能动量守恒在线视频

我们现在谈能动量守恒

能动量守恒

我们在第一章已经建立起来

现在是要用协变的形式

来去讨论它

这个是麦克斯韦方程组

这个是洛仑兹力密度

都是用张量来去写的

我们现在用麦克斯韦方程组

协变的重新推导

能动量守恒定律

大家记得我们在第一章里面

在最后一部分

能动量守恒是能量推一遍

动量推一遍

我们现在都是从洛仑兹力出发的

我们现在协变的这个

还是从洛仑兹力出发

推能动量守恒

这个是从这个式子出发

然后把这个方程代进去

这个电流密度

就可以用这个场强来去写

这个场强这个微商就变成全微商

全微商微前面这个多了扣掉

微后面这个就是它

前面这项抄下来

后面这项分成两部分

两个二分之一

另外一个二分之一

把这个重新叫一下

本来这里面有两个求和

一个ν一个ν一撇

我把后面这个的这个ν和ν一撇

两个求和重新叫一下

就是后面的这个ν叫成ν一撇

ν一撇叫成ν

你看后面的这个

本来在这里面是不带撇的

我换成带撇的

而前面带撇的换成不带撇的

反正求和是没关系的

这一项把这个交换也是反对称的

有个负号

然后拿到这是第一项

换一下

然后后面这项把这个换一下

把前面这个换一下

前面这个换一下

就把这等号拿过来

然后这样弄完了以后

两个都有后面这个提出来

后面这一项注意

这就可以用这个方程了

这个方程意味着

这三个角标来回循环的

所以你就这里面出现了两项

然后就可以化成第三项

就把它第三项代进去

就是这个里面是

你看这个是这么排的

ν一撇μ和ν

然后这个倒过来循环

把这个ν抽到前面去了

那么按这个

它应该再把这个μ抽到前面去

然后接着再往后一个

加那个等于零

然后你把那个加的移到

等号那边是负的就变成是这个

这个就是接着再循环一下

这样的式子

写成这个有什么好处呢

写成这个好处

你注意这个和这个是一样的

所以就可以把这个

拿到这个微分号里面

就变成四分之一

这里面是求和号随便叫

就把这个求和的

这一撇变成两撇了

然后这个里面的ν一撇一求和

就变成对μ的微商

就是这个μ的微商

所以这里面的第二项就是这个项

第一项是抄下来的

写成这个有什么用呢

注意这个微商是整个提在前面的

就是本来这是一个

四维度的洛仑兹力密度

然后发觉它用场来表述

是一个场的什么量的一个全微商

我就把这个全微商所有这些东西

除一个负号

定义成一个T

这叫这个体系的能动量张量

我具体写出来这个T就是这个量

就是刚才我们从洛仑兹力密度

用了麦克斯韦方程组

最后就得到洛仑兹力密度

可以写成是这个样

其中这个T是这么定义的

注意这个量对μ

和μ的这个角标是对称的

这个μ和μ换一下

这是对称的

这两个就简单乘积

一换过来还是一样的前后

是对称的二阶张量

这里面出现的这样的项

用场强来去写

这里面的这个项全部求和的

写出来是这个样子的

我把这个里面的

它的场强的空间分量

和磁感应强度的关系

空间和时间的交叉项的分量

和电场强度关系

为了方便再去写了一下

具体看一下这里面的

这是十六个量

二阶张量

二阶对称张量

十六个量

如果这两个角标全是空间分量

ij

就是这是i这是j

是空间分量

这两个是空间分量

然后这个求和可以是空间分量

还可以求和时间分量

然后这个项已经算出来搁在这儿

然后把这个用磁感应强度

这块用电场强度代进去

然后你就化一下

最后发觉最后的结果就是这个

这个结果是什么

这是我们第一章

推出来的电磁场的

动量流密度

或者表面应力张量

那个东西

所以这个能动量张量的空间分量

就是我们原来的动量流密度

或者是表面应力张量

这是它的空间分量

然后再看它的时间分量

就是两个都是时间的

两个都是时间

这是第四

这是四分量

这个只能是空间的

这是空间的

空间的你把这个空间这个代进去

这是电场

这个正好是把这个负号掰过来

变成是正的了

最后就变成这样一个结果

这个结果是什么

正好是我们第一章给出来的

电磁场的能量密度

差一个负号

然后在这里面我们算了

它的都是空间的

都是时间的

还有交叉的

时间和空间的交叉

这是对称的这个项

如果是时空交叉的

这两个不相同这个就没有了这项

剩下的就是这个

一个时间一个空间

这个用磁感应强度代

这个用电场强度代

最后化出来是这个

这是什么

这是我们第一章里面的

能流密度或者是动量密度

电磁场的

所以我们就得到了这些结果

这还要特别说一下

这样出来的这二阶张量

是一个无迹的二阶张量

什么叫无迹

迹就是把它的两个角标

取成是一样

然后从1到4求和

这两个角标一样

从1到4这一求和

一求和起来

这个东西就和它是一样了

那么这两个角标一一样

从1到4这就是4

4和这个4约掉

这就没有了

这一求和

就和它

就变成和这个是一样

就减去了等于零

所以它的迹是等于零的

这叫

所以这个能量动量张量

是一个没有迹的张量

然后它的和以前的对应

就是正好这有十六个量

这个空间的九个量

是对应我们原来的

动量守恒里面的动量流密度

然后交叉的那个项的三个量

是对应的能流密度或者动量密度

然后最后一个纯时间的分量是

能量密度

我们在原来的能量守恒动量守恒

就出现这几个量

全部被完整的

嵌到我们能动量张量里面了

注意到这个嵌到它的是什么含义

这是二阶张量

二阶张量

它的洛仑兹变换行为就知道

所以我们嵌到这意味着

这些量原来定义的这些量

在不同参考系下该怎么变换

现在就完全清楚了

你只要对一下

那二阶张量是怎么变就都知道了

然后我们刚才写出来的这个式子

这个式子再看一下

一般的来去说

这个式子也有一个空间

这个自由角标

可以取空间可以取时间

它的空间分量就是这个样子

这个求和把空间的时间的写开

注意这个的空间分量

就是我们原来的

洛仑兹力的力密度

然后这个的空间分量

我们刚才推出来了

这是动量流密度

这个的是动量密度

这个改成用我们熟知的量

来去写就是这个

这是什么

这就是我们的动量转化守恒定律

这不是这一个体积

里面的动量的增加

这是动量的流出来

这是等于转化成

机械动量的做功的那部分

这个表达式还有一个时间分量

时间分量写出来是这个

这个求和的空间分量求和

然后还有时间分量求和

这个把它代进去

就是这个能流密度

这个是能量密度

写出来就是这个

这是什么呢

这是我们第一章

推出来的能量守恒

这是一个体积流出来的电磁能量

这是体积里面的减少

这个是用于做功的

转化成机械能

所以我们原来的能动量转化守恒

现在就是这个嵌在

整个的嵌在一个四度的

这是能动量转化守恒定律

这是协变的来去写的

就是原来的能量动量转化守恒

只是它的一个分量而已

这里面的F点乘v就是我们原来的

这个F是洛仑兹力密度

那个磁场的部分

和E点乘就没贡献了

所以只有电场的部分

电场就是ρE变成它

然后ρ乘上v是电流密度

这就是我们原来

推那个能量转化守恒的时候

f点乘为做功的那部分

好

然后我们既然现在

把原来的能量动量转化守恒

整个嵌在一个四度的

四维时空的里面的

协变的能动量张量里面

然后这个是四维的

能动量转化和守恒定律