运动带电粒子的描述，推迟效应在线视频

大家好

我们现在开始介绍电动力学的

最后一章

带电粒子和电磁场的相互作用

现在介绍最后一章的第一节

首先讨论一下

运动带电粒子的电磁场

我们在这一节里面

分这么几个部分

一个是先把运动带电粒子

应该怎么描述

来进行一下一般的讨论

然后推导出一个电动力学

一个非常著名的结果

所谓一个任意运动的点电荷的

电磁势的表达式

所谓李纳-维谢尔势

然后把这个任意运动的

带电粒子的电磁势

再通过一些微商的计算

算出它的电磁场

就是任意运动的带电粒子的电磁场

然后进行一些讨论

最后讨论它的任意运动的

带电粒子的电磁场里面

有辐射场的部分

对它的辐射场的部分

再做一些讨论

首先我们是谈一个运动的粒子

这个运动粒子的运动轨迹

叫r0(t) 这个运动粒子的电量

是q一个点电荷

因为是一个点电荷

所以它的电荷密度

是用δ函数来去写

那么它的速度是v0(t)

也就是dr0/dt

那么它的电流密度

就是ρ乘上v

那么把ρ代进去

就是这是电流密度

有了这个电荷密度和电流密度

我们在前面已经推出来

这个电磁势的

所谓推迟势的一般表达式

所以我们就可以利用这个推迟势

把这个运动的带电粒子的

标量势和矢量势算出来

具体的这个电荷密度

代到标量势的这个表达式里面

就是这个样子

那么在这里面这个r是

这个场点的和到源的

积分的那个源的这个两个差

矢量差的模

那么具体的把这个式子代进去

因为是这个r’就换成这个是r’

