多极展开在线视频

下面我们来去讨论

这一节的第二部分

我们要把这个结果来进行多极展开

为什么要进行多极展开

因为我们现在是讨论的

辐射到很远的电磁场能量

当初的多极展开的想法

就是你在远处看一个源

产生的电磁场的时候

你不需要知道那些源的细节

只要用有限个参数描述它就行了

就比直接你要知道那个ρ和j的

所有的分布

需要的信息要少

这是多极展开的想法

而静电和静磁多极展开告诉我们

一团电荷和电流分布

它贡献的在远处产生的电磁场

就是点电荷 点源

加上偶极子 加上四极子等等

一串多极子

我们现在来证明

现在跟前面的那个有点不一样

不是静态分布的这个源

是随时间变化的

而且算的是它的辐射场的部分

这是静电场静磁场所没讨论的

我们来证明即使对这一部分场

随时间变化的

它在远处产生的这个辐射场

同样可以被看成是这些多极子

贡献的电磁场

那么对应的多极子贡献的电磁场

就是偶极子贡献的电磁场

四极子贡献的等等等等

我们下面就来进行多极展开

先做一般的这个多极展开

然后再盯着前面

展开的前几项来去说

这个是多极展开的当初的计算公式

我在算静电场静磁场

多极展开里面就用过

所以我们现在直接用它的结果

这个R是从源到场点的那个距离

可以用坐标原点到场点的距离

和坐标原点到那个源点的距离

两个的距离矢量的差来去写

然后把这个

因为现在是这个

坐标原点到场点的距离

这个非常大

这个r’是一个有限的一个值

所以把这个r提出来

然后后面肯定要去做展开

现在这个n

在这里面这个n

就是坐标原点指向那个场点的

那个单位矢量

当这个r’比r比较小的时候

领头阶就是这个R换成这个小r

下一阶就比它多了一个

r分之一压低

再往前又多一次压低等等

这个点点点

实际上是有r分之一的贡献的

那些项

然后我们现在算多极展开的时候

我们不从这个式子出发

还是从矢量势那个出发

因为你会发觉从那个出发

做计算和推导比较简单

我们算这个矢量势

这个是洛伦兹规范给出来

推迟势的表达式

算辐射场 加一个辐射场

这个表达式本来是全的

算辐射场意思是说

我们后面要把这个东西的r

去做展开

展开的时候

只保留r分之一的项

所有的r平方分之一项

它后面算场强的时候

都是非辐射场都扔掉了

那么在这里边展开

这个r就用这个展开

这个R就换成小的r

然后加这个项 加点点点

这个点点点就是意思说

它有这个小r跑在分母上的

注意它是在这个积分的变量里面

推迟的时间这个变量里面这一块

然后我们这一项这个R

就直接换成小的r就行了

就是r分之一

因为再加一阶修正

就多了有r平方分之一

就直接就拿掉

换成小的r分之一

就跟积分没关系

直接拿出去了

然后这个μ0 4π这都可以拿出去

剩下的这个 这个量

对这个变量我们在这一点

去做展开

t减r比c

后面跟r’依赖的这些

都是做泰勒展开

然后这个泰勒展开是什么意思呢

就在这一点展开

那就是这个函数

它对这个变量 这个微n次

然后微完了

就再展开点这个数值

剩下的要展开的这个东西

是你这是微k一次

就是它的k次方

这个加点点点就是后面这一串

这个点点点是有额外的

r分之一的贡献的

在进一步这个点点点可以不要

为什么可以不要呢

因为它至少有一个r分之一

这儿已经有一个r分之一了

这个东西有一个r分之一的项

你这个不管k是整数正整数

多少的幂次

它的贡献都是额外的贡献r分之一

就都不是辐射场

所以就拿掉了

拿掉就剩下的是这个

然后你把这个

这是c的k次方写在这儿

c的k次方

这个不是n点乘r’

实际上有k个n点乘r’

每一个每一个

都分别用求和号写出来

所以第一个就是ni1乘上X’i1

就是有一个n点乘r’

