波动方程的几何光学近似在线视频

大家好

我们现在介绍电动力学

第三章的最后一节

电磁波的几何光学极限

在这一章的前面五节里面

我们基本讨论的都是均匀介质

虽然我们写电磁波的

传播的方程的时候

可能假设这个介质并不见得

一定是均匀的

但是最后具体计算的时候

所有的计算都是在均匀介质下

进行计算的

那么作为一节

我们就讨论一个

超出均匀介质情况的

电磁波传播的情形

所谓电磁波的几何光学极限

我们在这一节里面分三部分

首先把电磁波的波动方程

在一个特殊的情况下

所谓的几何光学近似下

把它写下来

然后我们会发现电磁波

在这种特殊的情况下

可以有像我们几何光学那样

有一个光线的概念

就是光走的是所谓直线

或者是走的有一个轨迹

一条曲线来去描述

光的走的径迹这么一个概念

我们把这个径迹的方程

具体的写下来

所谓的光学方程

最后我们来证明这个

描述这个径迹的方程

实际上可以用一个泛函来去

求极值来去得到

这个泛函求极值的另外一种表述

是所谓的费马原理

好 我们先说第一部分

我们讨论非均匀的介质

我们所问的问题就是电磁波

是否能有一个轨迹

为了简单起见

我们的介质的非均匀性

主要用介电常数

是坐标的函数来代表

我们把磁导率还取为常数

我们把这章最开始推导出来的

电场磁场满足的波动方程

在这里写下来

那个里面一般的认为

介电常数和磁导率都是

可以是空间坐标的函数

那么我们现在

把磁导率仍取为常数

因此对应的这两项就没有贡献了

因为这个μ是个常数

然后微商等于0

这两项就等于0

但是现在介电常数不是常数

是空间坐标依赖的

所以这一项就会有贡献

还有这是法拉第电磁感应定律

然后库伦定律

实际上现在可以写成这样的形式

这个形式怎么来的呢

实际上这个对lnε的导数

就是ε的导数再除上一个ε

这个ε再乘过去

最后移到等号一边

这两项微商就可以合起来

最后变成对ε乘上E的散度

ε乘上E就是D

所以这个式子

实际上就是D的散度等于0

那个方程

所谓库伦定律

在这里面这个速度

这个电磁波的这个速度

按我们以前推的

是等于μ乘上ε分之一

那么按照我们电磁波的传播

用这个介质的折射率来去写

是折射率的平方

和这个c平方的这个比值

现在由于介电常数

是空间坐标依赖的

所以这个速度

也是一个随位置不同而不同的

就是这个电磁波在这个介质里面

走在不同的地方

是有不同的速度的

我们还是寻求定态的电磁波的解

定态的电磁波

就是对时间的依赖

是一个e的负iωt的形式

所以我们现在电场

寻求这样的形式的解

这个对时间的依赖

还是e的负iωt

对空间坐标的依赖

现在由于是非均匀介质

就不是简单的ik点乘r的形式

所以我们一般的把它写成

一个位相是Φ 大的Φ

是空间坐标的函数

然后有一个振幅

是一个空间坐标的函数

这个C和Φ都是实数实的函数

所以C是一个矢量 实的矢量

所以这是一个振幅

这块是一个位相

对磁感应强度和电场

因为磁场和电场是有关系的

所以我们这个位相

是选成是一样的

但是磁场的这个磁感应强度的

这个振幅

可能和电场是不一样

我们用一个C’来去

我们现在就是在这个问题里

就要知道这个C C’还是Φ满足

要希望能尽量的把它确定出来

因为知道了我们这个定态电磁波

就完全求解了

首先把这个解塞到这个式子里面

这个式子偏B偏T

就下来一个这个负iω

然后这个负号拿下来

就是iω乘上B

然后E的旋度就是这个东西

这个量做旋度

这个里面做旋度

微商一个是微这个振幅项

一个是微指数上的Φ这个项

微振幅这一项就是它

微这个指数上这个位相的这个

就是它

这个式子B又是等于它

所以这个项可以代到这个里面去

对吧

代到这个里面你就会发觉

这个上面的位相是完全一样

这是为什么我们磁感应强度

这块取的和这个上面是一样的

就是把这个代到这边去

两边都有同样的位相因此拿掉

剩下这边是一个iω成上C’

