逻辑学12-4在线视频

好 下面是一个很有趣的题目

叫做悖论

悖论这个词 有时候

也经常被大家在日常生活中用到

但是我们日常用到悖论这个词呢

往往不是和逻辑里边所说的

完全一样的

我们往往一般怎么理解悖论呢

悖论就是说不通的

那就是悖论

或者自相矛盾的就叫做悖论

卖矛的卖盾的

他这个话说不通

他就是悖论

但是这是一般的说法

逻辑里边不是这样说的

逻辑里边对于悖论

它有着严格的定义的

就是 逻辑里边的悖论 是什么样子的

是由它的真

可以推出它的假

由它的假 可以推出它的真

这样的命题

或者说用更专业一点的话来说

就是 A 跟它自身的否定 非A

如果这两者等值的话

那么这就叫做悖论

那么我们通过例子来说明

悖论的最早的例子 叫做说谎者悖论

也就是说“我正在说谎”

我说一句话

我说“我正在说谎”

或者我写下来

我在黑板上

我在一张纸上写

“这句话是假的”

这句话是哪句话

就是正在写的这句话

“这张纸上的这句话是假的”

那么我们说

这个话是真的还是假的

我们首先要约定一下

什么叫真

真 什么叫一句真话

就是说 他说的这句话和事实

是符合的 叫做真话

如果说的话和事实不符合

就叫做假话

说谎就是说假话

好 我们来看

“我正在说谎”这句话是真的还是假的

我们先假设说 这是一句真话

好 “我正在说谎”

如果这是一句真话

那么也就是说 事实是什么呢

事实是 我正在说谎

你看他 事实上正在说谎

那怎么能是真话呢

那说明这是一句假话

好 那么我们说

那这就是一句假话

“我正在说谎”是一句假话

好 “我正在说谎”是一句假话

什么叫假话

假话就是和事实不符合

那么也就是说

他没有说假话

他说的是真话

所以你看 如果他说的是假话

那么他说的就是真话

如果他说的是真话

那么他说的是假话

这就叫悖论

这和自相矛盾不一样

自相矛盾很简单

我们说那个卖矛卖盾的人

他说的是假话 就完了

但是我们这里不是这样的

你说 它是假话

结果引出 它是真话

你说 它是真话

引出 它是假话

这个叫做悖论

那么这个悖论怎么办

还有很多很多的悖论

这是最简单的悖论

那么这个悖论呢

就是提醒我们

我们自然语言里边

如果是数学里边

数学里边也出现悖论

那么说明我们的数学系统里边

数学语言里边

一定是有什么地方出了问题

那么我们说这个悖论

对于逻辑 对于数学的发展

是曾经起了很大的作用的

比如说我们说

数理逻辑里边有一个分支

叫公理集合论

怎么会有公理集合论的

集合论 这个大家都很熟悉

现在小学生的课本里边

就有集合论

就有集合

它不一定有集合论的理论

都有集合

但是这个集合

我们平时用的 觉得没有问题

但是罗素 我们前面提到过的

大家很熟悉的罗素

罗素他发现 集合论里边有悖论

而且这个悖论 说起来非常简单

是没有法子解决的

那怎么办

那就原因在哪里

原因在于集合论

因为集合论 我们平时用的集合

叫素朴集合论

集合论是数学里边最最基本的东西之一

所以集合在数学里边是不定义的

就是说只是描述

就是 有一些东西放在一起

或者你规定一些性质

就可以是一个集合

没有其他更多的要求

因为你没有其他更多的要求

所以如果有人钻牛角尖

他就会在集合论里边

就作出悖论来

那么怎么解决这个问题

那么我们要给集合论立规矩

不能什么东西拿来都可以作为集合

什么东西拿来都可以作为集合的

这个元素 它的条件

那么怎么样呢

就要从公理出发

那么确定若干条公理

从这些公理出发

那么这个集合论里边

它就不会再出现那样的悖论了

那么这个就是所谓公理集合论

因为我们平时用集合

你不是故意地去钻牛角尖

一般地 你用素朴集合论就可以了

但是假如你要说

那么我集合论的悖论怎么办

那么就请你从公理出发

来写这个集合

那么在公理集合论

它就避免了这种集合论的悖论

那么我们日常语言

因为这个是在日常语言里边出现的

我正在说谎

这句话是假的

这个怎么解决

那么这个有一种解决的方案

就是说 你说谎

你说真假

你只能说别人 你不能说自己

叫做什么呢

不自指

你只能说那句话是假的

他在说谎

他在说谎 他是不是说谎

我们调查一下他是说谎

或者他不是说谎

这个真假没有问题

你不能自己说自己

你顶多说我昨天说谎

我上次说谎

你不能说我正在说谎

我这句话 就是说 我这句话本身的真假

这个不可以

你可以说 那句话是假的

你不能在这儿写一句话

你就自己说我这句话

“本句话是假的”