第二个是ni2乘上X’i2

一直到第k个 nik

乘上X’ik

就这么乘起来就是了

那你说为什么搞这么多的下标

就是为了它不重

所以有k个脚标

所以我就i1 ik

每一个都是从1到3

就是或者是xyz求和

所以这一串的每一个点乘

在这里面就写成实际上每一个

这一k个脚标都是要求xyz

三个求和起来

所以这个式子把这个点乘写开

写开有什么好处呢

这个n是和这个r’没关的

是只和场点的那个有关的

它就可以拿到积分号外边去了

然后这个这些微商是对t的微商

也和这个积分没关系它拿出去

那么被积函数里面

就剩下这个

还有这个r’的这些分量

Xi1一直到X’ik 乘上它

这是和积分有关的

和积分没关的都拿到外面去了

写到这儿你一看这是什么

这是我们在算磁的多极展开里

磁的那个一般的多极矩

原来的多极矩

因为是不随时间变化

跟这个变量没关

现在不光是跟这个变量有关

而且这个时间不是原来的时间

是一个推迟的时间

t减r/c这个时间

所以如果用原来那个多极矩

来去写

就是就有这个矢量j

有这个下标 有k个下标

然后现在还多了一个

本来是在静磁场的时候呢

没有这个变量

就是一个数一组数

那么现在有这个时间的变量

所以它是一个推迟时刻的

一个函数

这个多极矩现在

这就是以前的定义

只不过以前没有这个t的变量

就是了

这个是在我们原来在

静磁场的那个多极展开的时候

引进来的多极矩

现在把它推广成

可以依赖时间坐标的情况

那么在这里出现是推迟时刻的

那个多极矩

这个结果就是矢量势的多极展开

在计算这个过程中

我们略过了所有的

出现的r平方分之一的项

或者更高阶的那些项

因为那个它以后对这个场的贡献

都不是辐射场

那么有了这个基础

这是刚才的这个结果

这是里面出现的这个多极矩的

一般的定义

这是最一般的这个多极展开 势的

这个层次

然后我们就算场强

就是算辐射场

辐射场就是在做一次旋度

然后同样只保留r分之一的项

这个做旋度

本来是微这些都可以微

因为它是这个r比r的

但是微这些都额外的贡献

r分之一的

都不是辐射场

所以都可以拿走

就可以扔掉

微个 包括这个r

还有这一堆的n

所以这个旋度的微商

最后只微这个

通过t来依赖的这个

才是不额外贡献r分之一的

所以就微到后面去了

微到这个里面的这个项

而这个又可以看成

你把这个拿走 可以换过来

这个微又是我们刚才说的

一个矢量对t星

然后做这个旋度

结果这是一个负的n比c

叉乘上额外对这个t星

去做微商 多做一次微商

本来有k次微商

由于这个旋度

要多造成一次微商

就是k加1次微商

然后这个多了一个c

就是k加1

这是还有一个n

这个n是叉乘上这个矢量

这个矢量和这个矢量叉乘

反过来就是把这个负号拿掉

就是这个矢量叉乘它

这个式子

注意是从k等于0一直到无穷大

每一个固定的k这一阶

就是辐射场磁感应强度的

这个多极展开的项

我们把每一个k的项叫Bk

这个Bk写出来就是这一串

这就是第k阶的这个多极展开的项

那你看看一般的来说

这是一般的多极展开

这个k加1阶比k阶多了什么东西呢

k加1阶比k阶多了一个t

多了一个偏偏t

然后这儿多了一个脚标

这个多了的脚标按这个

就是里面多了一个x’

