矩形谐振腔在线视频

好 然后我们

刚才是方程和边界条件

下面我们就给一个具体的情况

这么矩形的谐振腔

也就是这个谐振腔的中间

是由一个长度分别为长宽高

分别是l1 l2 和l3

这么一个矩形构成的空腔

下面是包的良导体

我们现在就要求

这个里面的电场和磁感应强度

我们现在把这个谐振腔的

一个角作为坐标原点

然后三个边作为三个坐标轴

因为我们实际上解的电场

是满足这叫亥姆霍兹方程

相当于是

就有一个k平方的

就是电场的x分量y分量z分量

都满足这样的方程

所以我们一般的

用一个u来去代表

它的三个分量的任何一个

这样的方程

我们先找它的通解

然后再用边界条件

把它的这个具体的解给定下来

我们现在因为是这种

谐振腔的情况

所以允许我们可以用

所谓的分离变量法

我们把这个u(x,y,z)

设为x的单独的函数

乘上y单独的函数

乘上z单独的函数

就是说x和y和z的函数

三个是互相相乘的关系

那么这样的微商

因为这个拉普拉斯算符

就是对x的二次微商

对y的二次微商

对z的二次微商

那么把它微商微进去

一个是微x的

一个是微y的

一个是微z的

然后k平方我们现在

波矢是可以写成

这个k的矢量点乘自己

也就是可以写分成它的

x分量 y分量 z分量

所以我们把这个k平方

也分成它的x分量的平方

y分量的平方 z分量的平方

这样的话你把这个大的XYZ

方程两边都除一下

除完了这个项就变成是x分之一

这一项就是y分之一

这一项就是z分之一

这三个式子实际上你要除个x

就是x分之一加上kx

y的二次微商加上ky平方

z的二次微商加上kz平方

这个前面除上一个z

现在把z再乘回来

把y乘回来

实际上就是这个方程

我们可以分别的用三个方程

来去构造原始的这个方程

这三个方程和这个方程

有什么不一样的地方

这个方程里面有x 有y 有z

但是分别的这三个方程里面

因为我们假设了大的X

只依赖于小的x

大的Y只依赖于小的y

大的Z只依赖于小的z

这三个方程都分别

只依赖于一个变量

这个简化了很多

这个就变成

本来是一个偏微分方程

在这里面就变成了是一个常微分方程

那么这三个方程只要满足

这个方程就满足

因为这个里面的

这一项和这一项加起来等于0

这一项和里面的第二项

加起来等于0

这一项和第三项加起来等于0

这就是分离变量法

而这个方程

这三个方程的典型的解

就是sin和cos

因为对sin函数或者cos函数

微二次商

就出一个那个函数自己不变

出一个负号

然后如果是sin的话

这一块是前面是乘kx

再乘上一个kx的平方

所以正好微两次商的和自己

乘上kx平方 两个消掉

因此这个方程的通解就是这个样

可以是cos的

可以是sinkxx 可以是coskxx

这个是这个方程的通解

这个方程的通解是这个样子

这个方程通解是这个样子

而一般的这个u

是三个方程的解的乘积

就把它乘起来就是了

所以我们现在就得到

这么一个方程的通解

没考虑边界条件就是这个样子

剩下的我们将由边界条件

和其他的一些方程

来把这里面的这些系数

还有这个kx ky kz

具体是什么给定下来

我们现在的首先有边界条件

电场的边界条件

电场是要求没有切向

很重要的

那么在边界上电场没有切向

我们现在边界有

这是一个矩形有六个面

我们先看三个面

三个坐标面 它是没有切向的

没有切向我们先看这个

比如说对Ex来说

它是y等于0那个面

y等于0这个面

就是这个x这一平面它是切向

还有z等于0这个面是

z等于0这个面是底下这个面

底下这个面x分量也是切向

就是电场是没有切向的

所以在y等于0和z等于0

这两个面这个Ex都是切向

必须是等于0

