10.6 谓词演算简介在线视频

前面我们介绍了

数理逻辑里边

怎么样来处理基本命题

或者说怎么样来处理

怎么样来表述性质命题

怎么样来表述关系命题

那么这里边的所有的有效推理形式

那么正如我们在第四讲里边所判定的

关于复合命题的有效推理形式

它可以在第六讲里边

用公理系统

在第七讲里边

用自然演绎系统来把它归到一个系统

也就是从某些出发点出发

来得到所有的这些有效推理形式

那么同样的

就是把基本命题分析到它的里边

基本命题的成分

基本命题的结构以后

所进行的所有的这些有效推理形式呢

在数理逻辑里边

也是可以作成公理系统

可以作成自然演绎系统

那么这个叫做谓词演算

我们在第六讲里边叫做命题演算

为什么

因为复合命题它是基本命题之间

来进行推演

所以叫命题演算

那么在这里为什么叫谓词演算

因为在这里是把基本命题拆开以后

用基本命题内部的结构和成分

根据这个来进行推理

那么基本命题拆开以后

我们知道这里边的核心

是谓词

所以这部分在数理逻辑里边

叫做谓词演算

那么谓词演算呢

它的道理从方法上说

和命题演算是一样的

但是从具体的结构

具体的过程来说呢

比较繁琐

那么我们这里因为时间的关系呢

所以我们就不具体的来

进入谓词演算的这个系统里边了

这对于我们逻辑学概论这个课程来说呢

也没有时间来进入谓词演算

那么有兴趣的朋友呢

可以看有关的教科书

比如说我们推荐过的

《数学家的逻辑》这本书

我们前边的命题演算的系统

就是从这本书里边来的

那么如果有兴趣的朋友

可以继续看这本书的第三章

和第四章

这里边介绍了谓词演算

而且和前边这本书的第二章里边的

命题演算

也就是我们在第六讲里边介绍过的

命题演算的L系统是有关系的

那么下边我们只是简单地介绍一下

就是谓词演算

因为谓词演算它和命题演算一样

它也是什么

它也是有符号库

也是有形成规则

就是这些符号怎么形成合式公式

然后给出公理

给出推演规则

然后就可以得到这个范围之内的

所有的有效推理形式了

那么下面我们简单地来看一下

用于谓词演算的一种语言

叫一阶语言

为什么叫一阶语言

我们在后面介绍合式公式的时候

我们来解释 我们来说明

这里边的符号是这样的

这里的x{\fs10}1{\r} x{\fs10}2{\r}呢

就是命题变元

那么个体常元可以有

也可以没有

因为比如说我这个变元

比如说我从自然数里边取

假如我从自然数里边取值的话

那么x{\fs10}1{\r} x{\fs10}2{\r}可以是自然数里边的

任何的这个或者那个自然数

但是自然数里边有几个自然数呢

有的自然数呢

它在运算的时候

是有特别的用处的

比如说1 比如说0

传统数学自然数从1算起

现代数学自然数从0算起

所以现代数学里面0也是自然数

也是自然数

那么0和1我们知道

在运算里边是非常重要的

非常有特点的两个自然数

所以有可能要单独挑出来

因此这个个体常元

就是在这个个体变元

这个范围之内

需要特别拿出来的

那么就可以指定

就作为个体常元

谓词字母 这就是谓词

二元谓词

一元谓词的第一个

一元谓词的第二个

一元谓词可以有很多

这个谓词比如我们前面说的

是什么是什么

是大于0的

是正数

是负数

是实数

或者是比如我们日常

比如说 是金属 是导体

这个都可以的

这是一元谓词的第一个

一元谓词的第二个

二元谓词 等于

就是个二元谓词

邻居 也是个二元谓词 等等

同班同学是个二元谓词

二元谓词的第一个和第二个

函词就是这里边要做一些处理

做一些运算

比如说合取

这个合取那个

析取 这个析取那个

或者是什么呢

比如说是加法 减法

这个是一元函词

比如说平方

比如说开平方

那么二元 比如说 加法 减法 乘法

这个都可以

还可以有三元四元的函词

函词就是函数

这里为了和这个取得一致 我们用函词

其实就是函数

function

用函项也可以

标记符号

就是这里必须要用的

工作性的符号

这里就是括号

括号要注意

这个逗号是真的

这个逗号是这里面真的需要用的

我们前面说

我们命题演算

这个L系统的符号库里边

那个逗号 我们说那个不是的

那个是工作性的符号

但是在这里是

因为这个逗号我们是要用的

这个我们回头会看到

然后命题联接词

我们用否定和蕴涵

当然你要用其他的也可以

然后量词 我们用了一个全称量词

当然你要用存在量词也可以

那这个呢

我这里刚才说的《数学家的逻辑》

它这个里边对于谓词演算

它给出一个系统

这个系统所用的这个语言

就是这样的

然后这些符号应该怎么用呢

那么形成规则我们就不写出来了

我们把这里面的合式公式

给大家看一下

合式公式是这样的

我们看个体变元不能单独出现的

它这里合式公式

个体变元不能单独出现

它一定要有个谓词

而且谓词是几元的

后边要有个括号

这个括号里边

就要有相应的这个叫做项

要有相应的项

一元谓词比如说

这个如果是比如说 是金属

那么这个x比如说是黄金

那么这个就是说黄金是金属

或者说这个是大于1的

这个是8

就是8是大于1的

8是大于0的

8是正数等等

这个就是二元谓词

就是说两个东西具有一种什么关系

这里比如说

f是一种运算

比如说是加法