注意C’是一个实的矢量

那么这边把这个位相因子拿掉

就是一个纯虚的

然后是算这个项

这个里面的这边

这个E代进去

然后把那个这边的E的散度

就是一个是微它

一个是微它 就是这两项

然后微完了以后

这两边的这个指数的因子都拿掉

所以这个方程

就变成了这个方程

这个方程注意

这边这都是实的 这是实的

这是一个纯虚的

所以实际上是实部和虚部

两个方程

实部就是这个等于它就是这个项

虚部就是这个 就是这项

所以这个方程化成这两个结果

是对这里面的C和Φ

有这么一个约束

好 我们刚才的这个库伦定律

实际上给出了这个约束的条件

然后这里面这个方程

实际上是把C’算出来了

这里面就是iω再除回来

这个就是C’

虽然我们是就不用于直接算C’了

就是磁感应强度的这个位相

这个振幅

就直接用这个除上iω就得到了

所以把iω除过来

这是磁感应不写C’直接写它

然后这两个方程

是刚才说的库伦定律给出来的

这样我们现在的

就是这个方程

原始的那个波动方程

然后这个是定态电磁波的解

磁场磁感应强度呢

全用这里面的量来去表达出来

然后这是库伦定律

给出来的约束条件

下面很重要的就要解这个方程

解这个方程就稍微麻烦一点

因为这个东西对E微商是微两次

这个微两次

这个微商微这个里面

一个是这二次微商

都微到这个C上这是一个项

还有这个二次微商微这个里面

一个微商微这个

一个微商微这个上面这个Φ

就是这两项

还有这个两次微商

都微在后面的这个上

微在后面这个上

然后后面这个对t的二次微商

因为这个t的依赖是明显写出来的

就下来一个负iω

微两次商下两个负iω

最后就是负的ω平方

然后这儿还多除上一个负的微商

负号拿掉

就除了一个ω平方比v方

所以整个的前面这一部分

就是这一串

我再化简化简

这一项写在这儿了

把这个微完了以后

e的iΦ提出去了

e的负iωt都提在前面

然后这个里面的两次微商微这个

两次微商

第一次先微出来一个iΦ

然后第二次微商

也可以微第一次微过的

也可以再从指数上微一次

那么有两种

第一次微商微第一次微过的那个

就是这个项

因为第一次从指数上微下来一个iΦ

第二次还是微那个

所以有一个iΦ

然后两次都微这个Φ

然后第二次微商

如果是再从指数上新微下来一个

又下来一个i

两个i就是一个负号

然后这两个微商是点乘

这是这里面有两项

一个是这个项 一个是这个项

然后这一项抄下来

这个式子要等于这个式子

这个式子我再具体的写一下

把这个E代进去

E代进去这个里面有

E里面有这个C还有一个异质数的

一个是微这个里面的

就是这个E里面的C

乘上前面这一串

还有一个我指的最外面这个微商

还有一个这个最外面的微商

微E里面的异质数上的

就是这一项

一个是把这个E里面的振幅

和前面这个一块做微商

还有一个微上面的e指数

是这个项

注意在这里面点乘是什么关系

是这个东西和这里面的振幅

去做点乘

所以在这里面这个微商

就是这个项和这个项

和它的这个里面的振幅去做点乘

在这里面是这个项

还是和这个振幅去做点乘

都保持的是这个

和那个振幅去做微商

这样的话这个方程的这边

是这个项

这一边是这一串项

就是这两个相等对吧

这两个相等又是实部

这两个都有共同的这个因子

不参与微商这个因子就可以拿掉

剩下的里面的实部等于实部

虚部等于虚部

两个结果

首先实部 这个项这个项

这三项等于这里面的实部

就是这一项

而这一项从前面这个式子

你看出来C点乘这个它

是等于负的C的散度

所以把这个负号和这个拿出来

整个是等于C的散度

所以就是它

这是带了这个方程的结果

所以这里面的

是两个的实部的相等

最后就是这个等于它

然后虚部等于虚部

就是这一部分等于这一部分

就是这个

这里面的这个式子同样

负的这个东西和它

还是带这个式子

是等于这个振幅的散度

这个式子两边点乘上C

这个和C一点乘

C一点乘Φ的梯度在这儿是等于0

所以这边一点乘它就等于0

那么就剩下是这边

再点乘上是C

这个点乘C是C平方

然后这个C一点乘

这实际上是点乘的这个C

点乘上这个C这是搁在外面

有一次微商

这是二倍的

实际上里面就可以C平方

所以这个项一点乘上C

实际上就是Φ的梯度

