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大家好

我们现在开始介绍

电动力学第四章

电磁波的辐射的第四节

辐射电磁场

这一节也是整个这一章里

最核心的章节

因为这一章就是谈辐射

而我们前面几节都是

实际上是铺垫

那么这一节是主要谈

电磁场的辐射的部分

我们这一节分三部分

实际上涉及辐射的就两部分

一个是把辐射电磁场的一般性质

给大家进行一下介绍

然后对辐射电磁场

去实行我们前面在静电场静磁场

里面讨论过的多极展开

不过现在针对的辐射场

是随时间变化的电磁场

我们先给出最一般的

多极展开的形式

和以前是有点类似的

然后挑几个最低阶的辐射场

所谓的电偶极辐射

电四极辐射 磁偶极辐射

实际上是前两节

多极展开的前两节

各举一个例子来进行介绍

在这一节最后一个部分

我们把电磁波的衍射也介绍一下

这本身不是辐射场的内容

但是它是一个独立的一小节

所以我们放在这个里面

这个里面谈一下

衍射的基尔霍夫假设

然后具体拿夫琅和费衍射

也是做个例子来进行介绍

我们讨论辐射场的一般性质

从前面几节给出来的推迟势

是洛伦兹规范下的

推迟势的表达式

也就是这个标量势和矢量势

这个表达式出发

其中这个里面的t星

是这个推迟的时间的

一个t减R比c 这么一个记号

这个R是从元在的位置

到场点的距离

然后我们算的辐射场

最主要是要算磁感应强度

和电场强度

也就是用这两个结果

来计算磁感应强度和电场强度

我们曾经提到过

如果没有这个推迟的效益

也就是这个负的R比c这一项

磁感应强度和电场强度

从这个势来看

它一定是在r很远的地方

是r平方分之一

因为那个微商

如果没有这一项的话

这些微商空间微商

都会微到这个r分之一上

最后变成r平方分之一

所以r很大的时候

就是按r平方分之一衰减

这是我们在静电场静磁场的时候

不断在去引用的

所谓的电磁场的无穷远的

自然边界条件

但是现在有了这个推迟效应以后

这个微商包括这个时间微商

空间微商

就可能不作用到这个r分之一上

而作用到这个t星上

t星的这个r上

或者t星的里面的t上

它就使得从势到场强

这个过渡的时候

这个微商不额外的

比原来的r分之一

多贡献一个r分之一

也就是说它可能会产生

对这个场强

磁感应强度和电场强度

会让它除了r平方分之一的衰减

当r很大的时候

还会剩下r分之一的衰减项

那么这个r分之一的衰减项

是我们以前静电场静磁场

所没有的

是由于这个推迟效应

额外突出来的

这是我们这一章

或者说一节

所核心要讨论的

它实际上就对应的是辐射场

它这只是说在数学上定义

数学上的定义

就是说场强里面

正比于r很大的时候

正比于r分之一的那些项

就对应于电场和磁场里面的

辐射场的部分

这是数学的定义

那么这样的数学定义

我们人为的分出来

场强里面正比于r分之一的那些项

在物理上有什么体现呢

我们可以看这个项

这个是什么

这是电磁场的能流密度

我们现在对全空间做一个

全空间

包括全空间的一个大的曲面

做一个曲面积分

这个 因为这个曲面

是在空间的无穷远这么一个边界

这么一个积分

就是电磁场的能量

流到无穷远的电磁能量

因为这个电磁能流密度

点乘上小的面圆

就是单位时间通过这个小面的

电磁能量

现在这个小面在无穷远

而且是跑遍整个

全部的无穷远的这个边界

那么就是整个的电磁能量

单位时间流到无穷远的这个能量

把这个电磁能流

用电场强度和磁场强度代进去

我们说如果这个电场强度

和磁场强度都是按以前的

自然边界条件的那种

就是按r平方分之一衰减的

这个被积函数

就是r的四次方分之一

而这个面圆最大最大的贡献

是平方

所以两个一比

