自由电子对电磁波的散射在线视频

大家好

我们现在开始介绍电动力学

第六章的第四节

也是最后一节

电磁波的散射与吸收

介质的色散

在这一节里面我们介绍

这么几个内容

首先是谈电磁波的散射

包括对自由电子的散射

和束缚电子的散射

然后谈介质的色散

在这里边会进一步的引申出

两个比较特别的新奇的现象

一个是所谓负折射率

一个电磁感应透明

最后谈一下和色散相关的

因果性的问题

首先说什么是电磁波的散射

一定频率的电磁波投射到电子上

使它以相同的频率做强迫振动

并向外辐射出电磁波

就是电磁波的散射

实际上就是电磁波

打到这个带电粒子上

带电粒子的响应

响应了以后它运动改变

改变了以后它会新发出的电磁波

那个新发出的电磁波

就是散射的电磁波

整个这个过程

就是这个带电粒子对电磁波的散射

当然这个带电粒子

如果原始是一个自由电子

它不受其他的约束

这样的散射

就是自由电子对电磁波的散射

如果这个电子是在原子里面的

外面的壳层电子

它受的电子的束缚

或者还有受的一些

其他的束缚

那就是束缚的电子对电磁波的散射

我们讨论这样的这个情形

要求这个电子是远小于光速的

那么在这个时候电子运动的时间

是T的话

那么它运动的振动的这个幅度

就是运动的这个距离v乘以T

因为v小于小于c

而c乘上t呢

它发出来的电磁波是光速

这个基本上是它的波长的

所以这个电子运动的线度

是远小于这个波长的

远小于波长我们就近似的

可以把这个电场

包括这个外电场看成是

一个均匀的电场

和这个r没有关系

那么磁力比电力是要小

就是在低速的情况下

所以磁力也可以忽略

我们就考虑它的外电场的

一个均匀的电场

然后这个带电粒子

受到辐射反冲力

然后受外电磁场的一个强迫振动

这是自由电子

自由电子是

就是它没有受到原子

周边的其他东西的对它的作用力

这个是没有办法忽略的

这是因为它只要是运动

它自己的自作用造成的

那么因为这是强迫振动

我们就选这个简谐振动的这个解

代进去

实际上对这个频率ω的

这么一个方程

这个方程你就可以解出来

这个ω就是这个外电磁场

电磁波的那个频率

那么就解出这个振幅这个r0

和这个外电子场的这个振幅的关系

就是它

那么实际上你可以去比较

这个re实际上在这里面

把这个ω提出去

这个里边的这些系数

你会发觉有一部分电子的经典半径

这个电子的经典半径

比这个振幅要小的多

这个刚才说的振幅

又比这个电磁波的这个波长

要小的多

所以整个这一项从数值上

先不看它实的虚的

数值大小这一项比它的小得多

就是辐射反冲

在这个时候实际上是可以忽略的

实际上我们辐射反射

除了影响那个谱线的自然宽度

上一节里面说的

都是可以忽略的

所以在这一节后面

我们全都就不再考虑辐射反冲了

那么把这个辐射反冲略掉呢

就是强迫振动的这个

就是它 这个振幅

那么我们就可以微两次商

坐标的是这样

加速度的就是这样

就可以用那个辐射场

有一个加速运动的粒子

它产生的辐射场

这是用我们前面给出来的关系

E和E0

这个E0就和这个a有关系

和r0是有这样的关系

这是我们在上一节里

已经给出来的

所以这时候散射的电磁波

实际上是它就是这个受到

外电磁波强迫振动以后

额外发出来的这个电磁场

这个散射波的这个振幅是这样

散射波和入射波

都是这个简谐振动

那么散射波的能流

平均的能流密度

就是这个公式把它代进去

代进去以后

如果你取这个从坐标原点

指向场点的那个方向

和这个振动r0之间的夹角

这是cosα的话

这个就是1减cos平方α

这是sin平方α 结果是这样

其中这个α定义是从这儿定义的

这里边这一团出来的定义一个I0

就是是E0平方除上这个数

然后在这个表达式里面看

