切伦柯夫辐射在线视频

下面说第二部分切伦柯夫辐射

我们现在讨论

在一个无穷大的

均匀介质里面的辐射场

还是一个带电粒子 那么是

这个带电粒子是匀速运动

匀速运动一般呢

因为算的那个辐射场

分子上有一个加速度

它加速度等于0

那么一般情况下

如果那个辐射场分母

是不等于0的话

那么分子的加速度等于0

那就没有辐射场

但是在一个特殊的情况下

分母也等于0

这就是

分母是一个1减n点乘v*比c

那么如果是分母也等于0

那么0：0

就有可能有非零的贡献

那时候是匀速运动情况

那么你看一下这个等于0

怎么能满足呢

这个n是一个单位矢量

这个v*如果是真空的话

任何的粒子推迟时刻的速度

任何粒子的速度都要小于光速

所以v*的模大小比c是小于1的

cos 中间cos夹角又小于1

所以这是不可能等于1的

正常情况下

所以在真空里面

这式子不可能满足的

不可能满足什么意思呢

那个分母是不等于0的

分母不等于0

那你是匀速在真空就没有

就一定是等于0辐射场

那么什么时候可能

分母等于0呢

就是要求这个等于1

那就要求 至少要求v*比c要大

就是v*比c什么意思

超光速

因为这个模如果大再乘上

cosθ是小于1的

要有一个大于1的

乘上一个小于1

有可能等于1

那是真空显然满足不了

但是介质里面是有可能的

介质里面

换到介质推出来那个

c就变成是介质里的光速

就是比真空的光速要除个折射率

就是我们真空里

是不可能超光速的

但是超介质里的光速

粒子运动的速度

超介质里的光速

是有这种可能的

所以这就是为什么

要讨论匀速运动会产生辐射

一定要到介质里面

那么在这个粒子的运动

超介质的里面的光速的时候

这个分母有可能等于0

分母有可能等于0

这时候才可能有辐射场

所以我们的切伦柯夫很重要

必须要在介质里面

而且后面会看到

必须这个粒子是要

超介质里的光速来去运动

好 下面我们来具体来来去讨论

我们也是用

频谱分析的方法来去做

这个电流密度做

傅里叶变换

矢量势做傅里叶变换

这是傅里叶反变换

跟刚才频谱分析是类似的

这是为什么

我们前面先要讲一下

一般的频谱分析

然后具体来处理

切伦柯夫辐射的原因

那么我们从最开始的推迟势开始

不从直接那个场

导出那个场的讨论反而不方便

那么推迟势因为我们算辐射场

本来这是大的R

辐射场只要换成小的r

那个差别都不是辐射场的东西

所以换成小的r

就可以拿到外面去了

所以这个里面就变成

这个电流的对体积的积分

然后这个电流又可以做

傅里叶变换

换成傅里叶变换

注意在这里面的时间变量

是推迟时刻的

所以这里面时间变量

换成推迟时刻

还有一个差别

现在是讨论介质里面的

介质和真空的我们用

利用的是真空里面

推出来的那个

推迟势的公式

那么有点哪变化呢

就是把真空换到介质

就是把光速

就换成介质里的光速

就是这个c

换成c除上n

那么除上n就放到这

这个n是介质的折射率

就是这就体现介质的地方

这多了一个n

所以这块多了一个n

那么写到这以后

你把这个频率拿出去

这个E的负iωt拿出去

你就会发觉

这A里面拿出一个频率的积分

拿到E的负iωt

剩下的东西是矢量势的

傅里叶变换

就是它频率空间表达式

所以把这里面的

这个积分拿掉

这个第一项

指数上这第一项这个拿掉

剩下那一堆

也就是这一串是

读出来就是矢量势的频率分量

就是这个

然后我们再化一下

这个频率分量用它的反变换

代回电流密度的表达式

就是这个换成它

注意这里面这是R一撇

所以这又换成是R一撇

为什么要代回来呢

因为我们现在谈

一个点电荷在运动

这个点电荷的运动

电流密度是等于

这个点电荷的电量是e

它的速度是v0(t)

在t时刻就是v0(t)

