电磁波的衍射（夫琅禾费衍射）在线视频

我们下面就具体算一个

实际上都可以算

我们算一个夫琅和费衍射

就是第一项的这个

看一下它的具体的

这个衍射的是什么结果

我们就在中间开一个口

这是开的那个小口

本来开一个圆的口

本来是矩形的和圆的都可以算

但是我找那个实验上的

那个图片的话

好像是圆的那个

实验的结果比较清楚

所以实际上好算是矩形的好算

画这个图的时候

画圆的不好画

所以还是用的画的矩形

这是中间开的那个

屏上开的那个小口

这是我们刚才说的z方向

这个我们刚才说的电磁波

就是利用那个关联的关系

这是幕的某一点

这是中间的屏上开的孔里面的

我们就是说刚才那个关系

就把这一点和整个这个

整个屏上的所有的点

还有这个无穷远的这个大面上的

电磁场联系起来了

但是这个屏上除了开口的地方

和无穷远这些电磁场都可以略去

最后那个面上的积分

只有中间开口的这个地方的贡献

那么在这里面开

我们建立一个坐标架

这是z方向 这里面是小的屏

这个圆的这是exey x方向

那么从这个场点指向这个的是R

反过来从这个圆

指向这个场点就是负R

这是我们这个里面的特殊的情况

把这个从这个圆心

中间这个圆心指向

我们圆这个位置 叫一个ρ

然后从这个圆心指向场点

这是小的r

我们现在来算利用刚才那关系式

看看我们得出来的

这个幕上的这个图象会是什么样

注意到在这个矢量

投影到这个小的这个

开的这个圆的这个平面里面

投影到这上有一个矢量的方向

对不对 在这个面上一个方向

一般的这个ρ在这上跑

沿着这个可以

一般的这个面上这个ρ

可以投影过来的这个矢量

可以和它平行的一部分

可以和它垂直的一部分

我们定义两个基矢量

就在这个圆的

小的开的这个孔上

沿着这个r在这个面上

投影的那个方向

叫e平行一个单位矢量

然后垂直它的

在这个面上叫一个e垂直

这样的话这个ρ

一般的ρ可以定义一个

和这个e平行之间的夹角

就是cosφ

那么这个ρ就可以用cosφ sinφ

来去用这两个方向

说白了就把这个ρ投影到

沿着这个r投影下来的这条线上

作为分解

分解成一个顺着它的方向

一个垂直它的这个方向

然后这个ρ写出来了

整个的这个负R

就是这个矢量

就是等于r这个矢量

再减去一个ρ 就把ρ反过来

这个就是负R

然后r和这个z轴方向的

夹角叫θ3

就是r点乘ez叫做θ3

r和这个e平行

就是r投影到这个面上的那个

和它那个夹角那就是sinθ3

r和e垂直我们定义的

这个e垂直就是和e平行是垂直

和投影是垂直的

所以r在e垂直这个方向

就点乘是等于0

这个东西求模

就是自己点乘上自己

就写出来是这个 再开方

因为这里面是r减去ρ的

自己点乘自己写开

然后把这个r点乘ρ代进去

因为什么

这个r点乘ρ就是这个

r点乘ρ r点乘e平行

是r乘上sinθ

r点乘e垂直等于零

所以r点乘ρ

直接就是r乘上ρ 乘上cosφ

再乘上sinθ3 这个代进去

写到这了

然后我们就是cosθ3

cosθ cosθ是这个负R

和这个z方向的这个夹角

就是这是大的负R

就这个方向

和这个z轴之间的夹角

这是定义的cosθ

θ3是小的r 大R是这个

大的负R 这个大的负R

再把这个式子代进去点乘上ez

就是这块就是r点ez

就是cosθ3

然后ρ和这个ez是垂直的

ρ是在这个面里面就没有了

所以把这个r的这个代进去

注意θ3是就固定死了

因为你在一个场点

去看幕上的一个点

这个中心这是固定死的

你现在要做后面去做积分

是这里面这个φ在跑

这个ρ在跑

ρ要跑遍整个这中间

开的孔的位置

这个φ也是可以零到2π跑

在这里面这个r和θ3是固定死的

在算这个积分

我们现在是讨论比较远的情况

比较远的情况就是

这个r比这个ρ要大很多

所以我可以把这个提出一个r

按ρ比r去做展开

这是ρ比r的一阶

