当前课程知识点：逻辑学概论 > 第二讲 逻辑学的产生和发展 > 2.7 数理逻辑的提出和实现 > 逻辑学02-7
好 下面我们要来介绍
数理逻辑发展的情况
那么所谓数理逻辑
我们前面已经提到过了
数理逻辑就是现代的逻辑
那么它是以
它的特点是以数学的语言
数学的方法来研究逻辑
并且它的结果又转回来
为数学基础的研究服务
那么首先数理逻辑的创始者
或者说提出数理逻辑思想的人
是莱布尼茨
莱布尼茨我们知道
也是一个非常重要的学者
他拿的博士是法学博士
但是他的功绩我们大家所知道的
他和牛顿分别独立地
创立了微积分
那么他是哲学家
又是逻辑学家
数学家等等
那么他的关于数理逻辑的思想呢
在他的一篇著作
叫做《论组合术》
也有翻译成《论组合的艺术》
在这本书里边
那么他提出什么呢
就是说我们经常看到
有人会为了什么事情争论
不是吵架
争论
比如说学者们
比如说哲学家们
经常要争论 要辩论
但是数学家之间呢
争论就比较少
为什么呢
因为数学家之间
如果有了不同的意见
一般的来说
主要的不是用争论来解决
当然他们也要争论
但是跟哲学家比较起来
哲学家几乎完全是靠争论的
但是数学家很少有争论
他更有效的方法是什么呢
你说这个定理成立
请你证明给我看
你证明出了以后我来看
如果我挑不出毛病
那我就必须承认
你的证明是对的
如果我挑出毛病
那么你再看
我挑的毛病对不对
也许我挑的是对的
那你就要修改
或者是推翻你的证明
那么为什么可以这样呢
因为数学家之间
有共同的语言
所谓共同语言不是说
他们都说英语或者说德语
不是这个意思
而是说他们有共同的用语
共同的方法
因为哲学家就不是这样
比如说中国哲学里边
什么叫理 什么叫气
什么叫道
有多少哲学家
就有多少不同的理解
西方哲学里边
什么叫做共相
什么叫做个性
什么叫做理性
什么叫做感性等等
也是都有不同的理解
所以哲学家们的争论
你看起来好像在讨论同一个
讨论的题目是一个
但是我们有时候发现
他们的讨论
实际上并没有交锋
为什么
他们好像在讨论同一个东西
但实际上说的不是一个意思
比方说假如我们要争论白马非马
我说白马非马是对的
我是在白马不等于马的意义上在说
说了很多的道理
你说白马非马是错的
你是在白马不属于马
不包含于马
在这个意义上说
当然说出一大套道理
你也是对的
但是我们两个说的并没有交锋
因为我们说的用语
用的字眼 字面上好像一样的
但是实际上不一样
而且哲学家之间
用的方法也不一样
而数学家之间呢
基本上他会有一个共同的语言
比如说1 2 3 4 5
5 多少
5就是这么多
不管哪一个数学家
5 同样写一个5
他都理解为这么多
不会有人理解为这么多
有人理解为这么多
5总是理解为这么多
他们有共同的语言
另外呢
数学家所用的方法呢
基本上也是大家共同承认
共同采用的
所以莱布尼茨他说
我们要建立一套什么呢
我们要建立一套普遍的符号语言
凡是有不同意见的时候呢
我只要像数学家一样
请你证明给我看就可以了
不需要争论
证明给我看
但是这个证明给我看
需要什么呢
需要两件东西
总的来说是需要有一种
普遍的符号语言
首先就是要有思想的字母
也就是说我们思想里边
能够想到的什么东西
实在的东西和抽象的东西
每一种东西也就是每一个实
要有一个名来命名它
而且名和实要对应起来
否则的话我说一个“是”
到底是等于还是属于
不知道
那么我们要有一套
思想的字母
也就是说你不要说“是”
为什么呢
因为这个“是”它有时候是等于
有时候是属于
弄不清楚
你就干脆说等于
干脆说属于
干脆说包含于
你一说等于大家都知道了
这个事就没有争论了
所以要有一套共同的
一套符号
这个思想的字母
另外思维的演算
就是我们有一些共同的
一些方法
大家所都承认的一些什么呢
