协变推导在线视频

最后我们明显推

这个是怎么来的

你说这个方程这不是协变的吗

这个方程按我们一般的

最小作用量原理的原则

应该是从作用量求极值

得到拉格朗日方程

我们最开始从作用量求极值

拉格朗日方程怎么

是空间坐标

老老实实一个一个分量微的

那个过程不是一个协变的过程

你是分量一个一个微

你要是微商整个都是用矢量张量

那种方式来去做那个才是协变

下面我们就从

因为我们的原始的作用量

一个带电的质点

在外电磁场里面是这个样子

我们下面把整个的推导

全部是用张量来去写

然后证明它的

极值的方程就是这个

我们给大家证一下

这是所谓的协变的推导

这时候的

那个ds就是它

这就是ds

这是用另外一写法写那ds

写成了空间坐标

还有时间坐标写开就是那ds的

好 我们现在求极值

是协变的求了

这个求极值

就在这里面要微这个项

这是根号就跑到分母上了

然后但是有一个二分之一

但是微这个里面的

这有两项 又有一个二

把那个二分之一约掉了

所以前面这个微

后面这个微商变化

求无穷小的变化

一个是对这个的变化

一个是对这个A的变化

对A的这个变化

A是通过里面的坐标

那么是对A有

空间坐标 时间坐标

先对第ν个坐标微商

然后第ν个坐标去做变化

所以这一项是对A的变化

这一项是对它前面这个

粒子走的这个

这里面这一项就是这

写在这了

这一项实际上

你去对一下

整个这个里面

就是这个四度速度

这看起来挺复杂

这个就是ds

ds和dτ就差一个常数

自己对一下

整个这一串

就是这个四度的速度

那么这两项合在一起在这

这个项抄下来

然后这里面这个是它的

两个轨迹的变化

这个是原来的积分的

交换这个

就变成dδxμ

dδxμ又可以d变成总的

就是总的这个d

就是这个积分

总的d在那个起始和终了

是没有变化 是等于0

所以这个d可以从这拿过来

变成一个负号

改成对它微和对它微

负的对它微写在这

负的对这个微在这

这一项还是抄下来

所以这两项的作用

就是把这个d移到

对这个变化上

然后这个dAμ同样是

它是先对这个里面的坐标微商

第ν个坐标微商

然后第ν个坐标再做变化

然后整个这个式子里面再

这再除一个dτ乘一个dτ

这一项

这两项你看一下合起来

这个注意

这是个负号

这正好是场强的那个项

就这是偏μAν

这是偏νAμ 是负的

这两个加起来

正好是那个场强的项

然后再除个dτ乘个dτ搁进去

在这里面

这些都是任意的

这是那个原时

这是那个粒子走的那段

小的路径时

四度的

有空间间隔 时间间隔

那么这是任意的

只能这个里面的东西等于0

里面的m0乘上这个四度的速度

就是它的四度的动量

所以这是dpμdτ

然后移到等号那一边去就是它

这一边

这个又是它的四度速度

就得到这个方程

这个方程就是我们刚才

得到了这个方程

这个kμ在这定义

在这写在这了

看一下

这就是我们刚才

从最基本的作用量做协变

注意这每一步都是用张量写的

所以它在所有的参考系

都是一样的

然后你要关心它的具体用

什么分量写

你在那个参考系下

化成那个参考系的分量就是了

这是我们给刚才推出来的结果

好 到此为止

我们就把所有的力学的部分

都相对论化了

都换成是张量的样子了

所有的量和张量是什么一个关系

是它的哪些分量

那么都确定下来了

那么所有的力学的

这些里面出现的量

当确定了

它知道是张量的哪些分量

也就知道了它在不同的参考系

惯性参考下相互是什么变换关系

好 第五章的第五节就介绍到这里