那就告诉你

本来Ex 因为这个u可以是

里面可以是Ex Ey Ez

就是Ex可以是这样一个形式

Ey是一个这样一个形式

Ez是一个这样的形式

只不过Ex Ey Ez里面的

这些cd的系数可能互相不一样

现在告诉你对Ex来说

必须你要在y等于0和z等于0

这两个边界上

它的Ex必须等于0

那是只有这样的这个情况

为什么只有这样的情况呢

因为本来是可以有sin的

可以有cos的依赖

但是cos的这种依赖

比如说是这种

要是y等于0呢 这就不等于0

但是是sin的这种

它就是可以等于0

因为y等于0

sin的这个0就是等于0

所以什么意思呢

如果要求y等于0的时候

这个Ex等于0

这个函数对这个y的依赖

就不能有cos 必须是sin

同样对z等于0

它也要求等于0呢

就也是对z的依赖不能有cos

所以对y和z这两个

都只能是sin

这保证y等于0和z等于0的时候

Ex等于0

就是在y等于0那个平面

和z等于0那个平面上

这个Ex作为切向就不能有

那么当对这个x等于0

是没有限制的

因为对x等于0的那个平面

Ex是法向

是不要求它等于0的

所以它可以有cos的

同样这两个也是类似的

对这个Ey来说

x等于0和z等于0

对Ey来说 对这个来说

x等于0就是后面的这个面

还有这个z等于0就是这个面

它都是这个切向

它在x等于0和z等于0的时候

Ey都必须等于0

所以它意味着这个里面的

对x的依赖和对z的依赖

不能有cos 就是这样的

但是对y的依赖是可以有cos的

同样对Ez来说

对x等于0和y等于0

它是切向必须是等于0

也就是对x和y的依赖

必须只能是sin

这样的话就把原来的这个

三个解已经限制了很多

就是在这个本来每一个

坐标的依赖

都可以有两个函数独立的

现在每一个这个里面

有两个坐标都只选了一个sin

这里边是选两个

这是都是选的sin

所以对每一个方向的

这个电场的分量

只有沿着这个方向的这个坐标

它可以有cos

然后这两个可以有一个相对的系数

好 这个还没有完全把它确定下来

一个是每一个分量里面

还有这两个相对的系数

再有还有这个kx ky kz

具体是等于多少还没有确定

注意到我们这是

光是由这个边界条件

就是实际上由一个边界条件

就是里面的三个坐标面

x等于0 y等于0 Z等于0

三个坐标面

实际上我们要说坐标面

还有x等于l1 y等于l2 z等于l3

还有三个坐标面

待会儿再用那个边界条件

在这个基础上

我们再用另外一个方程

就是库伦定律给出来的

E的散度是等于0

这是它里面的解

这个解只满足这个亥姆霍兹方程

但是一般来说

不一定满足这个方程

所以我们把这个方程的解

然后加上xyz的这个边界条件

把它化成是这个样子

然后再把这个放到这个方程里面

这个方程实际上它代进去

要求E的散度是等于0

不是边界上

就是整个中间任何一个

这个腔里面任何一个地方

E的散度都等于0

那么你就会发觉这里面的

这一项 这一项

就是带撇的

A1’A2’A3’必须得等于0

为什么呢

因为你这个E的散度

实际上就是E的x分量对x微商

y分量对y微商

z分量对z微商

在这个里面你一看

这个x分量对这一微商

这个cos就变成sin

sin就变成cos 对不对

这个变成sin

对这样的项 cos的这个项

y分量对y微商

这个也变成sin

这个z分量对z分量

这项变成sin

所以对这一项来说

第一项和这里面的第一项

这里面的第一项

做了散度以后一微商以后

全是三个是sin

sinkx乘x sinky乘y sinkz乘z

那么这三项合起来

加起来是散度

就是前面有一个系数

