辐射频谱分析在线视频

大家好

我们现在开始介绍

电动力学的第六章的第二节

第六章是带电粒子

和电磁场的相互作用

第一节我们介绍了

一个任意运动的

带电粒子的电磁场

我们推出了李纳-维谢尔势

然后通过对势做微商

得到了电磁场

然后对这个电磁场的

非辐射场的部分和辐射场的部分

进行了一些讨论

在这一节实际上是接着

前面得到的任意运动

带电粒子的电磁场

进行进一步的分析

有两部分的内容

一部分是对带电粒子

任意运动有加速情况下的

辐射场的辐射频谱

做一个辐射频谱分析

再一个是对匀速运动的带电粒子

可能产生的辐射进行一个讨论

因为在一般的情况下

只有加速运动的带电粒子

才会产生辐射场

那么匀速运动

实际上是在一个很特殊的情况下

也会产生辐射场

那么这样的辐射叫切伦柯夫辐射

好 首先把前面一节

给出来的任意运动带电粒子

所产生的辐射场的部分

进行一个频谱分析

所谓频谱分析在数学上

就是做傅里叶变换

我们就把这个辐射场这个电场

做傅里叶变换

那么这是傅里叶反变换

这个正变换和反变换

这一块是这是负iω

这是正的iω

那么我们在上一节里面

已经把这个辐射场

就是这个已经算出来

算出来就是这样一个样子

这个*就是在推迟时刻

那个地方标志是推迟时刻

这个R*就是推迟时刻的

那个粒子在的位置

到场点的距离

这个n*就是推迟时刻

指向那个场点的单位矢量

这个v*和a*

分别是推迟时刻

这个粒子的速度和加速度

注意这个被积函数

实际上都是推迟时刻的那个量

所以为了方便真正去计算

像这个v* a*

都是依赖于推迟时刻的时间

推迟时刻的时间那叫t*

t*和t之间是差一个

t*等于t减R*比c

所以我们把这个t换成t*

那么t就变成t*加上R*比c

把它代进去

代进去以后实际上这个积分

是很难积的

或者说我们现在根本不知道

该怎么积

但是我们可以定性的

来去讨论一下

这个在几个极限情况下的结果

这么一个积分

这是积的t*

这个t*就是这里面的依赖的

都是依赖于t*的这个变量的

当这个频率很高的时候

频率很高的时候

这个被积函数振荡的非常快

就是这个指数上非常大

振荡非常快

它就会把这个被积函数的

其他的这些部分

互相正负平均就抵消掉

基本上告诉你这个结果

当频率趋于无穷大的时候

由于这个

就是这个互相抵消的非常厉害

最后结果就趋于0

再有当这个频率非常低的时候

就是频率趋于0的时候

然后我们频率趋于0的时候

这个振荡就基本可以略掉

这就是1

但是这个积分实际上还是不会做

但是我们可以再进一步考虑什么

考虑这个低速

就是那个粒子的运动速度

比光速小很多的时候

像这些项就可以不要了

这些项都可以不要了

那么假设考虑这样的情况

那时候的那个方向

是和这个R*和n*

我们都考虑它和t*的依赖

不是特别敏感

就是和那块的时间

是缓变的情况下

那么这个积分

这个时候是最简单的

因为这个略掉了

这一项略掉了

然后这些都跟那个没关

那么剩下就是这个

a和dt一积分

就是a是速度的变化率

那么这个把dt积出来

就是那个速度的变化量

所以在这个这些条件下

这个电场的傅里叶变换以后的

在频率空间的

它的表达式就是这样

就依赖于它运动造成的

那个速度的变化量

就得到这么一个结果

这样的辐射由于速度变化

造成的这个辐射

实际上速度变化就是加速度

这种叫做轫致辐射

轫致辐射在我们日常生活中

人们经常来去说的呢

主要是带电粒子打到这个靶上

因为带电粒子碰到靶了

受到阻碍就会突然减速

然后就有这个δv就产生了

就会有这个辐射场

这就是轫致辐射

基本上一个特点在这儿

我就念一念

它会有部分偏振

因为它和有这种各种方向

是一个连续谱

强度可能在很宽的频谱范围内

有一个缓慢的变化

这个它的特点这个辐射能流

和加速度的平方成正比

因为它的这个

这是电场和加速度成比例

然后你再算能量的是

这个电场的平方

所以最后和加速度的

后边我们也有看到

和加速度的平方成正比