然后它的电荷密度就是

点电荷就是

电量乘上δ函数

这里面是R一撇

R一撇减去点电荷在那个轨迹上

就是e乘上δ函数

这是点电荷的电荷密度

然后再乘v

就是它的电流密度

剩下这个抄下来

这就是描述的

一个任意运动的点电荷

在电量e的

它的贡献的矢量势的频率的

空间的那个矢量势的表达式

然后我们

就像我们当初计算衍射的时候

这个R去做展开 R是

这个r是减去r一撇

然后R一撇比R去做展开

只展到一阶

零阶项就是小的r

这个换成小的r

一阶项就多出一个

这个n是从坐标原点

指向场点的那个矢量

和这个折射率区分开

一阶项是这个

就是R是等于小的r

减去n点乘R一撇

那么就准到一阶就行了

在往那个什么是高阶的项

这所以写了一个近似号

算到一阶

然后这里面这个积分

是要对r一撇积分的

δ函数一积掉

就r一撇就换成r0(t)就行了

所以δ函数积完了

是这个样子

所以我们得到

现在还没算完

就是从推迟势出发

然后得到一个

任意运动的带电粒子

它的辐射场的那一部分的

矢量势的频率空间的

矢量势的表达式

是这个样子

我们继续的往下算

然后我们再进一步是讨论它

本来那是任意运动

讨论匀速运动

就是这个v0就是等于一个常数

跟t没关系

然后它的轨迹

这个带电粒子运动轨迹

就是这个

初始在r0然后后面

对t是一个线性依赖的

然后折射率老在那出现太麻烦

直接n比c

就用介质里的光速

就用这个v来去写

这是介质里面

这个电磁波的速度是v

这样的话把这些写进去

这里面的r0(t)

