例子（电偶极辐射、电四极辐射、磁偶极辐射）在线视频

好 下面我们对讨论的

电偶极辐射 电四极辐射

磁偶极辐射分别各举一个例子

来去算一下这个系统的辐射场

我们首先考虑

最简单的电偶极辐射

一个短的天线

是由两个AB

中间有一个细导线连在一起

然后这个AB上

带的是相反的电荷

充电以后正负电荷

就在形成正当的电流

然后求远处的这个辐射场

中间这段距离很短

从B指向A这么一段距离

所以这是电量乘上这个距离

就形成一个偶极子

然后我们考虑它的

中间的这个电流是振荡的

cosωt 那么对应的反过来说

相当于是每个上面

这用A那个电荷

实际上是sinωt这样的行为

因为这个Qa实际做一次微商

就要求等于这个

这是我们把这个上的电流

给它写成这个样子

考虑 我们现在考虑

是这个距离是趋于零

然后要求这个电流的强度

和这个组合是一个无穷大

这样就可以形成一个

维持这个长度乘上它

是一个固定

这就形成一个偶极矩 偶极子

那么这个偶极矩是一个固定的

但是它随时间变化

那么这个体系在远处的辐射场

最低的贡献 最低阶的贡献

就是这个电偶极辐射

就是刚才这个表达式

这个表达式

就把这个代进去就是了

然后微两次商 就出一个负号

然后出来一个这个ω平方

把ω约掉一个 ω跑到分子上

然后这个叉乘是l叉乘是n

或者是l叉乘上n

这个对时间的依赖

可以写成电流强度的一阶导

然后这个时间是在推迟时刻的

能流密度是等于

磁感应强度的平方

除上μ0乘上c

然后沿着那个观察的那个方向

把这个磁感应强度代进去就是了

代进去它是它的平方

平方就是这个l叉乘n

点乘上l叉乘n

l叉乘n点乘上l叉乘n

实际上你可以用那个

直接去用矢量运算的关系

A叉乘B点乘上A叉乘B

最后就等于A平方 B平方

乘上它们之间的sin的夹角

因为是A平方 B平方

减去A点乘B的平方

A点乘B是A平方 B平方

乘上cos平方

所以1减coc平方θ

就是sin平方θ

这个θ就是这里边的l和n的夹角

l和n的夹角就是这个角

所以它的B平方

最后就是它的这个的

两个分别的模

成上一个sin平方

就是这是能流密度

我们说能流密度

把这个r平方拿掉

乘上一个r平方

就是辐射角分布

就是单位时间沿某一个立体角

那个立体角

是沿着这个方向出去的

一个立体角 由θ

然后还有一个φ来去标记的

在这里面这个结果只和θ有关

和φ没关系

就是它是旋转对称的

因为这个体系正负电荷

它本来是旋转对称的

所以出去的这个辐射的角分布

和这个φ角没关系

好 这是它的辐射角分布

而且从这个辐射角分布

你能够看出来它的辐射

在θ等于二分之π的时候最强

就是在这个偶极辐射里面

在这个侧面的这块是最强的

而在沿着这个方向

θ等于0是最弱的

所以最后它是两边要这么画

这是像一个哑铃式的

这么样的一个形状

然后旋转起来这么一圈

就往侧面一圈是辐射最强

往顶上和底下是辐射最弱

这是偶极辐射的典型的特点

就是它对角度的依赖

是sin平方θ的依赖

然后算总的辐射功率

单位时间辐射出去的能量

就对这个立体角积分就是了

立体角有φ的积分 有θ的积分

然后φ的积分跟φ没关就是2π

这个θ原来积分

立体角里面有个sinθ

这是sinθ sin三次方θ

这是sin平方加上sin三次方

把这sin三次方θ积出来

最后就得到这个结果

这个结果是跟时间是瞬变的

我们可以按一个周期去做平均

平均的功率 平均的功率

实际上sin平方我们以前算过

算界面的反射透射的

算过这种平均

sin平方平均出来就是二分之一

就把这个变成二分之一

所以平均的功率

就是一个十二分之一

有的时候喜欢

把这个辐射的功率这么写

除上一个中间连着导线的电阻

乘上一个电阻

这个j0原来是中间的电流的振幅

j0平方乘上r 乘以二分之一

是什么呢

是它的所谓的热的

消耗在那个导线上的

热的那个功率

然后这是功率 这是功率

所以这边这是电阻

这就一定是一个电阻的量纲

因为总的两边是功率

这个是没有量纲的

所以你就剩下的这一堆

除了二分之一的这个

就定义这个叫辐射电阻

这是一般的这个表达式

在这里面辐射的电阻

就是这个表达式

就是这是可以用它的辐射功率

用它们的两个热的

用它的电阻和辐射电阻

来去做比较

辐射电阻就衡量它

这里面辐射出的能量单位时间

这是一个电偶极子

再把它弄的更复杂一下

这两个小球呢改成三个小球

而且是q 负2q 正q

这是一个电四极子

这个中间有一个细导线连着

中间有电流

写这的电流用sinωt来去写

对这样一个体系

坐标原点如果选在