这个I0实际上是

当这个离这个散射的这个电子越远

这个能流当然就是平方消减的

但是因为这个电子有一个半径

这个半径就是re

它在re的那一块

它的散射的这个能流就是

基本就是r0

出了一个角度的因子就是这个I0

所以I0就是反应它在刚要出来的时候

因为电子至少是它

要比它的那个线度大对不对

对不对

往外走

就是刚出来的时候

那个的它的能流的强度

基本上就是I0

这个I0是这么定义的

对纯入射波

你要算也可以算它的平均的能流密度

这个是散射波

因为是散射出来的

就是它受到强迫振动以后

额外出来的那个电磁场

入射波是一个简谐振动的

这个单频的这个电磁波

那么它对应的这个能流密度

你代这个式子换成入射波的

出来就是I0

所以这个I0从另外一个角度讲

也正好就是入射波的那个能流密度

我们现在选的入射波呢

选它在z方向入射 是这样的

这是能流密度

能流密度把r平方拿掉

我们按辐射场的

因为这个是散射波

实际上它出的

算的是它的辐射场

因为它要跑到很远的地方看的

那么就是把r平方拿掉

就是它的辐射角分布

平均的辐射角分布

那么它的总的辐射功率

就是把这个角度再积分

积掉以后就是等于它

就是把这个sinα去积掉

那么出来这样一个有面积量纲的

这个东西

我们定义为σ

这个σ叫这个电子对电磁波的

汤普森散射截面

为什么看成这个是一个散射截面呢

注意这个是辐射的功率

就是单位时间整个辐射出去的能量

而这个是入射波的辐射的能流密度

就是单位时间 单位表面

所通过的能量

那么这是单位表面

两边都是单位时间

但是这是单位表面

所以整个的这个辐射的

散射出去的能量

就是单位时间打上去这么多的能量

出射的呢

就是要这个单位表面

再乘上一个面积

然后就是整个出射去的

散射出去的能量

所以就好像是我

整个的这个能量打上去呢

是有这么一个小的

本来入射的能量

是按这个单位时间单位表面

有这么多

这是全空间都会有的

但是出射的

好像就是只有这么σ

这么一个表面的能量

是往外出的

就是进去的是哪儿都有

但是出射的呢

这是出射的整个

这个散射出去的能量

就是这么一个表面

在入射的那儿起作用了

然后乘上这么一个面积

就是出射的这个能量

后面我们一个图示来去显示它

那么这样的这个面积

你对这个一个电子呢

它如果从侧面看它的面积呢

就是这个π乘上它的半径平方

这是它的看侧面看的一个面积

如果把它的整个球面写出来

就是4π乘上这个平方

这是整个球面积

如果从一个侧面看呢

就是一个圆的就是这个πr平方

而我们现在出的这个散射的这个截面

是介于它之间的

就是它又不是把这个

整个的球面积展开来一个大的面

也不是单独的

比它的单独的这个面要大一点

比那个整个一个球面要小一点

是这样

刚才我说的就是这个图像

然后再进一步看更细节的

这是刚才我们已经有的这些

这是入射波的那个能流密度

然后这个散射波的呢

这个总出来的这个功率

总的单位时间散射出来的能量

就是入射波的这个

像是打到一个截面为σ

这么大的一个上出来的

这个σ是三分之八πre平方

这个re是电子经典半径

这是入射波的能流密度

然后定了一个α

就是看的方向和那个入射波

电场的振幅的那个方向

之间的夹角

这是散射波的辐射角分布

单位时间 单位立体角

辐射出来的能量

好 我们现在要求入射

说的是入射波

是在这个z方向入射

然后这个电场

肯定就是垂直z的xy平面里面

然后我们把观察的方向

选在这个xz平面里面

也就是说观察的方向

和z方向的这个平面里面呢

选成是x轴

这样这个角 夹角是在

然后E0是在这个xy平面里

它就和x轴夹角叫φ这么取

取这么一个入射

然后入射波假定是

