能动量的洛伦兹变换在线视频

这是这一节的最后两个问题

它的时间和空间交叉的那个分量

实际上定义的是这个μ

如果是空间部分

这是动量密度

如果是时间分量

对应的是能量密度

对电磁场来说

这密度我在空间一积分

就得出来了电磁场的动量和能量

这是电磁场的动量和能量

从这块看

能量和动量我们前面在力学说了

它是一个四矢量

是按四矢量变换

但是从这看

它好像这是一个分量

这是空间的

那我们具体来去看一下

就是它的洛仑兹变换行为

到底是什么样

带撇儿系

我们认为这个表达式还是成立

然后做洛伦兹变换

如果是按这个式子的

这个洛伦兹变换就是这样

这是第四个分量

它是一个二阶张量那个分量

就是a4这是洛伦兹变换

那个系数乘上λ

然后这边是λ

这个是μ

就是aμν这是对这个μ求和

然后这是在带撇的

那个参考系的体积

如果是按这个的变换

就直接是四矢量这个变换

是这个

对不对

这是变成不带撇系的这个

不带撇系的

按这个定义把它代进去

它是这样一个关系

这个关系和这个关系

是不是一致的

不知道

我中间打了问号

因为这个关系是从这一块

洛伦兹变换变过来的

这个关系是从这个洛伦兹变换

变过来的

两边是一个

是二阶张量里面的变换

一个是四矢量的变换

你把这两个比较一下

这个式子和这个式子

大家都有一个aμν

都拿掉

剩下就变成这么一个式子

就是说这个式子如果是相等

就表示这个用二阶张量

出来的定义的能动量

和就是按能动量是四矢量

这个是一致的

如果是不等那就是不一致

那就出现矛盾

具体看它这个到底一致不一致

我们考虑在两个参考系

一个S系一个S一撇系

S系里面静止的一团电荷

维持固定的这么一团电荷

它的能动量

然后这团电荷是静止的

所以就没有流动

它的能流都等于零

只有它的空间的那个部分

还有那个应力的部分

还有那个密度的部分

这时候这个里面

这个空间的部分就没有

只有密度的部分

所以这个Pμ

只有μ等于4的这部分的贡献

而μ等于式子是这一团电荷

实际上你按我们的那个

以前的能动量

它有

就相当于它是静止的

它只有能量的部分

能量的部分

一个点粒子

你就直接可以用它的

按我们说点粒子的

用它的质量

按我们前面E等于mc方

那个H可以写成mc方

本来这个动量是好像是i

iH除上c

那个H是mc方

和c约掉一个还剩一个c

然后i

那个i是这个m写在这儿

所以可以

把它参数化成这么一个形式

这是写在这儿了

在带撇的这个系里面

刚才是说它的洛伦兹变换

就是做个洛伦兹变换

一个是在这里面的

a4λ还有aμν乘上它

在这个里面因为

因为这个里面没有能流的那个项

只有这个4

然后λ

首先这个λ是4的时候

这是4的话

这边就只能是4

就是这一项

然后这个是空间分量的时候

这是i

那这是i的话

这块就不能是4

因为是交叉项是能流的那个项

是和我们的维持固定

静止的电荷是不一致的

所以当这个是i的话

这个就是j

就是这个项

这样的话

它如果用这个的洛伦兹变换

代在那团电荷是静止的状态下

洛伦兹变换就是这样的式子

具体写下来

实际上这个r

这个是在不带撇系的

去注意这带撇系的体积元

在不带撇系

和带撇系的洛仑兹反变换

变换成带撇系的坐标

这个换成带撇系的坐标

前面这一部分

这个坐标可以重新叫

把这个γ吸进去

就整个这个叫r

重新的定义一下坐标

这样的话这里面就多出了一个γ

就X方向那坐标

这个γ是根号这个因子

这边也是这样

这样的就让它们的积分的变量

就都是一致了

本来这个积分是r一撇

这个是不带一撇的

然后这个量是我们刚才给出来了

是在这个不带撇系的

就是在这里面

就这个

就是它

然后后面这个项抄下来

所以你就会发觉

在带撇系的这个四度的能动量

相当于在从不带撇系来说

这个相当于

像一个静止的一团东西

然后变到运动的系下

它会出来这个东西

如果没有这一项

这就是标准的

能动量按四矢量的变换

如果有这一项

这就偏离了标准的能动量了

由于这静止系只有时间分量

就相当一团粒子静止

就是一个质量

然后到运动系下

它的能动量都有

就是从这个出来

但是这一项就破坏了

这个就是它原来

是从二阶张量里面出来的

额外出来的东西

那么就要讨论这个东西

这个项什么时候是没有贡献

实际上这就是这说的

这第二项贡献能动量

对这个四矢量洛伦兹变换行为的偏离

对一般的这样电荷系统

这项可能是不等于零的

但是你要知道

这么一团电荷的系统

静止的搁在那儿

实际上它是不可能维持固定的

为什么

一团电荷系统它们在那儿

你要是比如说同号的电荷

它互相是要排斥

它要散出去的

要是异号它会吸引撞在一起的

它是固定

要把这一团电荷要束缚在那儿

光在电力是没办法是稳定的

我们在第二章

静电场静磁场的时候

我们还特别证明过

一团电荷实际上是形不成一个

它能量形不成一个稳定的状态的

这样的话这团体系

要形成一个稳定的体系不动

要超出电磁力的额外的力

才能把它hold住

比如说你就拿是一个质子

说是带正电的

你如果看质子它里面是有结构

是一些小的组分

一堆小的正电荷

团成一个大的正电荷的球

那堆小的正电荷

光靠正电荷自己

它怎么能团在一起

它互相排斥

它不是都排开了

一定要靠其他的力

把它给拉在一起

所以我们算的这些实际上

是没考虑其他的这个力的

下面就是有人就讨论说

如果把这个其他的力加进去

我们姑且把这个其他的力

叫所谓的彭加莱应力

那个力对应的能动量张量

也有一个贡献

这个能动量张量写成是这个样子

叫彭加莱应力

它贡献能动量张量

那么如果我们把它加进去

而且这个额外的应力

能够和现在的电磁场的

这个能动量这样加起来

要求它们是一个守恒的量这个

这实际上从物理上说

这个加起来是要求

它的合应力等于零

它这样的话它保证

它那个不受力是一个稳定的

我们看一下这个条件

在一定的情况下

就可以保证这项就没有