然后和距离的平方

这块有一个R分之一

然后算能流的还要平方

就是和距离平方成反比

然后这是辐射场

辐射场我们在这个上一节分析

这个辐射场的行为的时候

知道这个如果是低速的时候

它是往两边

如果速度越高

所谓的越接近光速

它那个越来越往前是往前冲的

所以辐射的方向

是集中在往前进的方向的

那么往前冲的那个辐射

然后算一下它的单位立体角

往某一个立体角辐射出去的

这个能量

这个就用这个辐射角分布

这是在单位立体角

单位时间辐射出去的能量

然后再对时间一积分

就是单位立体角整个辐射出去的

这个能量

这个加*就表现

都是在推迟时刻

那块往外发 发出去的这个

那么具体写出来

这个就是辐射的这个角分布

然后因为是用这个推迟时刻

就把那个dt

因为这是本来是单位时间

是在t时刻

然后乘上个dt 除上个dt*

表示是推迟时刻的

然后把这个这两个

这是坐标空间的这个辐射场

用它的频率空间代进去

它的傅里叶变换

这儿加一个*傅里叶变换

就是那块负的变成正的

是这样

在这个里边把这个频率的

对t就是只在这个e指数出现

把这个对时间的积分就可以积掉

积出来是一个δ函数

2πδ 这个ω减ω’

然后就可以把这个ω’积分积掉

δ函数就拿掉了

就要求ω’等于ω

出来一个

本来δ函数出来一个2π

然后把这个ω’换成ω

结果就是这个样子

你会发觉这个里面

这里面如果是对ω的

依赖的那个抑制数的部分

因为是它乘上它的共轭

所以它的那个e指数上

对ω的依赖就都互相消掉了

剩下的那个ω里面的ω

实际上你可以看到

它因为它乘它的共轭

那个ω都是以平方出来的

所以这个对ω这个乘积

对这个频率是偶次的函数

这个积分

负无穷大到正无穷大

你就可以积一半

从0到正无穷大就行了

0到负无穷大和0到正无穷大的

那一半是一样的

就是加一倍

所以直接是这个

这个是整个的单位立体角

辐射出去的这个能量

那么把这个里面

提出一个ω的积分

然后这个就是单位立体角

然后在一个固定频率下

辐射出去的这个能量

这个把这个ω的积分拿掉

剩下的这个

这里面的这一堆

就是在一个单位立体角

然后相当于单位频率区间

辐射出去的能量就是这个

刚才我们给出来了这个ω

这个和电场的固定频率的

或者说电场强度

在频率空间的那个表达式

已经给出来了

那么我们讨论两种情况

现在一样的两种情况

就用刚才那个结果

把它代进去就是了

在频率很高的时候它趋于0

这个场趋于0

在很低 这个很低这些条件

刚才给出来的

把那个结果直接自己和自己共轭

乘一下 再乘上这些系数

就是这个结果

这个看一下刚才的就是这个

把这个就相当于是要

再点乘一下它的共轭

这个点乘一下它的共轭

实际上就是这个

因为这两次叉乘 这两次叉乘

可以把它用点乘来去写

一个是它点乘它

一个是它点乘它

它点乘它就是等于一

就是这个里面的这个结果

然后算它的

再和它的共轭乘起来

这里面都是实的

所以就没关系

直接就是自己和自己的平方

而这个出来实际上就是

Δv自己的平方减去n点乘v的平方

那么如果你这个速度的变化量

和那个推迟 在推迟时刻

和那个方向

指向场点的那个方向的夹角

叫θ的话

这个出来是正好是sin平方θ

因为是Δv平方拿出去

一个是一

还有一个是Δv点乘n的平方

那是一个cos

然后平方是一减cos平方θ

正好sin平方θ

这是在一个固定的

那个立体角里面

然后你把这整个立体角

积分积出来

这个角就可以积掉

积掉了以后整个全空间

就是4π立体角的整个就是这个

所以它和这个Δv的平方是成比例

那么实际上Δv你要除上那个Δt

就是加速度

所以说它和这个轫致辐射

和加速度的平方是成比例的

就在这儿

那么基本上是告诉你

高频是趋于0 低频趋于一个常数

这个常数和这个速度的变化量的平方

就是你打到靶上

那个速度一下变了多少

这个和它那个变化量的平方成比例

好 这个就是辐射频谱分析

我们就很简单

就看起来式子挺复杂

但是这个结果挺简单的