波动方程在线视频

大家好

我们现在开始介绍

电动力学第三章

电磁波的传播

我们在第二章里面

讨论的是电磁场

不随时间变化的情形

在这一章里面

我们讨论电磁波的

另外一个极端

电磁场随时间迅速变化的情形

实际上电磁场随时间

迅速变化的情形

又可以分成两部分

一部分是关注无源的场的情形

一部分是关注源的贡献的部分

对源的贡献的部分

实际上是我们下一章

辐射电磁场所讨论的

在这一章里面

我们主要关注

没有源的随时间变化的

迅速变化的电磁场的行为

我们现在讨论这一章的第一节

理想绝缘介质的波动方程

及平面电磁波解

在这一节里面我们

实际上是用一个

最理想化的例子

来去给大家演示出电磁波

是一个什么行为

实际上电磁波的存在

脱离了电荷电流元的

电磁波的单独存在

从另一个方面验证了

我们前面曾经讨论过的

电磁场是不是物质

这么一个命题

这一节里面我们分两部分

一部分是从麦克斯韦方程组

推导出电磁波满足的波动方程

然后我们在一个

最简化的情形下

求解一下这个方程

给出所谓的平面电磁波的解

我们首先讨论在理想绝缘介质

这个理想绝缘介质

首先是绝缘介质

就是电导率等于0

然后我们的这个介质的

电磁性质方程

用我们最熟悉的这两个方程

磁的性质方程B等于μH

电的性质方程D等于εE

在开始推方程的时候

我们是考虑一般的

可以非均匀的介质也就是μ和ε

和空间坐标有关的情形

在最后求解的时候

我们简化成只考虑均匀介质

也就是μ和ε是常数的情况

我们说过在这一章里面

我们都不考虑电荷电流元

只考虑纯的电磁场

因此我们把

自由电荷和传导电流都取成0

这时候我们的麦克斯韦方程组

一个是法拉第电磁感应定律

一个是安培环路定理

安培环路定理对应的是

磁场强度的旋度

等于电位移矢量的时间变化率

其中传导电流等于0

这里面磁场强度又换成B除上μ

所以磁场强度

旋度就换成两部分

一个是微μ分之一

一个是微磁感应强度

这实际上合起来

是磁场强度的旋度

还有一个是

库仑定律对应的方程是

电位移矢量的散度等于0

把电位移矢量换成εE

一个是微ε一个是微E

微ε那一项

移到等号的另一边

就是这个方程

然后还有一个磁感应强度的

散度等于0

没有磁单极的方程

这是四个麦克斯韦方程组

用磁感应强度和磁场

电场强度来去表达

这个方程式把这μ乘上来

就化成这个样子

这个方程式把ε除下来

就化成这两个表达式

注意在这里面

我们并没有要求

μ和ε是一个常数

所以它可以处理非均匀的介质

体现在这

这有一个logμ的梯度

这里面一个logε的梯度

写在这里

如果是常数的话这项就等于0

这一项等于0就是了

然后我们开始推这个方程

电场强度的方程

考虑这个电场强度

用拉普拉斯算符作用上去

注意到这个式子

把它移到等号一边

就是里面的这个式子是等于0的

把这个代进去

所以再加上一个梯度也是等于0

为什么要凑这个项呢

因为这个项

这是拉普拉斯算符

作用到电场强度

和这一项两个合起来

正好是E的旋度

再做一次旋度

做两次旋度

这个项抄下来

然后E的旋度这个项

就可以用法拉第

电磁感应定律代进去

是偏B偏T

后面这项抄下来

然后这个交换

时间微商和空间微商

里面就变成B的旋度

这一项是抄下来

B的旋度就可以用这个

把这个移到等号这边来

然后因为还有一个偏偏t

所以把这移到等号这边

在两边加上一个偏偏t

就一项是这个

然后还有一项是这个偏偏t

这个是认为

这个μ是一个常数

跟时间没关的

所以偏偏t就偏B偏t

所以把B的旋度

然后对时间的导数代进去

就是这两项

这一项抄下来

这里面的偏偏t

偏B偏t用这个

法拉第电磁感应定律代回去

因为我们要算的是电场的方程

所以都希望用电场表达

写成这一串

这个项还可以进一步的展开

写成这两项

两个叉乘可以写开

这样的话把 整理一下

把这个项移到等号一边去

剩下的一堆写到

这就是电场的

电场强度所满足的波动方程

注意到这个

你说这怎么像是波动方程

注意到后面这些

如果是均匀介质的话

这后面的这些项都等于0

它就 如果是均匀介质

这个等号这一边就等于0

那么这就是标准的波动方程

如果是非均介质这会有贡献

就是偏离标准的波动方程

这里面出现一个

在波动方程

在这个地方出现的是波的速度

后面我们看到

这个速度所起的作用

在这里面

实际上这个V平方分之一

就是这个με

或者是换过来

V平方就是με分之一

好 这是我们刚才得到的

电场部分的方程

满足的波动方程

一个非均匀介质

非均匀的理想绝缘介质

它的电场强度满足方程

那么磁感应强度

我们一样的去做

也是算这个磁感应强度的

拉普拉斯算符作用到它上面

然后额外的加上这么一个项

这个项根本就等于0

因为B的散度是等于0

然后它就可以化成两次

磁感应强度的两次做旋度

然后磁感应强度做旋度

就是这个式子

可以化成偏E偏t乘上με

然后把这移到等号一边去

就这一串