然后这个c这一块呢多了一个c

所以多了一个这些项

而这个k’实际上就是这个

里面这个电流分布的这个线度

对t微商

如果是它这个源是一个振动的话

就下来一个ω对时间微商

所以整个合起来

这个高阶比低阶

就多了这么一个量

ω比c相当于是你出来的

那个电磁波的波长分之一

所以高阶比低阶多的这个因子

大概从量级上

就是你的这个源的分布的线度

比上出来的电磁波的波长

如果这个展开高阶

要是比低阶小

就是所谓展开要收敛的话

就是要这个线度比这个波长要小

小很多

这样高阶项才更小 才收敛

那么磁感应强度算出来

我们刚才说对辐射场

电场和磁场是垂直的

就直接就大小差一个c

就直接就可以得到电场

这是我们多极展开的

一般的表达式

下面我们具体的把这个头两阶

就是k等于0 k等于1这两阶

具体的算一下

k等于0

k等于0这是0的阶乘

这个都脚标都没有

k等于0 就一个c

一个c 然后这个k加1次微商

k等于0就是1次微商

然后这个脚标都没有就是它

把这个j的表达式代进去

就是这个式子

这个式子一下看不出来有什么样

我们慢慢的化

用我们熟知的那些电偶极矩

磁偶极矩 电四极矩等等

这些量来去表达它

这个叉乘用这个分量来去写

就是这个的第i个分量

这个的第j个分量 基矢量

第k个基矢量

然后εijk 就把叉乘用分量写出来

然后对这三个分量都求和

然后这个里面

前面这些都抄下来

这一堆 积分号外面这一堆

都抄下来

里面的这个

一个电流密度的

推迟时刻的电流密度的第i个分量

这个方向那个矢量的nj也搁在外面

eknj也可以搁在外面

现在只算这个

因为这个积分只和这个有关系

只和电流密度有关系

这个电流密度这个项

可以写成这个样子

就是写成一个电流密度

乘上一个坐标

然后去做微商

在这里面这两个微商的这个脚标

和电流密度脚标是求和的

然后这个 原来带的这个脚标

搁在这儿

这个为什么等于它呢

它微它

这项原来根本就没有

就扣掉它

这多了这一项

后面减的这一项就是微前面的

而微后面的这个呢

是要求l等于i

l一等于i

这个就是把这个就微掉了

这个就是i 这个就是它

微后边这一项就是它

微前面这一项多了扣掉

而前面这个项现在就变成全微商

全微商就可以变到面上

我现在这个体积是无穷大

全空间的体积

变到面就是无穷远的面上

电流只在有限空间

就是这个产生这个辐射的

无穷远的面上这个电流等于0

所以这项就没有了

只剩下后面这一项

这一项是什么呢

是对这个r’的微商

这个里面不含r’