在无穷远

它是按r平方分之一衰减的

所以这个 r平方分之一衰减

什么意思

就是这个能量到无穷远就等于0了

就是电磁能量

根本就流不到无穷远

这是对原来的静电场静磁场

相应的这种情形

现在有r分之一的

那么如果我们只抽出来

它们正比于r分之一的那一部分

就我刚才定义的辐射场的

那一部分

这是r分之一 这是r分之一

被积函数是r平方分之一

然后这个面圆最大最大的贡献

是r平方

这两个一比是一个常数

这是什么意思

就是对r分之一这样的场

所谓的辐射场它对应的能流

到无穷远是一个有限的值

也就是说r分之一

所代表的辐射场的电磁能量

是可以流到无穷远的

注意在这里面

本来一般的电磁场

是辐射场和普通的这个场叠加的

所以一般的这个里面

有r分之一 有r平方分之一

还有r的更高幂次的都会有

但是为了保证这个东西

是在无穷远是有限的贡献

只有这两个都是r分之一的

那部分才有贡献

如果一个是r分之一

另外一个是r平方分之一

这乘起来是r的三次方分之一

无穷远还是衰减的

还是流不到

所以只有我们在这一节

特别所要关注的

场的里面的r分之一的项

也就是辐射场的部分

才能流到无穷远

而这一节我们就单独的抽出来

这一部分正比于r分之一的

那么非正比于r分之一的

我们就都扔掉了

就认为以前讨论过

都非辐射场的部分

这是我们特别盯着要讨论

辐射场的特别的考虑

因为这一部分场的能量

能流到无穷远

而这一部分电磁场

我们以前从来没涉及过

没讨论过

好

所以在整个这一节的讨论里面

我们计算从这个势

计算场强的时候

额外 如果计算过程中

额外出现一个r分之一

我们通通的扔掉

因为原来势本身就有一个r分之一

再多出现一个r分之一

它对场强的贡献

就至少是r平方分之一

那个就不是辐射场

所以我们就

因为我们只考虑辐射场

就可以扔掉

所以在这个意义上说

我们所有的我们可以简化

很多的计算

就是很多项会严格说

它会有按这个r很大去做展开

可以有常数项 有r分之一项

有r的平方分之一项等等等等

我们现在把所有的

r的负幂次项

通通的在计算中都略掉

因为那个它对这个场强的贡献

是非辐射场的

比如说我们要算这么一个量

这个量是从元到场点的

那个单位矢量 这个R和这个R

都可以按小的r去展开

然后额外的出一些r’比r的

这个高幂次

那么那些高幂次

就在这个基础上

要多加一些r分之一的项

它以后对计算都是贡献

非辐射场的项

所以就略掉了

这个矢量是从坐标原点

指向场点的单位矢量

这两个会有小的差别的

因为元不一定在那个坐标原点

所以在这里面

就是说在计算辐射场的意义下

我可以不区分这两个的差别

后面要做微商的时候

涉及到这个t星对t的微商

t星对t的微商显然就是1

然后还会涉及到这个t星

对空间坐标的梯度

就是对r的梯度就是这个量

而这个r的一做梯度

就是这个单位矢量

这个单位矢量就搁在这儿了

现在实际上是用这个来去写

这个我们先把一些计算的准备

铺垫好

然后来真正的做计算

真正的计算就是把这个微商

要做出来

电场强度和磁感应强度

然后这个里面有梯度

那么一个函数对t星依赖

通过t星的依赖来去做梯度呢

那就是先对这个t星微商

t星再做梯度

对t星微商和对t的微商是一样的

因为先对t星 t星再对t

是差一个一

那么这个就可以把这个结果代进去

t星的梯度就是负的n比c

那么对一个矢量的

对t星的依赖

它的散度就是这块换成是散度

然后这个矢量的场对这个t星微商

对t星微商和对t微商是一样的

最后就化成这个

旋度类似的

这些是马上我们做这个微商的时候

要用的

注意这里面谈的

都是它对t星的微商

一般的这个里面可能还有明显的

明显的你就直接微就是了

好 有了这些