其实就是推理形式
这个推理形式
你也承认
这个推理形式我也承认
好 那么把什么东西给代进去
把什么符号所代表的东西
代进去
那么一推这个结果就出来了
所以这个就不需要争论了
有什么问题我只要请你
推演给我看就可以了
那么这个就是
因为我们前面说推理
这个推理我们原来日常语言
自然语言
自然语言它没有这么严格的
这种符号
它一个符号一个词
可以代表不同的意思
所以会引起很多无谓的争论
那么如果是达到了
像数学那样的程度呢
那就可以有很多争论
就可以避免了
那么如果很完全很完善的
很彻底地达到了这一套
那么这种逻辑呢
那就是所谓数理逻辑
还要顺便说明一下
所谓数理逻辑
这个翻译呢
往往会引起误解
有人以为数理逻辑
是数学和物理的逻辑
因为我们数理化
实际上数理逻辑
实际上就是数学逻辑
英语是Mathematical logic
数学的逻辑
所以实际上数理逻辑
应该翻译成数学逻辑更好一些
国内也有一些文献
有一些教科书呢
是用数学逻辑这个用法的
但是因为数理逻辑这个用法
用得更多
所以我们现在一般
都还是说数理逻辑
就是数学的道理
数学的原理
数学的方法来做的这个逻辑
叫做数理逻辑
就是数学的道理
不是数学和物理
请大家一定要注意
就是数学的逻辑
那么莱布尼茨提出了
数理逻辑的设想
并且他也做了
相当的一部分的工作
但是在他手里
还没有建立起比较完善的
这样的数理逻辑的系统
但是因为他首先明确地
提出了数理逻辑的设想
所以我们总是把他看成是
创立数理逻辑的第一个人
那么数理逻辑在谁的手里
开始比较好地实现了呢
是大家所知道的布尔
大家都学过布尔代数
布尔是英国人
那么他的著作
其实他的著作的名字都很长
《逻辑的数学分析》
冒号 后面还有一个很长的副题
《思维规律的研究》也是
前面有很长很长的定语
我们这里都是简称
那么他的主要的功绩呢
就是创立了逻辑代数
逻辑加 逻辑乘
这个大家很多同学都学过
现在在高中好像就有布尔代数吧
大家都比较熟悉
那么这个逻辑代数呢
他可以解释为类之间的演算
那么也可以解释为是
命题之间的演算
也就是说这里的ABC可以什么呢
这里的A可以代表一个命题
就是代表一句最简单的话
那么B代表另外一句最简单的话
最简单的话叫做命题
它可以实现命题之间的
也就是前面我们举过的
就是斯多阿学派的
那些推理
比如说如果铜是金属
那么铜是导体
铜是金属
所以铜是导体
那么这么一个推理
就可以用布尔代数
来给它写出来
而且可以用布尔代数
来证明这个推理是对的
像这样的一些东西呢
就是所谓命题演算
但是布尔代数
它不能解决所有的问题
比如说三段论的问题
用布尔代数就无法解决
就是用布尔代数
是没有法子来把三段论
这样的推理写出来的
为什么
因为三段论里边
它有一个所有的如何如何
或者有些如何如何
这个东西叫做量词
在布尔代数里边没有量词
所以布尔代数呢
部分的实现了逻辑的演算
就是命题之间的演算
好 那么还有一个很重要
作出很重要功绩的人
叫做德 摩根
德 摩根出生在印度
后来加入了英国籍
所以总的来说算是英国人
那么他的一个很重要的功绩
是创建了关系逻辑
什么叫关系逻辑
我们日常会做一些很简单的
一些推理
比如说如果5大于3
并且3大于2
那么5大于2
这个推理大家都会做
石家庄在北京的南边
郑州在石家庄的南边
所以郑州在北京的南边
从铁路线上来说是这样的
这个推理大家都会做
但是这样的一些推理
在传统逻辑里边
是无法分析的
也就是说这样的一些推理形式
这样的一些推理
它的推理形式应该说很简单
但是在传统逻辑里边
没有它的地位
也就是说传统逻辑里边
给不出这些推理的形式
给不出
那么其中一个很重要的原因是
因为传统逻辑
传统逻辑是用
是用自然语言的
而像这样的
因为这样的推理