r0(t)有一个r0

这个项可以拿出去

剩下的还有一个v0乘上t

这有一个t

前面有一个t

t都提出去

这个就是介质里的光速

在这个无穷大的介质里面

就要比这个积分积出来

这个积分一下就积出来了

积出来就是个δ函数

有一个2π

就把这个2π

一个δ函数2约掉

这个π约掉一个

就变成是这个了

所以我们现在就算出来了

这矢量势算出来

然后你再做旋度就可以算

磁感应强度等等

我们先讨论一下

如果是真空

这个v就是等于c

然后这个v0是粒子的运动速度

不管在哪在真空 在介质

它永远是小于c的

那么真空的话这是c

这个是小于c的话

所以这个一比

这是小于c

这还有一个夹角是

又是小于1的

两个小于1乘起来

合起来是小于1

所以这个东西

这个比它1小

这个永远在

非零的频率里面

这个永远不等于0

所以这个项根本就等于0

这就是我最开始说的

真空不可能有辐射场

也就这个辐射场对应矢量势

根本就等于0

这是我们刚才说的

然后看介质

介质现在是这个v

出现的这个v是小于c

然后这个v0也是小于c

所以这两个谁大谁小还不确定

可能有这种情况

介质中粒子运动的速度

比介质中的光速要大

这是有可能的

那么如果这个的模比它大

而这个cosθ又小于1

所以一个大于1一个小于1

乘起来就有可能等于1对不对

所以是有可能存在

等于1的这个条件

那么它什么情况下等于1呢

假定这个粒子的速度

和n的方向

就是坐标原点看场点的那个夹角

那个cosθ 叫cosθ

这就是cosθ

就要求这cosθ把这个v0

这是等于v0的大小

乘上cosθ比v等于1

把那个v0和v移到等号那边

所以cosθ是等于v比v0

要求这个

因为cosθ永远是小于1的

所以一定是v0比v要大的时候

这时候才有解

而且解出来的这个

只有在这一个情况下

这个δ函数不等于0

当然是无穷大

这时候就会有矢量势贡献

就有辐射场的效应

所以我们现在讨论的

就是这个情况

就是在介质里面

要求这个粒子的运动速度

比它的光速要大

然后你会发觉

在一个特定的角度它会有辐射

那么下面我们用一个图示

来去理解说

为什么当超介质的光速的时候

它会在这个角度会有辐射

我们来看一下

我们知道这个粒子

拿这个图像来看

这个粒子是用这小红点

这小红点然后速度是

都是往这个方向走

往这个方向走

在中间的这个点

然后它开始

它在这待的这一个瞬间

它就开始往外发球面波

然后它开始往前走了

那个球面波就以光速

当然现在是介质里的光速

以v这么往外走 往外膨胀

然后这个粒子是以速度v

在往这个方向走

它的那个发的那个球面波

那电磁波呢

是以它的光速v往外这么走

但是由于我现在考虑的

第一个情况

粒子的速度小于介质中的

光速的情况

所以它发的这个电磁波

比这个粒子的速度要走得快

因为这个v大于v0

所以你就体会到会

这个粒子走的这块

永远在这个电磁波的半径里面

那么另外一个圈

是它走到另外一个位置的时候

以这个为中心开始发的球面波

开始以这个v往外走

那么第二个位置发的

肯定是套在这个里面了

因为它第二个中心

就是在这个里面

然后那个速度比它小

这是速度小于粒子的运行速度

运动速度小于介质的光速的情况

那么极限呢

它是等于光速的情况

就变成是这个样子了

这是和光速相等

那么这个时候发的球面波

和粒子运动速度是一样的

所以粒子永远顶在

球面波是四面八方

四π立体角方向跑的

但是也有往前跑的

往这个方向跑

往这个方向跑的这个速度

和粒子运行速度是一样

所以粒子走到这

它那个球面波

沿这个方向也走到这对不对

这个球面波

就是大的这个圆

就是它在这发出来的发到这

那么这个小的圆

是它在这发的

那么也是和它这

就是等于光速的时候

你会发觉在这有一串相切的圆

每一个相切的圆的中心

都是在这不同的点发出来的

但是它是在这块相切

这是粒子运动的速度等于

介质中的光速的情况

那么粒子运动的速度

要超出介质中光速

这就是我们谈的

有这个辐射的情况

这时候这个粒子就走到外面去了

这个球面波落到后面了

沿这个方向

这个粒子这个球面波这时候

在这块的时候

它发出的球面波沿这个方向

它走到这

这粒子的速度比它快

所以已经跑到外面来了对不对

是这样

