电荷分布在外电磁场中在线视频

刚才说的一个质点

带电的质点

假如很多带电质点

它就形成电流

就一团电荷它在运动

那么我们要把刚才那个

再推广成一团电荷电流的

是一团电荷电流

我们刚才一个带电的粒子走

它只是一团电荷的一个特例

一个点电荷及其流动

是连续分布的电荷及其流动的

一个特例

所以我们刚才那情况

是在一般的电荷流动的

这个结果里面

也是可以包括它的

我们就利用这一点

来把一个点电荷的运动的行为

推广成一般的一个电流

那么一个点电荷

它对应的电荷密度分布

位于r’的一个点电荷

电量为e的一个点电荷的

电荷密度是这个样子的

电流密度是这个样子的

这个我们以前都知道了

然后我们要考虑这么一个量

为什么要考虑这个量呢

注意到这个一个点电荷

在外电磁场里运动

它那个作用量里边

其中那个最小耦合那一项

就是一个电磁势

再乘上一个e 再乘上一个dxμ

所以我们现在要先把这个

一个点电荷

在这个运动里面的这一项

仔细的描述清楚

看这一项怎么推广成

一团电荷的情况

那么对一个点电荷呢

我们就可以写成这个样

e乘上dxμ 这是e dxμ

这是一个点电荷所

包含点电荷所在的

一个小的

小的空间体积

这个τ不是原时

这是一个空间体积

那么这个点电荷在的位置是r’

那么这个r’乘上一个体积元

包含它的 按δ函数积分

本来是应该写一个积分的

就包含那一点嘛

就不用写那个积分号了

这个乘上它就是1

所以这个乘上这个δ函数是1

插到这个里面去就变成这个样子

而当你写成这个样子的时候

注意这个δ函数乘上e

就是这个点电荷的对应的电荷密度

所以这是这个e乘上dxμ

又可以写成电荷密度

乘上这个小的体积元

再乘上这个dxμ

那么我们再把这个里面除上一个

这个电荷在走的时候

所经过的那个时间差

dt乘上一个dt

为什么这么做呢

这么来去看

我们把这里面的这么一个量

这样一个量ρ乘上dxμ dt

定义为一个电流密度

四度的电流密度

你说这个怎么是四度的电流密度

注意到这是一个四矢量

然后这是空间的体积

这是时间的体积

我们知道这是时空的体积

时空的体积是一个洛伦兹变换不变量

我们在前面是证明过这个事情

这是一个洛伦兹变换不变量

那么这是一个四矢量

这儿是个四矢量

那么整个这是个四矢量

然后这个式子成立呢

就要求整个这是一个四矢量

整个是个四矢量

这是个标量

这儿是

所以只能是这个剩下这一团

是一个四矢量

虽然我们不知道这个ρ和dt

到底是怎么变换

dt是一个四矢量的某个分量

后面我们看到ρ也是一个

四矢量的某个分量

但是整个这个式子是一个四矢量

所以就要求整个这一团

是一个四矢量

这样再乘一个标量还是个四矢量

所以我们就把这个四矢量定义为

四度的电流密度

你具体的把它的前三个分量看一下

这如果是空间 这就是速度

乘上ρv

正好是我们普通的电流密度

第四个分量ict 这是

所以这个四矢量的前三个分量

是普通的电流密度

第四个分量是普通的电荷密度

也就是说我们以前描述电荷

一团电荷运动

它有个电流密度 有电荷密度

它们之间是组成一个四矢量

当他说这个四矢量什么意思呢

在不同的参考系下

它们的变换关系就是这个

因为你会发觉这个完全对得上

这个是ict

就把t换成ρ r换成j就完了

就把那个空间坐标的洛伦兹变换

直接就换成电荷密度和电流密度

所以在这里面我们从一个点电荷

直接推广成这是

这个是本来对一个点电荷也成立

但是对多个点电荷那就更

也还是成立

所以我们就推广成一团电荷的

分布的情况

其中这里面引入了一个电流密度

这么一个概念

它把普通的电荷密度和电流密度

统一在一起

那么我们刚才说一个点电荷

和外电磁场的最小耦合是这个

那你一团呢

它也是每一个相加起来就是了

在这个里面这个项dxμ乘上e

在这里头写dxμ乘上e

就是jμ乘上四度的体积

就是jμ乘上这个对不对

当我写到这儿的时候

这是一个电荷

当然很多个电荷

每个都是这个样子

那你整个合在一起

都吸收到不同的电荷的贡献

这个电流密度可以相加了

加在一起就是总的电流密度

就是了

所以对一团电荷它在运动

这个最小耦合的这个项

就可以改写成这个

这个就是从一个点电荷的

这个出来的

注意这两个是四矢量的

一收缩这就是一个标量

这是时空体积也是一个标量

所以这是

这个最小耦合这个项是一个标量

那么这个要用分量来去写

前三个空间分量合起来

点乘 这个求内积是这个样子

时间分量两个各一个i 出一个负号

这个一个乘c 一个除c

把那个c消掉

就变成是这个样子

然后我们还注意到是说

这个原来写这个的时候

是说这个A可以有一个规范对称性

就是A里面可以加一个偏μ

这个χ这个场

现在推广成一团电荷当然也应该

所以新加的这个A里面

多加一个微商项

标量场的微商项

那么如果是多加的那项

要求没有贡献呢

就要求多加的那项贡献等于零

也就是这是多加的那一项

这个A里面多一个这个项

然后再乘上jμ

要求这一项没有贡献

这是如果是一团电荷的话

这个A的

还保持那个有规范对称性

那一个电荷有规范对称性

那这一团电荷每一个都有

那当然应该有了

但是这个 对这个电流密度

就会有一个约束

就要求这项等于0

具体看一下这个微商可以变成

这个微商可以变成全微商

全微商拿到面上

面上没有电荷电流就等于0了

所以就换成 改成对它的微商

加一个负号

那么这个标量场是任意的

那只能是里面这个东西等于0

也就是说要求一团电荷的

这个最小耦合的这一项

是具有规范对称性

是要求这个条件

这是一个 又是一个张量的方程

张量收缩成标量的方程

所以这个方程是在所有参考系

都对的

这个方程你把它

把它分量写出来

空间坐标微商分量写出来

你会发觉就是这个

这是什么

这是著名的电荷守恒定律

所以我们现在在这个体系里面

电荷守恒定律是从哪儿来的呢

是要求这个电荷和电流元

和外电磁场的相互作用项

满足规范对称性

它就是电荷守恒

所以电荷守恒定律

是规范对称性的一个导出的结果

就是规范对称性导出了电荷守恒

或者说电荷守恒

最后控制它的对称性

就是规范对称性

那么因为这个是协变的

就是带撇系

就是直接加撇的时候

在带撇系换成这个

就直接 这个上头

上下都是带撇的

带撇系的电荷守恒

到此为止我们三个体系都说完了

一个自由的质点

一个带电荷的

在外电磁场运动的质点

然后有多个一团电荷

在外电磁场里面

最后我们再把整个这个

推导的过程

协变化 所谓协变化的时候

是说什么呢

所有的过程

全部都是用张量来去写

而不能像这个

中间还会有非张量的这个形式