定态电磁波的平面波解1在线视频

下面我们就得到了

就是这些方程

然后我们进一步的在这个方程

要把这个电场强度

对空间坐标的依赖解出来

我们猜这样的解

这个就是所谓的定态电磁波

这个电场强度对空间坐标

也是e指数的依赖

然后上边写一个

k的一个矢量点乘上这个r

乘上一个ik

那么再加上原来的

对时间部分的依赖

整个定态电磁波的形式

就是这个样子

那么这样是不是它的解呢

你实际上就把它代回

这个里面看一下

它如果是E的ik点乘r

这一个倒三角一微商

就下来一个ik

然后两个倒三角就下来两个ik

两个倒三角之间是点乘

就下来一个负的k点乘k

所以负的k点乘k

这是k平方

是这一团东西的一个代表

就是这一团东西就叫k平方

这一边是负的k点乘k

然后加上k平方要等于0

才能满足这个方程

就是这个式子

就是说只要k这个矢量

自己点乘它自己

是等于那个方程里

出现那K平方

那k平方就这一块

这个解就是满足

这个麦克斯韦方程组的

微分方程了

所以这个k矢量

要满足这个条件

注意到这个k矢量要

同样这个磁感应强度也是这样

因为磁感应强度满足二阶的

偏微分方程跟它是一样的

所以它也设成这个样子

这也是这个k

也是只要k点乘k矢量自己

是满足这个条件

这个就是满足那个

二阶偏微分方程的

如果是满足这个条件

你就会发觉这个k矢量

是非常特殊的

因为我们通常想的一个k矢量

就是一个三维空间矢量

三个数分量都是实数

但是现在这三个分量

显然不能都是实数

因为什么呢

这个k点乘k自己

出来这是有一个复数了

所以它这个k矢量

至少有一个分量得是复数

所以这是一个复的矢量

复的矢量是什么意思

它的分量是复数

就是每一个有实部 有虚部的

那么这样一个复的矢量

我们把它的每一个

分量的实部合起来

合成一个矢量

这是实部构成的那个矢量

然后每一个虚部

虚部有什么

就是一个实数

然后前面有个i就是了

把那个i抽出来

剩下的那部分构成一个矢量

叫它虚部矢量

所以一个复的矢量

可以用两个实的矢量来去构造

只不过那个虚部的

那个前面要乘一个i

就给你一个复数

是一个实部 一个虚部

虚部和实部都是实数

但是虚部前面多一个i就是了

所以这个波矢

实际上两个实矢量来去构造了

这里多一个i

这就是这个的导致的效果

这个的项要有呢

只要是导电的话

电导率不等于0

它就会有这个

那么也就是说

这个虚部从这个看

如果这是导体的话

一般来说就会有这个虚部

这是为什么我们

一开始特别对导体

要单独的进行一下讨论的原因

那么这样的解和我们上一节

理想绝缘介质的平面电磁波

给出来的那个解有什么关系呢

实际上那个解

是我们这个解的一个特例

那个解大家回忆一下

当时那个里面说

它是理想绝缘介质平面电磁波

只是说电场和磁场

都是一个t减n点乘r比上v

这么一个函数

那函数形式不做任何限制

只说是这么一个函数

就可以是理想绝缘介质的平面电磁波

而我们现在呢

对这个t和r的关系也是一个组合

是这么一个组合

我如果凑得和它是一样

把那个t前面的系数都取成1

就提出一个负ω

它是这么一个

对t和r的这么一个组合

这么一个组合这个很相像

实际上只是是k比上ω

是它这个n比上v就完了

对不对

那k比ω到底是什么

我们先看一下它大小

从这个看 我们简单一点

先看 因为那会讨论

和那个情况

对 那是理想绝缘介质

就是没有这个项的

没有这个项的时候

这个k点乘k就是它自己

k点乘k是k的矢量的

那个模的平方

相当于k的矢量的模

就是ω乘上根号μ乘上ε

那它再把那个ω除掉

所以k的模大小

矢量的模除上那个ω

就是根号μ乘ε

而根号μ乘上ε

按我们前面说的

这就是介质的里面电磁波的

速度的倒数 就是这个

所以这个的大小

正好就是v分之一 就是这个

k的方向定义成这个n

k的矢量除上k的模叫成n

所以这个项正好就是它

所以什么意思呢

前面那一节

我们讨论理想绝缘介质的

平面电磁波

实际上是我们现在这个情况

当γ等于0的时候的特例

我们现在比它更复杂了

因为多了这个项

多了虚部的这些项

好 刚才我们既然说

这个波矢 这个矢量

是可以变成复数

那么前面的这个系数

这个叫做复的振幅

这个振幅也是可以是复数

所以它是复数

你可以几种看法

一种是它的每一个分量

都是复数

每一个分量都是复数

这个E 0 n

就表示它的第n个方向

就是xyz某一个

第n个方向的分量