点乘▽乘上C平方

也就是这一项

而这一项点乘C就是它

然后说它等于0

这两个实际上合起来

正好是这个项

是一个全散度是等于0

所以这个式子一个衍生的式子

一点乘上C

和这个前面这个结合起来

就变成是这么一个关系式

我这个化来化去

这个现在实际上这化来化去

干什么呢

是开始处理这个方程的结果

好 我们现在把这些结果

再去罗列罗列

这是定态电磁波的解

然后我们前面

那个法拉第电磁感应定律

已经把这个磁感应强度的

这个振幅

用这个和这个Φ来去表达出来了

然后库伦定律给出来

这两个约束条件

然后这个方程和其他几个结合

给出这两个条件

这两个约束的条件

其中这个条件我点乘上一个C

就变成这个条件

这是我们现在已经得到的

所有的结果

这个电磁波的这个

我们看一下能流

这个体系的

这时候非均匀的介质

它的电磁能流

电磁能流用这个表达式

我们以前推出来过

这时候这个磁场是写它的共轭

你就加一个共轭就是

加共轭就是这块变一个负号

这块变一个负号正号就是了

然后这个共轭

这个和它一乘

这个指数的因子就消掉了

然后剩下的就是里面的这个差乘

这个就是C再和这个差乘一下

所以C再差乘这个东西

这块负号共轭

已经变成是正的了

这还要取实部

这个项不用算了

因为这个东西这是一个虚的

因为这个C都是实的

这是个虚的

所以取实部这个项就根本就没有

这一开始就不用算这项

就剩下这一项

这一项两次差乘

一个是C点乘它就是这项

还有一个是C点乘它

C点乘它这项是等于0这个方程

所以只有最后这项就是它

最后这项本来是实的

取过来还是它自己

所以我们发觉

这个能流密度是正比于

C平方乘以Φ的梯度的

而这个告诉你C平方Φ的梯度

剩下差一个这个常数

Φ的C平方乘上Φ的梯度的

散度是等于0

实际上这就告诉什么

这是时间平均的这个能流密度

这个电磁波的能量密度

是没有散度的

这个也就是稳恒的能流

这个你就可以和我们的电流密度的

散度等于零

是稳恒电流是一样

它是告诉你什么

你在一个封闭体积里面

这个流进去的电磁能量单位时间

和流出来的是一样的

就是它没在里面

额外的有累积电磁能量

电磁能量一直在往前流

不会在某个地方瘀起来

到目前为止我们都是严格算的

只是说了一些假定

就是说假设这个磁导率是常数

然后是绝缘介质就是了

那么下面来讨论说

什么时候它可以有一个

所谓的轨迹的概念

所谓几何光学近似

这个几何光学近似

是考虑这么一种情况

假定我们在某一种情况里面

这个电场的这个振幅

随这个空间坐标的变化

是一个比较缓慢的函数

就是它随r的变化率是比较小的

缓慢的函数意味着什么

在所有的得到的这些方程里面

对C的空间微商我们都略掉

就是它都是比较小的量

可以被略掉

这是叫如果是可以这么做

我们就叫可以取几何光学近似

这是它的空间变化率比较小

那你就我们就会得到

一系列的东西

首先看一下能得到啥

这个方程

这个方程你说如果是

C的空间变化率是比较小

这项就拿掉了

这项就拿掉了

那么这两个C都可以拿掉

剩下这个Φ的梯度的模平方

是等于这么一个常数

就是这个式子

就是在几何光学近似下

在C的振幅的空间变化

比较小的时候

就是这个式子

这是近似 特别强调

不是近似的话

你就要把这些项移过来

再除上这是相当于有一个C

你再点乘上 给除过来

相当于是这样

就是一般来说

这块是和C是有关的

这个式子是严格的

这是电磁能流是稳恒的

这个稳恒电磁能流是

这个是C点乘它

这是什么意思

这是实际上是它的振幅

和它的那个等相面的那个法线

这是Φ的梯度

是相当于是那个

Φ等于一个固定的值

相当于是等相面

Φ的梯度就是等相面的法线

法线的方向

相当于C就是振幅和等相面的法线

是垂直的

就是位相的那个法线

和振幅是这么一个垂直的关系

这是严格的

这是刚才推出来的

然后还有这个式子

这个式子当这个C是变化缓慢

这个可以略掉

所以C点乘

这个logε可以变成是

ε外面除上一个ε就是了

就是这个式子 这个是近似的

这是说明C又和介电常数的变化

变化率

是垂直的

这两个是近似的

这中间这两个是严格的

就是几何光学近似

就是额外的加了这两个条件

否则的话这个是不等于0

这个还要加其他的项