所以是它的散度

按电荷守恒定律

它是等于这个负的偏ρ偏t

所以它就换成偏ρ偏t

注意这个变量是推迟时刻

所以这个偏ρ偏t里面

时间也换成推迟时刻

偏ρ偏t代进去

是等于负的偏ρ

把这个负号消掉

剩下的写在这儿

然后这个对t的微商

跟这个没关系

可以拿到外面来

外面就是平方微两次商

这个被积函数里面

一个X’i一个ρ

这是我们原来算

这个电的多极展开里的

那个电的多极矩

实际上就是电偶极矩

就是qi

只不过现在是推迟时刻的

所以在静电场里面

它跟时间没关系

就跟这个变量没关

所以这是电偶极矩对应的

第i个分量

然后这个njek写下来

这个东西用矢量写出来就是它

这个时间的二次微商

是电偶极矩的二阶导

然后它这三个就是叉乘

这个叉乘

然后这个电偶极矩是推迟时刻

这个项告诉你什么

在整个这个

这团电荷电流的体系里面

假定它如果是有偶极矩

而且它的电偶极矩

而且电偶极矩的二阶导

时间二阶导是不等于0的话

它就有0阶项的贡献

其他情况所谓的没有偶极矩

其他的爱有什么多极矩都可以有

那这个0阶项都是0没有贡献

或者说即使是偶极矩

它二阶导等于0

电偶极矩那也是没有贡献

也就是因为这个原因

这个项就叫做电偶极辐射

因为它只有电偶极子有贡献

这个电偶极矩的定义

用分量来去写是这样

这个qi的原来的是这个表达式

从这块看觉得有点奇怪

你不是算多极展开

最低阶的电的多极展开是点电荷吗

你这个一算这个辐射场的

最低的展开就是一个偶极的辐射

那点电荷怎么不会产生这个辐射场

从这个式子

从这儿就可以看得出来

从这儿看这个辐射场在这儿

假定对一个点电荷

这个j就是等于ρ乘上v对不对

ρ是δ函数

就是点电荷的电量乘上δ函数

再乘上那个v就是它移动

那个距离的时间变化率

然后再微一次商

就是运动的那个电荷的

距离的二次的变化率

就是q乘上

然后那个δ函数一积分

就积出来了

所以它实际上是这一项告诉你

对于一个点电荷来说

这实际上是它的加速度

乘上这个点电荷

就是一个点电荷它在走

假定是它要是有加速度的话

它就会有这个辐射

而且这个辐射

实际上这个q乘上r

实际上就是它的偶极矩

这相当于一个点电荷q在那儿

你相当于是你

那你说它怎么是偶极子

它就是一个点电荷在那儿走

实际上相当于你可以在一个

坐标原点放一个等量的负电荷

它们就 它在动的话

就相当于它们的这个距离在变

这个偶极矩在变 是这样

而一个常数的电荷不运动的话

它根本就 就是匀速运动

或者是固定在那儿

它根本就不会产生辐射

在这里面

只有运动 一运动呢

和那个不运动配在一起

就相当于是一个偶极子在振动

在那个变化的

所以是点电荷自己是

点电荷会有贡献

但是实际上贡献的是偶极子的贡献

最低阶的是偶极辐射

是电偶极辐射 这是最低阶的

好 我们刚才给出来了

这个多极展开的

最低阶的这个电偶极辐射

然后我们再看这个下一阶

下一阶就是第一阶

k等于1的这一阶

k等于1的这一段比原来呢

这块还是1

这个多了一个这个ni

然后这个微商变成了二次

这多了一个脚标

就比原来更复杂

所以一阶的比零阶的

肯定要复杂

所以这个计算是整个这个里面

大概是几个最长的推导之一

先把它用它的这个电流密度的积分

它的定义式 把它代进去

然后再把这个j叉乘n

用这个分量来去写出来

因为i脚标已经用了

所以这个就是jkl

εjkl求和

原来有一个ni ji 就是对i求和

现在还有又额外多了jkl

这一大串

这一大串里面同样这些

还有这个后面这些

都跟这个积分没关系

搁在外面

里面就是一个X’i

一个j的j分量这个东西

我们把这个东西

对这个脚标进行对称化

反对称化一下

也就是在这 这一项撇成两项目

这两项加起来是一样的

这两项是一样的

然后还有两项是

把这个i和j的脚标换了一下

这个是Xijj 这个是Xjji

这两项是一样 但是减掉了

就是换了一下是加一项减一项

把它减掉了

这两项是两倍

正好把这个8变成4是这样

所以这么着一下

本来对这个两个脚标

是没有任何关系的独立的

现在对这两项合起来

交换这两个脚标就是对称的

这两个对交换这个脚标

就是反对称

我们以前在静电静磁多极

静磁的多极展开做过类似的事

前面这两项就可以写成这样的项

后面这两项写成这样的项

具体说一下

前边这两项写成这两项的组合

怎么看呢

对这个电流密度的微商多了

后面减了

然后对这两项的微商

对这个X’i这个微商

一微这一项拿掉

要求m等于i 就是jiX’j

ji X’j

所以微前面这一项就是后面的

然后微后面这一项呢

把这一项拿到

要求m等于j

就是jjX’i jjX’i

微后面这一项就是前面这一项

所以这个里面微j的这个项

后面减掉

微这个项是后面这项

微第三项的这个是前面这项

最后整个这两个合起来

就是前面这两项

那么这项对这个脚标的对称

就体现在这儿对这两个脚标

是对称的

后面这两项是这个

这里面注意到了一个

额外对p的求和

对p求和我们用最早数学准备里面

两个ε乘积换成δ的

就是说要求头一项是

前面和前面相同

δin δjm

然后扭一下 δim δjn

头一项是n等于i m等于j

就是n等于i m等于j

那就是X’ijj

X’ijj 第二项

第二个扭一下就是X’jji

扭一个符号就是这个