还有ρ比r的平方等等等等

那么这是cosθ

然后这个r也可以按

这个ρ比r去做展开

这是最低阶的就是小的r

下一阶多了一个ρ比r

然后再下一阶

多一个ρ比r的平方等等

有了这个我们刚才这个表达式

现在我们讨论比较远的情况

这个是更高阶的

这菲涅耳衍射是更高阶的

就略掉了

就看这个夫琅和费衍射这一项

这个项里面

这个就是里面是一个小圆

这块是一个小圆的积分

就是用这个相当于是极坐标

就是ρ乘上dρ 再乘上φ这个积分

就是这个 然后这个cosθ按这个

这个项又是额外的r分之一

就不要了

所以这个只要最低阶的

这cosθ直接就换成cosθ3

这个里面

然后这个指数上有个大的R

大的R是这一串

指数上这个不能直接就换成

这个小的r

因为指数上振荡的比较敏感

所以这个非指数上

前面振幅的这一部分

我们就用最低阶的

指数上算到一阶

就是指数上这个大的R

这个展开展到一阶

而底下这个就展到零阶就行了

这样算的比较准一点

我们现在开始具体的

把这个开的小孔

是一个圆的孔的情况

做一个具体的计算

这个图上画的是一个矩形的

那么我们实际算

算的是一个圆形的孔

这个圆的半径是A

为了计算这个衍射的行为

我们需要对这种圆形开孔的情况

我们需要知道两个辅助的函数

一个是零阶的贝塞尔函数

是这么一个积分

然后零阶的贝塞尔函数

乘上它的变量

和一阶的贝塞尔函数

有这么一个关系

然后我们出发

从衍射的这个公式

这是我们刚才推出来的结果

具体的用我们前面给出来的

在指数上的这个项展到一阶

底下的这个项展到零阶

然后只考虑领头的阶

这个就是夫琅和费衍射这一项

那么这个表达式就是这样的结果

在这个里面

这个对φ的积分

就是这里面的cosφ

e的指数上有个cosφ

实际上就是这个

那么cosφ和这个i之间的这些系数

实际上就是这个函数里面

定义的自变量z

就是ρω/c sinθ3

这个ρωc分之一sinθ3

就是这个

所以这在考虑前面一个2π因子

得出来就是零阶的贝塞尔函数

变量是这个

然后这是把φ的积分积掉了

因为整个这个

中间的这个小孔是面积分

要积的那个φ角

就是这个ρ的矢量和r这矢量

在这个小孔平面上投影

之间的夹角

还有这个ρ的半径

这模的积分

模的积分就是积这个

是零阶贝塞尔函数做积分

我们可以把ρ乘上这一堆参数叫z

就是这里面的这个z的变量

然后把这个积分变量

都改为用这个z的变量来去

这样的话这个积分

就化成这么一个量

这样一个量是零阶贝塞尔函数

乘上它的变量

再对它的变量去做积分

正好可以用这个式子

因为这个式子两边一做积分

这边是一个全微商

就可以积出来了

所以它告诉你

这个积分可以积出来

积出来就是一阶贝塞尔函数

乘上它的变量的数值

那么把上下限代进去

这个下限就等于0

就没有贡献了

因为前面乘了一个z

这个上限代进去

结果就是它

这就是我们最后得到的

在这幕上这块

它的这个振幅的数值

这个电磁波的衍射的波的

这个数值

注意到当你这个

在这个位置上变的时候

实际上就是这个θ3变

就是r和z方向的夹角在变

这个在变的时候贝塞尔函数

是一个振荡的函数

它可以变成最大也可以变成

所谓最小可以变成0

所以最后就体现了

得到了这个散射的

不论是电场还是磁场

它的某一个分量

它会随着这个角度变

从强变弱 从弱变强

这么来回变

具体的体现就是这么样一个结果

这就是实验看到的一个行为

这个圆形的这个小孔出来的

衍射的斑

在这上看到的

随着半径在变

那么对应的这个暗的这个点

就是一阶贝塞尔函数的零点

从这个特殊函数里面

你可以查到它的这个

前几个等于0的点

我们用n来标记

n等于1是第一个零点第二个零点

随着变量从小往大

第一个零点

第二个零点等等在这的数值

你可以理论和实验做比较

符合都非常好

第四章的第四节就到此介绍完毕

整个第四章我们到此也介绍完毕