电子的经典运动方程在线视频

这个带电的粒子

我们姑且就叫是电子

我们取它一个具体的描述的方式

假定它这是这么样一个粒子

电荷均匀分布在半径为r0的

这么一个球里面

这个r0就叫电子的经典半径

更细致一点叫电磁半径

因为是电荷分布的这个半径

那么因为总电量是e

那么它的电荷是带负号的

所以总的电荷密度是均匀分布的

就是除上它的体积

这是电荷密度

我们现在先站在这个电子上

是一个静止系

静止系我们现在用带撇的

就是静止系里面

用这个高斯定理画一个球面

算这个在这个球里面的

和球外面的时候

这是高斯定理的那个

左边的这个电场强度的通量

加撇是代表是带撇系的

然后这边是它的那个q除上ε0

这样就可以把电场强度算出来

反正电场强度是沿着径向的

有了电场强度

然后我们现在是

实际讨论的这个电子是在运动的

我们简单一点

就是实际上它是有可能有加速的

但是我们近似的用一个

还是匀速的那个系的

洛伦兹变换来去描述

在运动系这个按

电场强度和磁感应强度

洛伦兹变换的关系

运动系是不带撇的

它的电场强度 磁感应强度

可以用静态的

静态的这场是没有磁场

因为静止的

是这么一个关系

其中有一个因子

和这个粒子运动的速度

是这样一个关系

那么有了这些

我们现在看的这个

算的是在这个粒子运动系下的

它的总的能量 电磁能量

这是能量转化守恒定律

给出来的能量

刚才也是我们算的

所谓的自能的这个部分

那么这个积分这是运动系的

我们还不知道

所以我们要都把它变成静止系的

其中这个dx dy dz

我们选同时测量

就是那个dt’是等于0

所以dx’就可以换成

按这个坐标的洛伦兹变换

dx’就换成 和dx中间差一个γ

因为是沿x

我们选的是它粒子

是沿x方向运动在这一瞬间

那么y和z就是不变的

这样的话这个积分变量

就可以换成x’y’z’

然后x’因为dx换成x’