然后那个R是r减r’代进去

所以就要算是这个积分

矢量势按那个推迟势的表达式

是洛伦兹规范

是这个样子

同样把这个j代进去

就是这个式子比这个式子

多了一些这个速度部分的贡献

在这里面很重要的积分

需要把这个r’要积出来

具体看一下这个积分的图像

这个运动带电粒子

假定这个运动带电粒子

是走这么一条轨迹

这用r0(t)来去描述

在t时刻它走在这一块

就是现在在的位置

它的速度是v

就是r0一点t就在这儿

然后在t时刻我们在场点

在这一块看它的电磁场

那么实际上在t时刻

在场点这儿看到的电磁场

肯定不是t时刻

它从这儿发出来的

我们知道它发出的电磁波

是以光速在这儿跑

它这个t时刻刚出来一点

根本到不了这儿

它这时候看到的电磁波

一定是某一个早的时刻

发出的电磁波

当这个粒子发出电磁波以后

电磁波以球面波往外跑

然后这个粒子就

以这个某一个速度往下走

然后到t时刻

这个波正好走在这儿

是在这儿

早一点晚一点

都和这个点对不上

早一点 再早一点

它发出来的电磁波

可能就已经穿过去了

再晚一点发出来的电磁波

还没到这一块

基本上是

所以一定是在某个更早的时刻

那个更早的那个时刻

我们叫t星那个时刻

它在t时刻的电磁波是

t星那个时刻

然后它在的位置我们叫r星

是在r星那个位置

那个时候发出来

在t时刻到这儿

是这么一个关系

那么在 那你说这个分析

就是说在t时刻看到的Φ和A

是在推迟某一个时刻的时候

才会有贡献

这个在这个积分怎么体现呢

就体现在这个积分是δ函数

注意积分δ函数

一定是这个积分在δ函数

里面的变量是等于0的那个点

才会有贡献

等于0是要求什么呢

就是这个里面的变量

这个东西等于0

你要解这个方程

满足于这个方程的解的那个位置

这个才会有贡献

那个时候δ函数是无穷大

其他地方这个δ函数都等于0

都没有贡献对不对

那么我们现在就对应的

就是认为那个的解

就一定是这个推迟时刻的

这一块的解

当然你会问

有的听众会觉得说

你从解方程的

你怎么知道那块的那个解

正好是唯一的解

就正好物理上看肯定就是这一个

但是你怎么知道这个方程这块

正好是一个

下面我们有另外一个分析来说

让你看到应该是只有一个解

但是直接看这个是看不出来的

我们现在假设那个就是一个解

那个解的位置叫r星

就是满足这个方程的解叫r星

那就是把r星代进去

这个就恒等于0

然后我们就把这块是r星的时候

这个时刻就叫做t星

也就是这一块的这个时刻

出现在那时候出现在这儿的

这个这里面的变量的那一块

在δ函数等于0的那个变量里面

那个叫t星

就是我们刚才说在t星的时候

发出来的电磁波

到t时刻正好走到这儿

那么这个式子实际上按这么着呢

这个叫做t星

这个式子另外一个写法是这个

是这个式子

这个式子的另外一个写法

是这个式子

那么在推迟时刻的

这一块的这个速度

就是这个本来这个的时间导

在t星这一块的这个速度

那么有了这个式子以后呢

注意δ函数只在那一个点有贡献

所以其他的积分这个变量

就直接的换成那个点就是了

因为在其他点都没有贡献

所以其他的δ函数之外的

所有的这些

这个东西直接换成r星就行了

只要积这个

然后这个矢量势的这个积分

这里面也换成r星

这儿换成r星

这个都拿出去

这个换成r星 这是t星

这是t星时刻的这叫v星

就在这个推迟时刻的

这一块的速度

剩下的这个积分就要

这两个都要完成同一个

这个δ函数的积分就完了

这是我们待会儿要说这个积分

怎么做

下面来去论证一下

这个解应该只有一个

我们在这个四维时空

这个图没法画

我们现在就省一点

就刨掉 一维时间二维空间来去看

这个是就是比如说

这是xy的平面 这个是时间

我们现在的在的t时刻就在这儿

这是t时刻的这个场点这一块

那么这是就在t时刻

这是t时刻这个粒子在的这个位置

这是t时刻在这儿

然后这个t星的这个时刻

实际上是在这儿

这是一个轨迹

这个轨迹画的红线是直线

实际上可以是一个

各种拐来拐去的线

但是它有一些特别的性质

我们待会儿说一下

就是这个电磁波

这一块是无穷过去

在这个之前

如果是这儿是这个交点

和这个光锥

这是那个光锥

和光锥相交的这一块

是那个t星的时刻

那么正好是随着这个粒子走走走

光锥以后走到这一块

电磁波正好是传到了这个场点

就是这个图像

现在说是一个解呢

是想说这个粒子的这个轨迹

和这个电磁波的这个只有一个

只能有这么一个交点

而不是有好几个交点

那怎么看它是有一个交点呢

注意在这个曲面上

这儿如果是竖着走的话

竖着走的是什么意思呢

是它时间在变

但是它位置没变

就是相当于

如果是沿着纵轴这么着的话

相当于是它站在这儿不动

如果是横着呢

如果是横着走的话

相当于是空间位置

因为横着的这个是空间坐标

空间位置变

然后时间没变

就是相当于是无穷大的速度

从一块跳到一瞬间

所以你要是斜着走呢

就是那么横着走

相当于是以无穷大的速度

往正相当于是以零速度这么走

那么这么着呢是以光速

因为这是光锥是以光速

所以这就告诉你

就是往这一块是光速

往这儿是比光速更大

这是无穷大的速度

往这边就是比光速小

和这边是零速度

所以不管你怎么歪

在纵的方向

你那个走的那个曲线的斜率

我们说这个物理运动粒子

一定比光速小

那它的斜率

就一定是比这个往上翘

就是它任何一个

它不管怎么拐弯

它的这个斜率

一定一定没有这个这么斜

因为最斜到这么着就是光速了

在往这儿就是超光速

在里面是超光速的

小于光速意味着

它在任何一个时刻这么走的话

不管怎么拐在任何一块

你看那小段的那个曲线它的斜率

永远是比这个往上偏一点

如果是这样的话

就是它从一个

永远是这么斜着这么偏的

你就发觉它和光锥只能交一次

它要和光锥有交两次

它一定有某一个地方

它要倒下来

它倒下来什么意思

它就是那就要超光速了

在那个倒下来那块就要超光速

它要不超光速

它只能交一次

这就是这个方程这个

就是这个粒子

如果不超光速的

它只能有一个解

这就是我们解呢就是那个r星

也就是我们假设的推迟的那个时刻