它可以写成它的

这个两杠是表示复数的模

是它的复数的模

再乘上一个辐角

同样这个B 0 n是表示

磁感应强度的

复振幅的第n个分量

这矢量的第n个分量

然后可以写成模

还有它的辐角

把这个结果代到这个里面

这个结果代到这个里面

定态电磁波的平面波解的

这个电场强度的表达式就是这个

这里面把它的复振幅E0

用它的分量具体写出来

每一个分量

又写成它的分量的模

和它的辐角

然后再把这里面的K

里面的实部

虚部也都代进去了

虚部两个i乘起来

就变成一个负1写在这

磁场是这样

在这里面

真正你会看到这个磁场强度

真正的振幅

实际上是前面这一串

就这个东西是在第n个方向

n可以是xyz

这个方向的振幅

那么这个里面的这一部分

是它的位相

通常叫做位相

这是电场部分的位相

这是磁场部分的位相

磁场和电场这个辐角不一样

所以它这有一个常数的

这个可能是不一样的

下面我们来看一下

仔细的看一下

这个电场为例来去看

它和我们那个原来的无穷大的

平面理想绝缘介质的一个平面

电磁波有什么不一样的地方

因为那时候平面波说

等值面是一个大平面

然后那个大平面以速度v

沿那个n的方向在运动

现在没有说

没有办法说等值面

因为这时候有一个虚部的

造成了一个

这实际上是一个压低

这块是一个位相

我们只能说是等位相

这是位相 等相面

等位相的这个面

要使这个位相保持相同

实际上在一个给定时刻

就保持这个量不变

保持这个量不变

你就考虑一个

与波矢的实部

垂直的一个矢量

要求这个它和点乘它等于0

那么既然它点乘它等于0

k点乘r

和k点乘r加r垂直

就是一样的

因为这一项是等于0

也就是说位相在这一点

r这一点的位相

和r加r垂直的那一点的位相

是一样的

r垂直可以跑遍

沿这个和kr垂直的

整个大平面上

所以整个那个大平面上

它的位相都是一样的

这就是等相面

是由这个kr与kr垂直的

那个大平面来去定的

那么在 这是在一个固定时刻

在不同的时刻这个等相面

是以一个速度v在运动

那么我们就可以要求

整个这个位相

在两个不同的时刻

它数值相同

一个是在t1时刻

在r1那个位置

然后t2时刻在r2位置

要求它位相相同

因为这两个都是共同的常数

就可以不管了

这两个相同你最后就推出来

这么一个关系

这个关系你把这个kr

除上一个kr乘上一个kr

这个东西

这个是两个大平面的那个

中间斜的那两个点之间的距离

点乘上

这个平面移动的方向

因为这个平面的法向

是kr的方向

这是kr的法向的那个单位矢量

点乘上它

实际上就是两个平面

移动的那个速率

在那个沿着kr方向移动的速度

叫vΦ vΦ乘上它

这就得出来它的等相面

移动的速率

把这个除过来

就是ω除上kr

所以这个kr实际上是贡献

等相面移动的速率的

那么如果在这个体系里面

这个波矢量的虚部等于0

那它的等相面就是它的等值面

因为没有其他地方

再控制它的值能变化了

所以那个时候

如果是没有这个虚部的话

你就可以直接谈等值面

就和理想绝缘介质是一样

等相面就是等值面

但是如果是有这个虚部

就通常比如说

这个介质是导电的话

这时候实际上

没有一个大的等值面

为什么呢

因为它的等值的

是由这个等相的这个

还有一个这个来去

等值的区域有两个方程

一个是位相固定

这是位相固定

还有一个是这个固定

这两个都固定

这两个没办法调和的

因为一个是指数上

一个是虚部 一个是实部

所以要求它固定 和它固定

这两个联合求解

固定出来的那个区域

才是它的等值的区域

而这个等于常数

实际上是一个大平面和这个

这个也是一个大平面

这是和它垂直

这两个平面一般来说

不一定是平行的

如果是不平行的

那就会有相交

相交就交出一条直线

所以在一般的情况下

这两个都不等于0的时候

这等值区域是一条线是这样

那么这个虚部起什么作用

刚才说了实部

是控制它的位相的

就是实部的那个方向

就是管的那个等相面

移动的那个方向

虚部就告诉你

你这个r发觉

r沿着这个虚部的方向

这个东西衰减

加一个小的量

它就是衰减是最快的

因为如果不是沿着那个方向

就有一个cosθ

这个数值

指数上这个数值就会小一些

如果是沿着这个方向

cosθ是等于1

这个衰减是最大的

所以沿着这个虚部的方向

是说这个电磁波

往这个方向衰减最快

反着那个k的方向

相当于说就是增强的最快 大概

所以这是管位相

这是管衰减的