或者 “本句话是真的” 不行

你不能自己说自己

不自指

这是解决 像说谎者悖论的这么一种

这是其中的一种方案

那么悖论有很多很多

有一些被提出了一些方案

可以解决

那么比如说

和说谎者悖论很近似的

还有一个 叫理发师悖论

就是说 某一个村子的理发师规定

当然这个理发师本人是男的

他也是这个村的村民

他规定就是说

他给并且只给 任何不给自己

刮胡子的村民 刮胡子

我们知道 刮胡子

男的刮胡子 他可以自己刮

也可以上理发店去刮

那么这个理发师规定

我给并且只给那些

不给自己刮胡子的村民

这个村民 他自己从来不刮胡子

好 每次来我帮他刮

这个村民 他自己刮过胡子

那算了

你很能干 你自己刮吧

我不给你刮

现在的问题是 他给不给自己刮

如果他不给自己刮

那么他 因为这个人本人

是不给自己刮胡子的

那他就必须给他刮

但是如果他自己给自己刮了

那么他就不符合 给他刮胡子的条件

所以如果给他自己刮

就不能给他自己刮

如果不给自己刮

就必须给自己刮

说起来很绕

那么这个理发师悖论

那怎么办

那么当然这个和刚才一样

我们可以有个解决的办法

叫做不自指

就是说 这个理发师

你是外村的理发师

外村来了一个理发师

我给这个村子里边的人理发

你们谁自己刮胡子的

我不给你们刮

谁不自己刮的 我给你们刮

至于我自己

我不是这个村的

我不在这个范围之内

或者我们说 这个理发师是个女理发师

那也没有问题了

因为她自己没有这样的问题

这个什么呢

也是刚才所说的 不自指

也就是说 我给那些

自己不给自己刮胡子的村民

但是这个 是不包括我自己在内的

因为它的范围是村民

但是这个理发师他不能是村民

或者不能是长胡子的村民

那么这样的话 这个问题就可以解决了

悖论有很多很多悖论

我们这里只是介绍最简单的悖论

还有一些很复杂的 说起来很费时间

我们在这里就不说了

那关于悖论是这样

就是说有一些悖论

被提出了一些方法来解决

像刚才那个悖论

就可以用不自指的方法

那么还有一些悖论呢

到现在我们还没有搞清楚

这个到底是怎么回事

到底是语言里边

什么地方出了问题

这个悖论 一定是语言里边

某个地方出了问题

然后我们可以来

想出办法来解决这样的问题

还有比如说这样的悖论

“不能用少于十八个汉字定义的最小整数”

这是什么意思呢

就是这个整数

我们都可以用汉字来定义的

比如说 “大于十的整数”

或者是比如说 “大于一百万的整数”

或者是比如说 “和世界上的

城市的数目相对应的整数”

等等等等

你可以用汉字来确定这些整数

那么这个定义可能很长

可能会很短

那么我们现在是这样的

就是有很多的整数很简单

你用三个字 四个字就可以定义了

但是也有的整数

你用四个字 五个字 六个字 七个字

用很多的汉字

有的要用很多的汉字定义

比如说要说一个很长的句子

要说二十个字的句子才能定义

那么就是有一些汉字

就是有一些整数说起来很复杂

你少于十八个汉字是说不清楚的

有的比如我们说“大于十的整数”

这个很简单

“大于十的整数”

我用六个字我就说清楚了

但是有些很复杂

要用很多的汉字

用少于十八个汉字

是不能定义的

那个整数有没有

当然

整数有很多 你有很多的定义

有的是少于十八个汉字可以定义的

有的是用少于十八个汉字不能定义的

就是说有很多的整数

它是不能用十八个汉字来定义的

就是不能用少于十八个汉字来定义的

至少要用十八个汉字来定义

那个整数很多吧

那个整数里边有大有小

其中最小的那一个

那个当然是存在的

好 但是问题来了

我现在已经把这个整数说清楚了

叫做什么

叫做“不能用少于十八个汉字定义的

最小整数”

我这个本身就是个定义

这个定义 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

我用十七个汉字已经定义了一个

不能用少于十八个汉字定义的

那怎么办

我们好像很奇怪

你既然不能用少于十八个汉字定义

那你怎么又定义出来了呢

这个好像很麻烦

但是我们还可以用刚才的那个方法

就是不自指

就是你本身不能是一个定义

因为这个本身是一个定义

就是 我现在是个整数

是个什么整数呢

是不能用少于十八个汉字

所定义的那些整数里边的

最小的那一个

你本身就是个定义

那么你不能本身是个定义

那么我们也可以做这样的

也可以做这样的要求

当然对于悖论 有各种各样的解释方法

那么这个解释无非是对于

我们的语言

要做某种限定

那么也有一些悖论

是现在大家苦思苦想

都想不出怎么来解决的

那么还有待于以后来解决

那么关于悖论是一个很有趣的问题

那么也有很多这样的读物

有的小册子什么等等

有兴趣的朋友可以自己来看

好 关于悖论 我们就讲到这里