所以这个把这个p求和做掉

就得到的是这两项

写成这样有什么好处呢

这个项同样的是这个全微商

变到面上 面上没有电流

这个就没有了

第二项这个按那个电荷守恒定律

换成负的偏ρ偏t

把这个负号拿掉偏ρ偏t

所以这个换成电流密度的这个项

这个项接着抄下来

所以这是一个

我们在一页这个ppt里面

做不完的推导

把这个结果刚才抄一遍抄下来

然后在这个里面偏偏t

和这个εjkl都可以拿到外面去

剩下的两个X’一个ρ

这个就是二阶的电的多极展开

二阶的多极矩

有两个下标 i和j就是这个

现在是推迟时刻

所以是推迟时刻的这个多极矩

而这个里面

这些跟积分都没关系都拿出去

光是一个X’一个j

这个再乘上一个二分之一

这个就是磁的多极展开的

磁偶极矩的定义

磁偶极矩的是这个r’叉乘j

还有nmp 磁偶极矩的

这是表示是叉乘

再乘上一个二分之一

是磁偶极矩的第p个分量

所以这一串就是磁偶极矩的

第p个分量在推迟时刻

再进一步这个项

我们实际上和二阶的电的多极矩

是用这个电四极矩来去写

电四极矩除了这个项

还有一个两个脚标是一样

正比于δij

然后自己再求和的那个项

我们可以再补进去

这就是δij的那个项

如果它和它的差别

是差一个正比于δij的项

那个正比于δij的项

注意到如果有一个δij

这个j就是i 对不对

ε 把那个j求和掉

就是εikl εikl关于ik是反对称的

这块有一个ni

这儿有一个nk是对称的

这个反对称的这个

乘上一个对称

两个自己算一算它就等于0

所以这里面和它差别的那一项

实际上是等于0

你就可以直接换成这个

这个和大的Q是差一个三分之一

还差一个δij的那个项

这个就换成电四极矩的

这个第ij个分量

把这些整个用矢量的形式来去写

这是对这个东西要做三次微商

所以是电四极矩的三阶导

然后这个j和k还有这个el

是叉乘的关系

这边i和它i是点乘的关系

所以这个二阶张量

这个矢量和这个n叉乘

这边这个矢量和它是点乘

然后自己要做三阶导

这边p和i这两个和起来

然后是还有这个εijp

相当于是n叉乘p的第j个分量

然后再和这个k合起来

再叉乘一次n

然后这儿有时间二阶导在这儿

这个式子就是这个

这个二把这个除掉

这块呢 这个要除掉

这样四分之一呢

这个就是 这个有一个二拿过来

就变成六分之一

所以算到一阶的时候

这个刚才这个多极展开

算到一阶的时候

你就会发觉是这么一个结果

这个结果告诉你

只要这个体系的电四极矩的

三阶导不为0就会有贡献

这个项告诉你

只要这个体系的磁偶极矩的

二阶导 时间的二阶导不为0

就会有这样的贡献

所以由此这个两个项

下一阶的

分别叫做这一项

叫贡献的辐射场

叫做电四极辐射场

这一项的贡献

叫做磁偶极辐射的辐射场

这个电四极矩的定义在这儿呢

磁偶极矩的定义在这儿

零阶的是电偶极辐射

这是偶极矩的定义

它的分量的定义

所以算到第二阶

我们是电四极辐射和磁偶极辐射

注意在这里面

电偶极和磁偶极是不同阶的

磁偶极和电四极是

就是错了一阶 是同一阶的

这就是多极展开的

一般的表达式

我们就算到第二阶

因为在静电场静磁场里面

我们也是就算到电四极矩

具体的例子

然后磁的多极展开

就算到磁偶极

这个还有一个非常奇妙的结果

注意到整个这个计算

最低阶的就是电偶极辐射

对不对

就是这个项

我们现在说的是电磁场

我们不妨把这个视野

更开阔一点

放成一般的讨论引力的问题

这个我们现在讲的是经典电动力学

但是很多现代物理的概念

或者是基本的关系

从电动力学是可以很容易

外推到其他情况和

在这儿就是一个例子

就是我们讨论的不是电磁场

不是电磁相互作用

是引力相互作用

电磁相互作用的荷是什么呢

是电荷

对应的引力相互作用的荷

就是质量

因为电磁作用的

两个电荷之间作用力平方反比

那个平方反比上面的

分子上的系数是电荷

而引力作用

万有引力上面的那个平方反比

上面的是质量

所以如果我们讨论的

引力的多极展开

就是和那个库伦定律推广出来的

电磁作用理论

还有对应那边

是万有引力定律推广出的

引力作用理论

那么我们一样去做多极展开

那个引力的多极展开

也有类似的这样的式子

它出现的多极矩

就是它的引力的荷乘上这个距离

对我们电磁作用呢

就是电荷乘上它的这个距离

这是引力场的多极矩

那么如果是这样的话

这个结果这个公式还是一样的

然后这个就变成什么呢

这个两阶导就变成这个两阶导

这个两阶导

一阶导是速度

质量乘上速度是什么 是动量

什么二阶导就是

实际上是动量的变化率

动量的时间变化率

而且你可以选择

这个是它的质心动量

而我们知道对一个体系

我们质心动量守恒

质心动量的变化率为零

是不随时间变化的

那这是什么意思

对引力的话这个项是

变量的变化率

是不随时间变化等于0

所以对引力场来说

由于动量守恒

导致最低阶的电偶极辐射等于0

就是零阶的辐射场没有

所以引力场最低的是下一阶的

是对应的四阶的

或者是磁的这样的贡献

现在因为说点这个

是现在引力波很火热

这个很时髦

你仔细听一听引力波的

那都是四极辐射

就是从这儿来

为什么没有电偶极辐射对应呢

就是这个原因

就是从我们电动力学的结果

你稍微外延一点

你就可以理解

那个引力为什么没有偶极辐射

电偶极辐射