差一个γ分之一 移过去

然后里面的

它的把这些式子都代进去

所有的Ex Ey Ez

Bx By Bz都换成带撇系的

带撇系的因为我们是知道了

而带撇系的这个结果有了

你把这些全都写在一起

因为在带撇的系里面

它是一个球对称的

所以球对称的

你积x方向 积y方向

就是Ex平方 Ey平方和Ez平方

三个带撇的平方

实际上积分是完全一样的

因为它是球对称的

所以在带撇系你可以不区分

就是Ey的这个平方的积分

你直接化成x

这个直接换成x就行了

所以它们全都是一样的

全都是一样的直接就换成一个x

剩下的这些每一个贡献的系数

都写在前面 全部加出来

加出来你就发现光是Ex的平方

是在这个带撇系的话

如果是带撇的话

它的总的电场部分能量是三项

那么单独一个分量就是三分之一

所以单独一个这个

是三分之一的电场部分的总能量

后面前面这些加起来是这一串

这个系数

所以说你会发觉

这个里面整个贡献这么一个因子

在这个洛伦兹变换下

就是运动和不运动

会有这么一个因子

刚才我们说了那个三个

如果这个是算这两个

是同一个分量的话

是写x 写y 写z是一样的

实际上你可以进一步来看

是两个脚标是不一样的

它是等于0

这个大家可以自己下去

去验证一下

那么我们刚才得到总的这个能量

就用这个在静止的

那个带撇那个系下

它的这个能量表达出来

而静止的在带撇系下这个能量

到底是多少呢

我们静止系下这个电场解出来了

我们就直接代进去一个一个算

它分在球里面 还是在球外面

所以这个体积积分

你就把角度积出来一个4π

然后是径向的积分

从里面的积分从0到r0

然后在外边从r0积到无穷大

然后把里面的电场强度的平方

代进去

外面的电场强度的平方代进去

积分积出来

最后的结果就是

这是严格积出来的结果

这是我们这个算出来的

静止系下这个电场部分的

这个能量

刚才我们算出来总的结果

是这个

它和这个能量就这么一个关系

那么我们进一步还要算什么呢

还要算是它的一个变化

就是它这个速度会有一点点变化

在这里面速度有一点变化你就

这是一个常数注意

这个能量只是一个常数

你做变化的只有这个速度会做变化

所以你去做一下微商

微出来就是这样

这个对这个dv平方呢

一微的话就是二倍的v点乘dv

dv就是dv/dt再乘上dt

就是这个 这个东西

这个一微商你自己微一下

要微这儿的 要微这个

微出来是这么一个结果

底下这块是根号的三次方

在这里面就多出来了一个

多出来了一个这个三分之五的

这个因子

当v趋近于 v非常小的时候

这块多出一个三分之五的

这个因子

好了 这是我们电磁部分的能量

自己的 就是场的能量的变化

当这个粒子的速度

有一点变化的时候

然后算辐射场的能量

一个带电粒子的辐射的那个功率

我们在辐射场里面

实际上是讨论过

那么让大家

实际上是让大家作业去算

算出来的结果

直接代结果 它的功率

只有有加速的情况下

它才会有辐射

它的辐射功率是这么大

这是电子的电荷

这是它的加速度

那么把这个a写成

a平方写成a点乘a

那么另外一个a点乘

其中一个a写成dv/dt

那么dv比上dt

那个dt和dt约下来

就变成这个样子

这个对dv的积分可以分部一下

变成是改成是对da的积分

就是这个变成全微商

全微商就积出来了

然后变成v点乘da

v点乘da

da再除个dt 乘上个dt

那么da/dt就是a的

再时间导一次 dt的积分

那么写成这个结果里面

我们现在推电子的方程

我们是考虑这个电子

是一个周期性运动

周期性运动要求呢

这个v点乘a转一圈回来

就是在起始和终了的时候

它是最后是等于0的

那你说你为什么非考虑这种情况

不考虑这种情况的话

我最后推不出这个所谓的

电子的经典运动方程

只有这种情况我们能够处理

那么在这种情况下

就是这项没有的时候

这个项如果是在无穷小的时候

就直接写它的这个被积函数

就变成是这样

那么这个辐射场的

这一部分的能量

在这种特殊的情况下

这是周期运动的时候

注意这个周期运动是整体的考虑

当时我们说整个大的环境

是一个周期运动

然后我们考虑中间的

小的一小段

这一项大的互相抵消掉了

考虑到这个抵消以后

剩下的这一部分再一小段

可以就看成是这个样子

那么这个样子你会发觉

辐射部分的能量

和自作用的这部分的能量

都是这么一个结构

乘上一个dt

然后有一个v点乘

这个很重要

只有这样最后我们才推出一个

自作用的运动方程

那么把这两项加进去

原来的一个带电粒子

考虑自作用以后

在这边就是要多加一个dW

自己的电磁场的变化

还有一个辐射场的部分

就是加上这个

注意到这个dl

实际上就是v乘上dt

对不对

所以实际上点乘dl

就是点乘上v乘上dt

注意在这里面有一个点乘上v

乘上dt 这里面有点乘v

这个点乘v乘上dt两边都有

就可以去掉

这是为什么这个项一定要化成

有一个v点乘的

而如果原来的这个结论里面

没有v点乘

就是原来这个项里面没有v点乘了

化成这个 但是是有代价的

是要求这个抵消

把这个v点乘dt

点乘v dt 两边都去掉

这个方程就变成是这个样子

其中这个里面的这一项

a一点的这个项重新叫一个名字

写成这个样子

移到等号另外一边去

这个项和这个项你发觉是类似的

都是正比于加速度写在这儿

这个项是正比于加速度的

时间导数的 写在这儿

这个就是我们考虑了自作用以后

这个一个带电粒子的运动方程

所谓电子的经典的运动方程

就是这个样子