我们就开始算这个

算磁感应强度 算电场强度

一般的从这个推迟势出发

本来是磁感应强度

就是等于矢量势的旋度

我们现在加一个下标辐射场

辐就表示是辐射场

辐射场是计算这个里面

本来这个微商有很多项

我只计算当r很大的时候

是正比于r分之一的那个项

所以这儿标个下标r分之一

表示只保留r分之一的项

所有的其他的项都扔掉

按推迟势给出来的

是一个体积积分

然后4πR

分子上一个μ0 然后一个j

电流密度

然后旋度微商

本来是旋度微商

这个空间坐标通过大R是要依赖

这个微的是小r 场点的那个r

然后通过t星会有依赖

但是微这个大R的呢

是要多出一个r分之一

是非辐射场就扔掉了

所以这个大R分之一

可以视而不见

让这个微商就直接跨过它

直接微这个t星

而这个微t星这个里面的R

就是我们刚才一个f函数

它做旋度

直接是等于就是这个式子

是负的n叉乘上这个对t

然后你把这个叉乘换一下

负号拿过去

后面叉乘n就是正的了

所以就是把它换成是

后面叉乘n 多了一个c

这个是磁感应强度的

辐射场的部分

一般的表达式

这里面就是对t星里面的t

去做微商

然后电场强度的部分

按这个和势的关系是这样的

然后我们算辐射场

也是只保留r分之一

电场强度 因为这个项多

所以算起来复杂一点

这个梯度对φ的里边

同样对这个r可以跨过去

因为是非辐射场的贡献

直接微里面的 ρ里面的t星

对这个场点小r的依赖

然后偏偏t

也是直接微这个里面的t

这个也是用刚才的那个结果

直接是负的n比c

然后直接对这个t微商

这一项抄下来

这个偏偏t就可以拿出去了

这个n也和积分没关系

n注意 n和积分没关系

是什么意义

是在我们忽略掉

那个r分之一的贡献

本来这个n是大的R比上R的

这个模

它和这个积分是有关的

但是在我们忽略掉r分之一的贡献

它就变成那个场点的那个r的矢量

除上它的模

那个场点的r和这个积分没关系

所以这个n可以看成

和这个积分没关系的

那么把这个对时间的微商拿出去

对n拿出去

剩下的里面你看

这个就是那个标量势的

这个推迟势的这个表达式

那么所以这就把它代进去

把这个c也要拿出去

所以这个整个就是

那个标量势的推迟势

对时间的微商

然后乘上这个n比上c

后面这一项抄下来

而我们证明这个标量势

现在是洛伦兹规范的标量势

洛伦兹规范的标量势

我们证明过

它是满足洛伦兹规范的

规范固定条件的

洛伦兹规范的规范固定条件

实际上c平方分之一 偏φ偏t

等于A的旋度的负值

那么这是一个c分之一

还有一个c乘过来

就是等于负的这个c乘上

矢量势的旋度

是洛伦兹规范的

然后本来这儿多乘上一个n

就n搁在这儿

这项还是接着抄下来

这时候就把它换成A了

为什么要换成A呢

因为原来的

你看这个表达式里面

有ρ有j 算起来不方便

这个磁感应强度

也是用电流密度来去

所以干脆大家都换成

用电流密度来表达

这样一块放在一起

表达起来比较方便

那么这时候A再代回

这个洛伦兹规范的

适量势的表达式

然后这个散度

也是就直接微到里面去

微这个t星

微这个r分之一的是非辐射场

就扔掉了

那么这个微商接着给它微出来

就是一个偏偏t

然后再点乘上n

然后再多除上个c 负c

把这个负c消掉

所以这一项就是它

原来这个n还写在这儿

所以就得到电场强度的

辐射场的部分

用电流密度来去写

是这个表达式

看起来挺复杂的

比这个磁感应强度复杂

从这个看你会发觉磁感应强度

和电场强度

都是一个电流密度的时间变化率

然后一个积分

所以它们之间是应该是有联系的

这个联系很容易你去看一下

把这个式子两边叉乘上一个n

这边一叉乘n这项就没有了

n叉乘n等于0

这一叉乘把这个负号

和这个n叉乘