然后外面还有再做一次旋度

外面再做一次旋度

微到这个项里面

这个里面有两部分

一个是微με这个项

还有一个微这个E的项

微E的项就是变成E的旋度

E的旋度就可以换成偏B偏t

然后E的旋度换成偏B偏t

这原来还有一个偏B偏t

所以微两次乘上με

所以这个微后面的这项就是它

微ε με这项就是它

最后的这一项抄下来

这块是乘上一个με

所以你乘上一个με

除上一个με

除上με和它

这是log的微商

然后乘上με

就是这个式子代这一串

这个式子抄下来

这样的话

把这个移到等号另外一边

这就是磁场的波动方程

这是理想绝缘介质

我们如果是真空

也是它的一个特例

真空就是μ等于μ0

ε等于ε0

所有的这边项都没有

然后这个V呢

真空里的速度

就是我们通常说的光速

是μ0ε0分之一然后再开方

所以我们会发觉

这个本来算出来的这个速度

在早年是意外的

和光的速度是对上了

就是说我们的电磁场

电磁波和光在这个

从速度上是一样的

所以人们进一步推测

光是电磁波的一部分

这才有了

我们电磁波是

光只是电磁波的一个波段

那么光的本质就是电磁波

好 刚才我们把

一般的理想绝缘介质

可以是非均匀的情况下的

波动方程给推出来

现在回到真空

真空的时候就变成这两个方程

磁感应强度和电场强度

我们做一些超出

更大范围的来去讨论

大家会学 大学物理

或者普通物理

会学量子物理

在量子物理里面

有一个微商算符和我们的

物理量的对应关系

也就是空间微商算符和动量

有这么一个对应关系

时间微商算符和能量

有这么一个对应关系

如果从这个角度

所谓的量子对应来去看

这些空间微商和时间微商

结果就化成了能量动量

这里面出现的空间的二次微商

就化成两个动量的平方

再除上普朗克常数的平方

加一个负号

这里面的时间微商除上c平方

就化成是能量的平方

除上c平方

除ћ的平方

那么这两个式子

如果从这种对应的话

你会发觉

就变成这么两个式子了

那么如果是

这个方程对应的

电场强度和磁感应强度

是不等于0的 是非平庸的

它是不等于0的

那从对应过去的量子的角度看

这个方程实际上就是这个式子

前面这个东西等于0

而前面这个东西等于0

是什么意思呢

在我们的力学里面

相对论的力学

我们在后面讨论相对论的时候

还会重新推这个式子

告诉你

一个质量为M的一个点粒子

它的能量和动量

是满足这么一个质能的关系

能量动量的关系

我们通常叫质壳条件

就是能量的平方除上C平方

减去动量的平方

等于它的静止质量的平方

乘上c平方

那么和这一对呢

你就会发觉

如果你把这个方程

描述的电磁场

看成是个粒子的话

因为用这个式子

对应的是粒子描述

那么对电磁场

我们对应的粒子叫做光子

那么光子的质量就是等于0

因为是必须要前面

磁感应强度不等于0

那就前面等于0

前面等于0就是这个里面的

对应光子的这个东西等于0

也就是光子的静止质量是等于0

什么意思呢

我们的这个波动方程

如果从粒子的角度

从量子的角度看它对应的

这个电磁场对应的量子

是一个0质量的粒子

注意到0质量的粒子

如果不考虑相对论的结果的话

看普通的能动力学

0质量粒子是什么都没有的

因为0质量的粒子

F等于Ma M等于0

所受到的力等于0

然后动量也是0

什么都是0

但是到相对论的情况

就不是这样了

相对论的情况后面我们

讲狭义相对论那一章会去讨论

0质量的粒子

它是以光速运动

它是会有能量的

会有一系列的效果的

那么我们的

电磁波对应的量子

光子就是这样一个

0质量但是是一个

非平庸的东西

如果这个光子

凭什么说它是0质量

就是一些

现在的这个方程是这个样子

假定光子是有质量呢

那你对应的就是这个式子

就这个式子里面加一个质量项

那对应的就是这个样子

所以在这里面

就加一个常数的项

在这一章里面

后面我们会去讨论

如果光子真是有质量会怎么办

我们说是就会这个方程

当然说我们在自然界里

真空中看到的电磁场

是这个方程

是没有光子是对应的量子

是没有质量的

但是我们也许这个没有质量

另一种说法

是这个质量是非常非常小

小到你现在实际还测不出来

现在实际上我们的物理学家

还在不断的去测

光子到底

就是自由空间的光子

到底有没有质量

那么我们物理上

不可能给出一个绝对的

等于0的这个验证

只能是给出一个下限

就质量小于多少多少

后面我们会具体的来讨论

那么这是在自由空间

在介质里面

也许会有一些介质的效果

电磁场跑到介质里面

就不是这个方程了

就会多了这个

就是在介质上

某一些介质会产生

电磁场跑到上面

这个电磁场的量子

就变成有质量了

我们在这一章里也会讨论

如果某种介质上

电磁场跑到光子

自由空间没质量的光子

跑到上面得到了质量

这个介质会有一些什么效应

这个化到

写成方程就是这个样子

假定光子有质量

这个方程要做点修改

好 这是做一些推广的讨论

为后面做铺垫