x{\fs10}1{\r} x{\fs10}2{\r}是两个自然数

比如说这里f表示

比如说（f2,1）表示

比如说是一种减法

那么这里是一个自然数

是8

这里是一个自然数 是7

那么这是一个

就是自然数里边特别的一个

叫做1

因为0和1是特别的

那么这个二元关系是一种等于

那在我这种解释之下

这句话是什么意思呢

这个式子什么意思呢

这个意思就是1等于8减7

1等于8减7

这个等于是成立的

所以我们看到这个逗号

就是这一个括号里边

这个括号里边

如果有几个项的话

有几个个体的话

中间要用逗号把它隔开

那么这里是

对于所有的x来说

对所有的x{\fs10}1{\r}来说

x{\fs10}1{\r}都具有（A1,1）的这种性质

那么我们看到这个合式公式是什么样子呢

合式公式一定要有谓词

所以是谓词演算

没有谓词不能算合式公式

x{\fs10}1{\r}单独拿出来是不行的

它一定要有谓词

谓词之前可以加量词

你不加量词也可以

那么也可以加命题联接词

比如说刚才是

对所有的x{\fs10}1{\r}来说

x{\fs10}1{\r}都具有（A1,1）的这种性质

那么也可以是 并非对于所有的x{\fs10}1{\r}来说

x{\fs10}1{\r}都具有（A1,1）这种性质

当然也可以

那么这里就是蕴涵 也是这样的

这里是这样啊

对于所有的x{\fs10}1{\r}来说

如果x{\fs10}1{\r}具有（A1,1）那种性质

那么（口误）

x{\fs10}1{\r} x{\fs10}2{\r}做了这种处理以后

做了这种运算以后

x{\fs10}1{\r}和x{\fs10}2{\r}做（f2,1）这种处理

做这种运算以后

那么它和a{\fs10}1{\r}之间

具有这种关系

假如x{\fs10}1{\r}具有这种关系

具有这种性质的话

那么它们之间就会具有这种关系

这是对于所有的x{\fs10}1{\r}来说

都是如此的

我这里只是举最最简单的例子

更详细的说明大家可以看

刚才我说的那本书

也可以看其他的

因为大家不一定能找到那本教科书

大家也可以看其他的

数理逻辑的教科书

或者大家可以

以后有机会可以上数理逻辑

方面的课程

那么这个可以具体地学到

关于命题演算

关于谓词演算

那么下边我们要来介绍一下

刚才没有说的这个一阶语言

一阶语言是什么意思

我们看这里的量词

它放在什么地方

我们看这个语言的

合式公式 它的特点是什么呢

就是每一个合式公式里边

必须要有谓词

当然谓词它就要求有主词（个体变元）

跟它配合

那么命题联接词

量词 可以有可以没有

命题联接词 可以有也可以没有

但是谓词是一定要的

所以这是叫做谓词演算

因为你没有谓词的话

你就不成其为命题

那么就没法来进行推理

因为推理只是命题和命题

之间来进行

那么所谓一阶呢

是根据它的形成规则

我们看到 它的量词是放在哪儿的

量词是放在个体变元之前的

也就是它这个量词

你只能说对于所有的x{\fs10}1{\r}来说

不能怎么说呢

你不能说我对于所有的

比如说我对于所有的二元函词

来说如何如何

不许这么说

也不能说对于所有的一元谓词来说

如何如何

不行

对于所有的基本命题来说如何如何

不行

也就是这个量词

它只能用做

它只能用来处理个体变元

对于所有的x{\fs10}1{\r}来说

对于所有的x{\fs10}2{\r}来说

或者对于所有的x来说

对于所有的y来说

你不许说 对于所有的谓词来说

对于所有的函词来说

对于所有的命题来说

不能这样

只许用在个体变元上

这个就叫做一阶语言

这样来进行的谓词演算

叫做一阶谓词演算

那么我如果需要

我就说所有的二元谓词如何

所有的命题如何

所有的函词如何

那也可以

那就是所谓高阶的谓词演算

那就进入高阶谓词演算

那么一般的来说呢

我们如果学习数理逻辑呢

总是先学习命题演算

再学习一阶谓词演算

而且普通的数理逻辑的

一般的数理逻辑教科书

也只到一阶谓词演算为止

只有数理逻辑专业的教科书

那它才会继续进入到高阶的谓词演算

那么谓词演算呢

它也分为公理系统

和自然演绎系统

那么这个道理呢

和我们前面的命题演算的公理系统

和自然演绎系统

从道理上说是完全一样的

这个所谓道理上

就是从方法上来说呢

是完全一样的

就是说同样地

它首先确定

像我们刚才已经看到了

不管是一阶谓词演算

还是高阶谓词演算 都是

它首先得给出符号库

哪些符号是可以用的

然后要给出形成规则

根据形成规则呢

我这里没有给形成规则

我只是用形成规则

就直接给出了合式公式的例子

因为例子是举不完的

所以我这只是举例子给大家看

但是你真正用的时候呢

它有个形成规则告诉你

所谓形成规则就是

每一个每一种符号应该怎么用

然后要给出公理

或者公理模式

然后要给出推演规则

然后就可以进行证明了

怎么证明

根据它的要求

从公理出发

运用推演规则

得到这个范围之内

所有的我们想得到的东西

也就是所有的这个范围之内的

有效推理形式

那么这个就是谓词演算

和命题演算呢

从方法上说是完全一样的

但是具体的细节呢

因为时间的关系

我们在这里就不能介绍了

好 那么到这里呢

我们关于基本命题的推演

关于基本命题的推理呢

我们就说到这里