而且你可以看

跑到外面来了

而且你还进一步的可以看

在这个点

你可以在这做一条切线

按我们几何的那个知道

这条切线和它相切的点

往这个方向

这是直角对不对

这是大家从中学就知道

如果你定义一个

这个角叫θ角的话

注意这个角是直角

这个角是直角

那么如果这个角定义成

θ角的话

那你这段距离是什么

是v0乘上t

假定这个时间

这个粒子从这用了

t这么长时间

这段距离是v0乘上t

而这段距离是什么

这段距离是它的半径

相切的这块是

这是半径

半径正好是

电磁波在这里走的距离

电磁波走的距离

是v乘上t对不对

这段距离是v0乘上t

这段距离是v乘上t

如果你把这个式子

v0乘上去

两边都乘个t

你就会发觉

这个式子正好就是这个式子

这什么意思啊

就是说这么一个关系

这个θ角正好就是这个θ角

因为这两个距离

就是这段距离乘上cosθ

正好就是这个的投影

就是v0t

就是这一段

乘上cosθ正好就是这段投影

正好是v乘上t

两边把t消掉

正好就是这个

所以本来这个θ角

是从这个点看

到粒子的运动速度

和看到场点

那个方向之间的夹角

现在由这个走的

告诉你那个夹角就是这个就是

现在意思是说

你要看场点那个方向

应该是往上

往上这么看的

那进一步

在这里

中间还有其他的点

另外一个点

走到中间的这个点

同样也可以画这个

然后它那个

你会发觉同这到这

和这一段距离

同样是这个关系

这段是t一撇

然后这一块是v0乘上t一撇

然后乘上这个夹角

这是平行的

然后这还是θ角

乘上cosθ

正好是v乘上t一撇

也就是说在这个时候

下面一个波

比它这个要靠前

因为是超介质的光速

然后这回化一圈

很多的这个小圈

而这个方向出来的

大家的这个角度都是θ角

那么也就是说你会发觉

现在的这一条线

实际上是什么呢

是从这个粒子

从这块走到这的时候

发出来的一系列的电磁波

这个波在所谓的包络面

这个包络面这个波

这个包络面和这个方向

正好是一个θ角

所以你看到的

正好是看到了整个

是这个波这么过来

这个就是这个θ的含义

这时候你看的这个θ角

是在这个方向

能看到这么一个

整个的这个波往你这么跑

随着往前走

这个一直往上这么

这个就往前冲

就是这么一个锥角这么过来

这就是

这时候超介质里的光速

所给出来

切伦柯夫辐射的直接图象

这个角度为什么是这样

也是从这个图像来的

那么我念一下这个结果

这叫切伦柯夫辐射

它是由带电粒子的速度

超过介质中的光速

这个物理上是说

介质内部诱导电流激发的次波

与原来粒子的电磁场

相互干涉形成的

就是最后形成是这样

注意我们在这里看是电磁波

然后它这里边产生的

是电磁场造成的

实际上这样的波的行为

不一定非得讨论的是电磁波

不一定非得是超光速

任何一个物体的介质里面

会有一些波

介质的波会有一些极限

超过这个介质

就是物体的运动

超过介质里面的波的

那个波速的时候

都会产生这样的现象

比如说介质里面会有声波

就是介质振动的

那么我们一个物体在介质中运动

超过它的声波的速度

那叫超音速对不对

也会出现这样的情况

因为什么呢

你就姑且把这个波

这个圆的这时候的这个波

就理解是声波

然后这是那个一个粒子

你这个物体走的

那么它当超过它的那个

这个圆的这个叫声波的

这个速度的时候

一样会有这个图像

所以这个电磁波

有点看不见摸不着

所以你很难来图示的

但是拿声波这个

很容易看

这就是这个图像

就是一个飞机当超空气中的

那个超音速的时候就会出现这个

这个实际上是你在网上

可以找到那个实拍的那个视频

在那个航母上

飞机超过一块那个音速就会出这个

这个角度的这个东西就是这个

这个就是

这个斜的这个

就是这个波的波阵面

就是这个

你想象这个就是对电磁波

就是我们的切伦柯夫辐射

这个现在是这个声速的

好 然后我们再算一下

它的那个磁感应强度

磁感应强度可以

也是做傅里叶变换

这是傅里叶反变换

这个磁感应强度代它的

和矢量势是一个旋度关系

然后这个矢量势

再代它的傅里叶变换

就是这个A换成它对这个频率

这个积分

在这里面你可以把这个

先把这个t积掉

t积掉 就是一个2π

一个δ函数

就是ω等于ω’

然后ω等于ω’