第一项贡献出来一个A1乘上这个kx

可能一个负号

然后第二个里面这一微商

贡献一个负的 这个A2乘上ky

第三个贡献一个负的A3乘上kz

你把这三个加起来等于0

整个这三项就

其他后面都是一个三个sin

提到外面就等于0

所以这个就可以

但是这个项如果一微商呢

这是对x是cos 剩下的是yz

然后这个是对y是cos

这个是对z是cos

三个项出来完全是独立的函数

互相合不在一起

所以最后要等于0

它和前面微这个的也合不在一起

因为这个是三个都是sin

这个是有一个cos

而且这三项里面

一个是x部分的依赖是cos

一个是y的依赖是cos

一个是z的依赖是cos

就是微这个的三项

完全都是独立的函数

跟别的混不在一起

没办法合并起来所以只能

要满足这个方程等于0

只能它的系数分别前面是等于0

所以这个就定出来了

实际上这四个

给出来了这四个条件

是代到这个里面

求解出来是四个独立的函数

它互相合不在一起

然后要求等于0

系数是等于0

这样的话这里面的这一项就没了

这一项就没有了

这一项就没有了

然后这三个系数和这个k

对应的k乘起来相加

有这么一个约束条件

那么到此为止呢

我们kx ky kz

和这个三个A还有一定的约束

但是还是没有完全定下来

我们还是用三个边界条件

就是在三个坐标面

x等于l1这个面

y等于l2这个面

z等于l3这个面

这三个面上的边界条件还没用

现在由这个三个坐标面

x等于0 y等于0 z等于0

还有E的散度等于0

我们已经把这个电场的三个分量

确定到这样的形式

剩下就是另外三个边界条件

这三个边界条件刚才说了

就是这一块的这个边界条件

那么它要求什么呢

要求比如说x等于l1的时候

就是这个面

在这个面上要求电场是没有切向的

在这个面上这个电场的切向是什么

是Ey和Ez

就是x不等于l1的时候

这个x等于l1的时候

要求这个Ey Ez等于0

那就是kx乘上l1必须要等于0

因为其他的yz在这个面上

可以随便跑的

在这个里面x等于l1

这个x等于l1

这个Ey Ez都是切向的

所以kx乘上l1是

只能是π的整数倍

才能是得到这个条件

x等于l1的时候

就给出这个kx乘上l1等于mπ

同样y等于l2的时候

y等于l2是这个面

这个面y等于l2

它的切向是Ex和Ez

Ex和Ez y等于l2

y等于l2

这个就是ky乘上l2

必须是π的整数倍

所以就是这个

ky乘上l2是nπ

同样还有这个z等于l3

就是这个面是Ex Ey

这是Ex Ey 然后z等于l3

这一块z等于l3

那么就是kz乘上l3

是一个π的整数倍就是这个

这个mnp都是这个正整数

从0开始 0 1 2 3这样的

这样的话就把这个kx ky kz

又进一步限制死

它没有完全确定下来

它可以取一系列的分立的值

就是这个m可以从0 1 2 3

n可以0 1 2 3

p可以0 1 2 3这么去取

这样的话

我们基本上就把kx ky kz

给确定下来了

我们刚才曾经kx ky kz的平方和

就是k的平方

k的平方在原来的

麦克斯韦方程组给出来的

定态电磁波的麦克斯韦方程组

给出来的它是ω平方乘上μ乘上ε

这个μ和ε就是里面的

这个绝缘介质的磁导率和介电常数

现在kx ky kz等于它代进去

我们就得到了这个频率

这个是介质是固定的

和这个这三个参数 就是mnp

还有这个l1 l2 l3是这个腔的长度

边界的这个长度

有这么一个关系

另外还有我们知道

三个解的那个系数

前面的A1 A2 A3

和这个kx ky kz

还有这么一个约束

所以到现在为止

除了这三个系数额外加这个约束

剩下的我们基本就都算出来

就是由这个