我们用现在的话说
叫做关系逻辑
因为比如我们说
比如说石家庄在北京的南边
郑州在石家庄的南边
是这两个地方
它一种关系
它在空间上一种方向的关系
那么两个东西之间的关系
用自然语言是说得清的
但是如果两类东西之间的关系
你用自然语言说
而且你还要加上那个所有的
还是有些
这个时候呢
就可能会说不清楚
比如我说我们看到
有一个连锁饭店
叫锅比盆大
好像很多地方有
锅比盆大饭馆
锅比盆大这句话
锅是一个类
盆是一个类
锅比盆大
这个没有问题
好像没有问题
但是是有问题的
我现在一口锅一个盆
这个锅比这个盆大没有问题
但是我现在问题是
世界上有无数的锅
世界上有无数的盆
是所有的盆
是所有的锅比所有的盆大
还是所有的锅比有的盆大
还是有的锅比所有的盆大
还是有的锅比有的盆大
这是两个
那么如果是再复杂一些
刚才是两个东西的关系
假如是三个东西的关系
比如我说盆的大小
在锅和碗之间
一般来说锅大 盆小一些
碗最小
但问题是有很多很多的盆
有很多很多的碗
有很多很多的锅
你现在你说
盆的大小在锅和碗之间
那你是所有的盆的大小
在所有的锅和所有的碗之间呢
还是有的盆的大小
在所有的锅和有的盆
我已经说得很累了
大家听得更累
所以用自然语言
来说这样的命题的话
会很困难
有时候到复杂到一定程度
自然语言会说不清楚
还有一些其他的原因
所以在传统逻辑里边
是没有关系逻辑的
而这些东西我们又很常用
又很常见
那么这些个有效推理形式
要怎么得出呢
那么德 摩根的关系逻辑里边
就给出了
因为用数学语言
我们刚才所说得
这个很累的这些个句子
如果你用数学语言来写
那是很简单的
也很容易理解
那么所以这个关系逻辑
也是很重要的
然后引入量词的是弗雷格
这也是一个德国人
他的重要的著作叫做概念文字
也有翻译成概念语言
他的重要的功绩
是建立了他的命题演算
和谓词演算
命题演算以前布尔就有
他也创造了他的命题演算
但是谓词演算以前是没有的
因为我们说你分析三段论
你要引入量词
所有的什么东西如何
有的什么东西如何
那个量词引入
那么弗雷格第一个引入了量词
他实现了谓词演算
然后我们大家所熟知的
鼎鼎大名的罗素
罗素是哲学家 数学家
逻辑学家
他得过诺贝尔文学奖
这个人很了不起
那么他在逻辑上
重要的
最重要的功绩
是他和另外一个人叫怀特海
罗素和怀特海
共同完成了《数学原理》这部巨著
这部著作从第一卷出版
到最后一卷出版
是从1910年到1913年
所以差不多
是在现在之前的一百年
一百年以前
那么罗素和怀特海的工作
是里程碑式的
因为罗素和怀特海
他们建立了完备的命题演算
和谓词演算
也就是说莱布尼茨的设想
在罗素和怀特海的手里
很圆满地完成了
他们的工作
被作为逻辑演算的
最经典的系统
什么叫逻辑演算
就是莱布尼茨的设想
完成以后我们看到分两部分
一个叫命题演算
是布尔开始完成的
然后一个叫谓词演算
是弗雷格完成的
然后罗素和怀特海合作
完成了完备的这两个演算
并且用他们完成的这两个演算
来写出了到当时为止的
所有的数学分支
整理了当时所有的数学分支
用他们的这两个演算
所以他们的工作
具有里程碑性质的
所以数理逻辑
是从莱布尼茨提出
然后在罗素和怀特海的手里
在距我们现在以前一百年
得到了实现
-1.1 “逻辑"和逻辑学
--默认
-1.2 推理和推理形式
-1.3 有效推理形式
-1.4 逻辑学的特点
-1.5 逻辑学的基本准则
-1.6 逻辑学和其他学科的关系
-1.7 关于本课程《逻辑学概论》
-第一章作业
-2.1 中国古代逻辑思想（上）
--默认
-2.2 中国古代逻辑思想（中）
--逻辑学02-2
-2.3 中国古代逻辑思想（下）
--逻辑学02-3
-2.4 印度古代逻辑
--逻辑学20-4