中间这个负2q这块

在远处产生的辐射场

那么它实际上总电荷等于0

然后最低阶的偶极矩

实际上是一个r一撇乘上ρ

算出来就是这三个地方有贡献

但是这一点是r一撇等于0

就没有贡献 只有这两个

这两个的贡献l是反的

所以相当于是两个偶极矩

一个是往上 一个往下

两个加起来互相抵消了

所以总的偶极矩是等于零

那么总的偶极矩等于零

剩下按我们的辐射场的多极展开

就是零阶贡献就没有了

就剩一阶贡献

一阶贡献是磁偶极辐射

和电四极辐射

然后算一下磁偶极

磁偶极矩是这个

这个r一撇

这个j就沿着这条线上

j写成电流强度乘上dl

这个dl和这个r一撇是平行的

只有在这条线上

所以就等于零

所以它也没有磁偶极矩

也没有电偶极矩

剩下最低阶的

就是一阶里面的电四极辐射

电四极辐射我们说后面正比于

那个单位的张量

那一项是没有贡献的

只算前面这项就行了

前面这项算这个积分

只有这项和这项

这个是r一撇等于0就没有了

那么这一项是两个都是l

这块的这项两个都是负l

实际上这两项是一样的 六倍的

然后代到这个电四极辐射的

这个表达式里面

这个q代到里面

微三次商就是这个q

这块要微三次商 微三点

然后这个n点乘

这两个l并矢量

一边点乘 一边是叉乘

如果是用这个球坐标来去写

就是有θ和φ

这个点乘是cooθ 叉乘是sinθ

然后这一叉乘出来

那个方向是φ的那个方向

那么它的能流密度

就是再平方一下

就是这个的平方

然后这个自己就是算模平方

这个就没有了

然后是本来是沿n方向的

这是它的能流密度

能流密度把这个r平方之一拿掉

就是辐射角分布

注意现在的辐射角分布

跟前面的那个例子

这个电偶极辐射不一样了

原来电偶极辐射的是sin平方θ

现在电四极辐射

多了一个cos平方θ

多了一个cos平方θ

它会有什么差别呢

sin平方θ在这块是最大

在这个侧面这是最大

那么这个方向最小

现在在这个方向

在这个侧面这块是等于0

因为在侧面这个是θ等于二分之π

这是等于0 在上面还是等于0

就是在侧面和在上边都等于0

那么sin平方 cos平方θ什么呢

是在这45度角的这个

实际上出来是个锥

因为这个实际上是sin2θ

sin2θ那个时候

什么时候等于45度的时候

2θ等于90度 θ等于45度

所以对于这个四极辐射

实际上这出来是一个锥

转圈的一个旋转的一个锥

这么着出来是最强的 45度出来

然后算它的总的辐射功率

对这个把这个角度积分积出来

就得到这个

你同样可以得到除上一个电阻

乘上一个电阻

可以得到四极辐射的辐射电阻

最后再说这个

就是一个小电流圈

这磁偶极辐射

一个小电流圈 随时间变化的

我们要求偶极矩就是一个电流

然后这个法向是在z方向

半径是a

然后它的这个电流

是随时间这么振荡的

这么一个算一下

它的那个磁偶极的辐射

这个电流密度可以用这个

这是坐标里边的

那个平面那个方向的极坐标

沿θ方向的 这是用柱坐标

这个θ不是球坐标那个θ

是柱坐标那个平面里边的

然后是r方向和z方向的

这是电流就在这一圈去转

然后它的电荷密度

随时间的导数

按这个电荷守恒定律

是j的散度

j的散度把这个代进去

在这个柱坐标里面

是偏jθ偏θ

就是要求这个东西对θ微商

但是现在jθ是一个固定的数值

只是依赖于时间

和θ 和这个θ角并没有关系

就是在 所以它这个偏θ是等于0

所以什么意思

电荷密度的时间导数等于0

电荷密度的时间导数等于0

你算一下它的那个偶极矩

因为算偶极辐射要p的两点

p的两点里边的对应的是ρ

就是相当于ρ的两点 ρ两点

现在ρ一点等于ρ两点

就更没有了

这个对应的那个Q里面也是

是那个ρ的

本来是三点出现在四极辐射的

现在一点就等于0就没有了

所以就没有电偶极辐射

也没有电四极辐射

剩下就是磁偶极辐射

磁偶极辐射就把它代进去就是了

这个两阶导 然后叉乘代进去

然后这个叉乘算出B平方

在这里面这个叉乘

本来算这个磁感应强度的时候

这已经是两次叉乘了

然后算这个能流密度的时候

B平方两次叉乘以后

再和它自己再去点乘

这个同样你不断的去用这个

A叉乘B点乘A叉乘B

用两次这个关系式

就可以直接得到

它也是sin平方θ

最后是这个sinθ

这个ez和这个r之间的夹角

就是说这和前面的电偶极辐射

是一样的

就是只要是偶极辐射

就对角度的依赖都是sin平方θ

把这个r平方拿掉

这就是辐射角分布

是sin平方θ

那么在对这个角度

立体角积分积掉

就得到总的功率

然后可以得到辐射的电阻

这是第三个例子

到此为止我们的辐射的电磁场

全部就都说完了