实际上一个电磁波的

这里面的一个解

就给定一组mnp

这是一组这个三个整数

正整数就可以构造出这么一组解

因为kx ky kz就有了

那么给定一组mnp

我们就给到就是一个电磁波的解

我们叫中间谐振腔里面的

一个振荡模式

一个电磁波的振荡模式

那么这个振荡模式里面

实际上因为有这么一个约束条件

实际上就是mnp三个

不是全是独立的

假定知道了频率的话

知道了两个

第三个就可以由这个式子

来去定下来

或者说反过来说

你不知道频率

那你就把三个 这个x和y和z

它的这个三个正整数写出来

你就可以确定它的

这里面的振荡频率

这个振荡频率就是由这个式子

把这个除过来

把μ和ε除过来再开方得到

这是对一个固定的模式的电磁波

它的振荡频率是这个表达式

那么频率知道了

你也就知道波长

因为频率和波长是这么一个关系

所以它的波长

这个里面的电磁波的波长

也就确定出来

注意在这里面的

实际上的电磁波是一个驻波

是一个固定的那个

是一个不再传播了

因为它是真正你看

它是沿着一个方向走到正面

走到然后反过来的

两个叠加

形成的是驻波的解

这个实际上是驻波的这个条件

那么这个随着n p

m和p这个参数越大

我们叫这个电磁波的这个模式

是模式越来越高

那么我们可以看

在这个里面的电磁波

最低的这个模式

最低的模式是什么

就是最低的非平庸的模式

所谓非平庸

就是这个电磁波是有非0的解的

显然如果是三个都是0

这个就是平庸的

因为什么

三个都是0

你这个kx ky kz都等于0

那么这个Ex Ey Ez也就都等于0

那么三个都是0一定是平庸的

那么两个都是0呢

实际上它也是平庸的

因为你比如说两个都是0

你取这个kx ky等于0

m和n取成是0

那么m和n就是kx和ky等于0

这个Ex就等于0

这个Ey也等于0

这个Ez也等于0

这是两个整数取0

它也是这个电场就是0

所以最低最低的是一个取0

然后另外两个都取最低的

不为0就是1

就是电磁场位于在这里面非0的

这个最低的模式

就是有一个0

剩下两个是1 就是这三种

110 101 011

比如说对这个110就是

这个kz是等于0

这两个这个是1 m是等于1

n等于是1

那么这个kz等于0呢

Ex没有

这个Ey也没有

只有这个Ez

因为这个kz等于0

但是这个kx ky不等于0

所以对这个模式

就只有这个Ez

这个110的特点

就是只有z分量的电场

你看一下这个101

就只有y分量的电场

011就只有x分量的电场

那么在实际中

你要看这个里面的这个

产生什么样的这个振荡

如果是你要这个电磁波的

是在这个微波的范围里面

我们通常是用这个

用金属然后包起一个腔

产生的这个高频振荡

如果是要你这个里面的

这个电磁振荡

是在光学的范畴

通常用那种反射镜

来去搭起来的光学的谐振腔

产生光学的振荡

最后还有一个例子

就是实际上我们的这个大气

把这个地球围起来

这也可以看成是一个谐振腔

这个就是人们测出来这个

大气里面的这个功率谱

实际上你会发觉这里面的

那个电磁的能量

也是有一个振荡频率

就是在某一个特定的频率里面

它会有一些特别大

这实际上就是电磁场

在我们这个把这个大气

把我们的地球围起来

就是里面的这个

大气里面的电磁场

在某一个特定的频率里面

它就会互相的激励 特别强

就像我们刚才解出来

那个谐振腔里面的那个解似的

那个解实际上就是

振荡最强的地方

而在偏离那个最强的那个频率

这个频率就对应着

我们刚才那个ωmnp这些

偏离的那些它互相

不是都是互相 大家叠加的效应

互相可能有一些抵消

就不会振荡的那么强

好 这个第三章的第四节谐振腔

就介绍到这里