-2.5 古希腊和中世纪逻辑
--逻辑学02-5
-2.6 近代西方逻辑
--逻辑学02-6
-2.7 数理逻辑的提出和实现
--逻辑学02-7
-2.8 数理逻辑的发展
--逻辑学02-8
-第二章作业
-3.1 推理和命题
--默认
-3.2 基本命题和复合命题
--默认
-3.3 常用命题联结词及其基本推理形式（1）
--默认
-3.4 常用命题联结词及其基本推理形式（2）
--默认
-3.5 常用命题联结词及其基本推理形式（3）
--默认
-3.6 常用命题联结词及其基本推理形式（4）
--逻辑学03-6
-3.7 常用命题联结词及其基本推理形式（5）
--逻辑学03-7
-3.8 常用命题联结词及其基本推理形式（6）
--逻辑学03-8
-3.9 常用命题联结词及其基本推理形式（7）
--逻辑学03-9
-第三章作业
-4.1 重言式、矛盾式和可满足式
--默认
-4.2 具体推理转换为推理形式
--默认
-4.3 推理形式转换为复合命题形式
--默认
-4.4 有效推理形式的判定：真值表法
--默认
-4.5 有效推理形式的判定：归谬赋值法
--默认
-第四章作业
-5.1 命题联结词：真值函数
--默认
-5.2 析取范式
--默认
-5.3 为复合命题形式作与之等值的析取范式
--默认
-5.4 合取范式
--默认
-5.5 范式存在定理
--Video
-5.6 命题联结词的充足集
--Video
-5.7 命题联结词的独元充足集
--Video
-第五章作业
-6.1 公理系统的构成
--Video
-6.2 命题演算的公理系统 L
--Video
-6.3 命题演算公理系统 L 中的证明
--Video
-6.4 命题演算公理系统 L 中的证明（续）
--Video
-6.5 命题演算公理系统 L 中的推演
--Video
-第六章作业
-7.1 公理系统出发点的延伸
--逻辑学07-1
-7.2 公理系统的评价
--逻辑学07-2
-7.3 公理系统的性质和评价及其意义
--逻辑学07-3
-7.4 命题演算的自然演绎系统
--逻辑学07-4
-7.5 命题演算自然演绎系统中的证明和推演
--逻辑学07-5
-第七章作业
-8.1 基本命题的结构
-8.2 词项的内涵和外延
-8.3 词项的种类
-8.4 词项间的关系
-8.5 词项的定义
-8.6 词项的划分
-8.7 谓词的分类
-8.8 量词
--8.8 量词
-8.9 联词
--8.9 联词
-第八章作业
-9.1 基本命题的推理
--Video
-9.2 传统逻辑对基本命题的分析
--Video
-9.3 性质命题中主、谓词的周延
--Video
-9.4 命题变形的推理
--Video
-9.5 根据对当关系的推理
--Video
-9.6 三段论
--Video
-9.7 三段论的式与格
--Video
-9.8 有效三段论的判定
--Video
-第九章作业
-10.1 性质命题
-10.2 主词非空的预设
-10.3 关系命题的结构
-10.4 关系命题根据量词的推理
-10.5 关系命题根据谓词性质的推理方法
-10.6 谓词演算简介
-第十章作业
-11.1 非经典（非标准）逻辑
-11.2 多值逻辑
-11.3 模糊逻辑
-11.4 模态逻辑
-11.5 规范逻辑
-11.6 时态逻辑
-11.7 弗协调逻辑
-第十一章作业
-12.1 演绎和归纳
--逻辑学12-1
-12.2 探求因果关系的逻辑方法
--逻辑学12-2
-12.3 证论和反驳
--逻辑学12-3
-12.4 悖论
--逻辑学12-4
-12.5 本课程《逻辑学概论》内容回顾
--逻辑学12-5
-第十二章作业
