们现在三个独立的角标

全取成空间分量

这是它的一个子部分

全取成空间分量

你就会发觉和这个式子是等价的

这是全是空间的ijk

全都是空间的角标

而这个式子这个空间的分量

这个乘起来正好是磁感应强度

所以这个就是没有磁单极的方程

这三个独立的角标

我们取有一个是时间分量

剩下两个是空间分量的

就是这样的这个式子

这个式子

你把这两个项可以合在一块

这两个项是交叉的

是用电场来的

这个是用磁场来去

然后两边再乘上一个εijk

两边乘下来

你这么一乘它

这两个就可以合在一起了

合在一起有个2倍除过来

然后这边是用电场来去代

这边是用磁感应强度代

得出来就是法拉第电磁感应定律

剩下的还有这个里面

是两个是时间分量

两个时间分量你就会发觉

这个方程就是平庸的

三个时间分量这个方程也是平庸的

就自己恒满足的

所以这个方程的

就是全是空间分量的

还有有一个是时间分量的

这两个是非平庸的

分别得出这两个方程

剩下的都是平庸的

这样的这两组方程的

所有的非平庸的结果都拿出来正好是麦克斯韦方程组

所以我们写出来那个作用量

求极值就得到了麦克斯韦方程组

真空中的麦克斯韦方程组