和这个颠倒一下

你发觉就是它就差一个系数

这个系数就是一个c

所以n叉乘E的辐射场的部分

就等于磁感应强度

反过来这边叉乘上n差一下

这两次叉乘

两次叉乘换成点乘就是两项

再乘上个c

把这个c除掉

你会发觉就是这个式子

所以就有这么样一个关系

这个关系是什么意思

这个就是我们通常

在算那个上一章

电磁波的传播的时候

理想绝缘介质平面电磁波的传播

就是这个关系

就是说磁场垂直于这个方向

你看的那个方向

这个方向现在是可以看成

坐标原点到场点的那个指向

那个方向

垂直于这个指向

垂直于电场

而电场也垂直于指向

也垂直于磁场

所以合起来就是电场磁场

还有这个指向

三个成右手的互相垂直

这么一个关系

好 有了这个关系

我们的电场就不需要算是了

因为电场直接

跟磁场直接算一下就行了

磁场刚才算出来是这个

磁场把它算出来

用这个就可以把它算电场

然后看一下能量

能量这个电场部分的能量是这个

注意我们现在都只算这个辐射场

磁场部分的能量是这个

而现在磁场是真空中

换成磁感应强度

而这个磁场和电场

实际上按这个关系

磁场的大小就等于电场大小

除上c

所以磁感应强度就换成电场

然后多除一个c就是了

然后平方就多除一个c平方

而这个c平方正好是μ0ε0分之一

所以这一弄正好是这个项

和电场是一样的

就是对这里面没加这个辐射场

实际上说的只对辐射场的部分

这个意思是说

这和理想绝缘介质的

平面电磁波性质是类似的

或者说是一样的

就是磁场部分的能量

和电场部分的能量

对辐射场来说是均匀

分配在这个能量里面的

然后再看它的能流密度

因为这两个垂直

又都是垂直于n那个方向

右手关系

一差乘出来的就是沿那个

n那个方向

然后把这个大小

这是B 这也是B 除一个μ0

然后这块还差一个c

代进去就是它

这个东西实际上正好是

2倍的这个磁的能量

而磁的能量和电的能量是一样的

所以总的来说

这个能流密度就和

那个理想绝缘介质的

平面电磁波性质是一样的

是总的能流密度

然后沿n方向走

这个速度是光速

你算一下这个辐射的功率

辐射的功率就是

我在一个大的球面上

然后对这个能流密度去做面积分

这个能流密度

按现在是沿n的方向

然后这个球面也是沿n的

这是有一个n乘上这个面圆的大小

是这个面元的矢量的大小

还有一个n和这个s的大小

是这个能流密度的矢量

这两个一点乘 n点乘n等于1

最后就变成是这个量

这个球面的面元

可以用它的立体角

然后乘上这个r平方来去写

或者说在这个里面

从这个角度来说

这就是盯着在

本来是4π立体角

整个辐射到出去一个大球面

这个球可以趋到无穷远

这个r可以趋于无穷大

现在这个里面被积函数

可以看成是

沿着某一个立体角的方向

在那个小的立体角里面

这个单位立体角

出射出去的能量

所以通过这个叫dI dΩ

就是单位立体角辐射出去的能量

单位时间实际上是功率

那么从这两个一比较

就是这叫辐射角分布

辐射功率是单位立体角

辐射出去的这个功率

就等于能流密度的大小乘上r平方

说你这个不是r很大嘛

这不就是 是不是就趋于无穷大

不是

注意这个s在这个里面

这儿有一个r分之一

这儿有一个r分之一

s本身是r平方分之一的

这个r平方

就是把这个r平方分之一给消掉了

实际上你算出来的那个能流密度

在这里面算能流密度的大小

把那个r平方拿掉

就是这个单位立体角

辐射出去的功率

所谓的辐射的角分布

好 到此为止

它的一般的性质就说完了

实际上就是辐射场

满足这个右手关系

能量是均分的

然后总的这个能量

是比它的能流密度

沿光速沿着你看的那个方向跑

然后单位立体角辐射出

单位时间辐射出来的能量

就是能流密度乘上这个r平方

就是这些性质