再把ω’积掉

就是ω’就换成ω就是了

所以在这一些操作里面

这个微商都一直搁在这儿

最后就变成这个样子

所以它告诉你

这个磁感应强度的

频率空间的那个表达式

直接就也可以用这个矢量势

频率空间的表达式

直接做旋度就得到

刚才我们给出来了这个表达式

代进去就是了

这一微商

因为是算辐射场

所以这个r分之一都可以不参与

只微这个指数上的这个r

其他的都额外贡献

r分之一的贡献不是辐射场

就扔掉了

那么微指数上这个r微出来

就多出来一个r的矢量比上r

那就变成一个n

所以微商微出来以后

就变成是这个样

这是它的频率空间的

然后这个频率空间的

单位立体角辐射出固定频率的

就可以用它的频率空间的

这个磁感应强度

这么写出来

把这个结果代进去

这里面因为是算的平方

自己和自己点乘

就涉及到一个δ函数的平方

这个δ函数的平方

要稍微的特别处理一下

否则可能出现无穷大

我们把一个δ函数写在这儿

另外一个δ函数

直接还是用原来的

那个傅里叶变换的那个表达式

它的定义有一个是2π分之一

所以这块是4π

多出有一个2π分之一

变成8π平方

那么这个积分我们再给它变一下

这个实际上是

因为它是粒子是匀速直线运动的

所以它走的距离dt和它的ds

就是等于这个

dx就等于v乘上 v0乘上dt

所以这里面的 v0 拿一个v0

和这个t乘起来就是dx

这是里面的距离

那么在这里面乘上一个v0

除上一个v0

v0乘上t呢就是它走的距离x

所以变成dx的积分

那么由于这个δ函数

要求这个东西等于0

所以在指数上

这个东西实际上是等于0

所以这个直接就可以拿掉了

拿掉指数上就没有了

指数上变成0 这就是1

所以这个整个积分就是一个

本来可以造成奇异的

无穷大积分就是一个dx的积分

这个dx的积分

是这个粒子走的距离

就是写出来就是这个

我们这个θ角是取的是

这个粒子的运动方向

和观察的那个方向的夹角

粒子走的距离就叫做l

就搁在这儿了

这样的话你可以把l除下来

就是单位粒子走的

单位的长度它所

在单位立体角固定一个频率

它发生的这个辐射场的这个能量

这样就把这个l除下去了

这个可能造成无穷大

原来是无穷大

是因为你走的无穷长

所以它辐射的能量无穷多

现在单位长度这个无穷大就没有了

就是这个表达式

这个表达式里面

实际上这个里面是要求

这个cosθ是等于v比v0的对不对

所以这个v比v0实际上

δ函数本身是要求它是

这个cos平方θ

所以这个sin平方θ

是1减cos平方θ

实际上就是1减v比v0平方

就是由δ函数的约束

这sin平方θ就可以写成

1减v v平方比v0平方

因为这个东西是

δ函数告诉你它是cosθ

这是单位长度

单位立体角固定频率的

切伦柯夫辐射辐射出来的能量

那你再对立体角积分

立体角积分实际上这个里面

有一个φ的角的积分

跟φ也没关系 就是一个2π

还有一个对θ角的积分

那θ角是sinθ

那么cosθ是等于它

就是直接积出来就是了

结果就是这个

这是单位长度4π立体角

整个辐射出来的

一个固定频率的单位

或者单位频率区间

它辐射出来的这个电磁能量

就是这么多

那么一般来说

这个介质 这是介质中的光速

介质中的光速和这个依赖于

电磁波的频率

不同频率的电磁波

在一个固定的介质里面

它的光速数值可能是不一样的

所以一般来说这个是依赖于频率的

那么这个式子告诉你呢

首先要求它要有辐射的话

它一定要这个v0一定要大于

或者说给定粒子的运动的速度

只有那些频率的电磁波

就是它的光速 介质中的光速

少于这个粒子速度的

它才会有切伦柯夫辐射

那个角才有意义

那个cosθ才小于1

它才会有贡献

也就是具体的是这个关系式

然后你那个就发觉这个

辐射的不同的

假定是都满足

不同的光速比v0

都是小于1的话

那么但是不同的你会发觉

不同的那个频率的电磁波

这个如果是它的光速不一样的话

对应的那个辐射那个角度

也是不一样的

不同频率的电磁波幅度角度不一样

因此你就可以倒过来说

这个假定你知道那个

辐射出来的电磁波的那个频率

或者说你可以用滤波器

就筛选一个特定频率的电磁波接收

然后一个特定的角度

知道了角度

知道了这个电磁波的频率

你理论上能够知道

这个材料的这个电磁波的这个速度

这两个知道

那你就可以倒过来

知道这个粒子的速度

所以这个通常用切伦柯夫辐射

可以反过来探测

这个粒子的运动的速度

这个是通过其他办法得到

这个实验只要测到这个角度

直接就测到那个速度

这个切伦柯夫辐射

就是用于这个粒子计数器

然后它的特点

因为要求这个粒子的速度

是大于介质中的光速

所以低速的粒子全被咔碴掉了

所以它因为粒子很容易低速

造成一个你测量的背景

在这里面它自动的物理机制

它不会产生辐射

不会产生切伦柯夫辐射

自动的给切掉了

所以避免了这个低速粒子的干扰

就可以比较准确的来测

这个运动粒子的速度

好 电动力学第六章的第二节

就介绍到这儿