比如说是自然光 太阳光

太阳光的入射

如果是太阳光它的那个电场

是随机的

没有一个特定的方向的

所以我们可以对它进行平均

在这种入射的这个情况下

电场这儿有一个方向叫Ne

Ne的这个单位矢量

它的这个x分量

x分量就是这个

投影就是cosφ

那么Ne这个方向

是没有z方向的投影

它的z分量就等于0

然后这个 当然它的这个y方向

就是sinφ

然后这个r是一个单位矢量叫Nr

Nr的x分量就是sinθ

Nr的是没有y分量的

好 然后我们写

要对这个假定入射波的

这个电场是随机的

方向是随机的

那就要对入射波的电场的方向

进行平均

就是它可以在这一圈里面随便跑

这个φ可以随便跑

先这里面涉及到α

我们要把这个α

用这个φ和θ来去表达出来

sin平方α等于1减cos平方α

而cosα是什么呢

在这里的定义

n实际上就是这个r的方向

n和这个Ne之间的夹角

就是Ne点乘Nr

Ne点乘Nr

是它的x分量乘x分量

y分量乘y分量

z分量乘z分量

但是注意到其中一个z分量

等于0

一个y分量等于0

所以这两个的y分量和z分量的

那个求和的项都没有

只有x分量留下来

x分量就是Ne的x分量

和Nr的x分量

Nr的x分量是这个

Ne的x分量是这个

就是这两项

所以sin平方α

用这个φ和θ表示出来

就是这么一个关系

那么我们对它做平均

实际上就是对φ做平均

0到2π做积分 然后除上2π

那么而这个sin平方α

刚才得到是这一串

就是对这个东西对φ做积分

积出来就是这个

所以就把φ也可以平均掉

出来是二分之一1加cos平方θ

这样的话这个辐射角分布

如果入射波的电场是随机的

在这个入射的这个φ里面

随机的跑的话

最后的结果

平均出来的结果

就是这个的结果

那么把这个辐射角分布

除上入射波的能流密度

这就是一个面

这是叫微分截面

就是单位立体角出去的

沿这个方向出去的

它也可以看成是一个

和入射波看成是

一个小的截面散射的

那么就是这个

这叫汤普森的微分截面

我们就说 说一下这个散射的时候

引入这个截面

截面的概念就是这个

假定你去射箭或者打枪

打到一个靶上

这就入射的

我们是入射的是电磁波

或者出射的电磁波射出去

那么射到这个靶上的这个

就是射中了

射到边上就是射空了

那么这样的话

这个叫射到的这个一个面积

就是这个靶的面积

这个就叫一个截面

同样我们一束电磁波

或者一束粒子流这么射

这块有一个球

和它如果是没碰着的这些

和它没有相互作用的话

这个球的这个侧面这个截面

就是它真正起来作用的截面

这就是πr平方

但是在实际的问题里面

是一个粒子和这个

一个发生散射

它没碰见它的这个东西

也会有影响

这叫硬球模型

就是碰到它

真正打到它身上的才发生作用

稍微离它一点

只要没碰着它就没发生作用

那么这样的话这种情况

它的原来的这个半径是多少

这个截面就是多少

而我们现在是说除了碰上它的

会发生作用

不碰上它

因为它们有相互作用

电磁力相互作用

它也会有作用

但是最后你可以等效为一个硬球的

那个截面就是说好像

这么打过去

就好像它中间是有一块那个

硬的像这个靶似的这么一个板

这么大的范围里边发生作用

其他的都没发生作用

这个截面的含义就是这个

所以在这里面刚才的这里边

有一个总的这个截面

还有一个微分截面都是这样

微分截面是指的

在某一个立体角出去的

实际上就是

也是在那个里面

立体角里面

它相当于有这么大

这个单位立体角里

有这么大一个截面发生了作用

然后总的你把立体角加进去

整个4π立体角也是

总的截面就是

整个的入射的这个

电磁波的这个能流里面

只有这么大一块

是实实在在的像一个硬靶

直接发生了反应