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前面我们说了L系统里边的证明

所谓证明呢

它的前提 就是它的理由 都是什么呢

就是公理和推演规则

这样所得到的东西呢

都是纯逻辑的东西

所谓纯逻辑的东西 就是说

它相当于前边第四章里边的重言式

是纯逻辑的

也就是说 可以适用于任何的场合

它一定是不会错的

那么下面我们要说的是一个什么呢

推演

所谓推演呢就是

因为我们逻辑处理问题的时候

你不都是在逻辑内部进行的

有的时候就是逻辑外部的东西

要给我们

然后我们把给我们的东西拿来

进行处理

得到一个结果

那么这个结果呢

不是逻辑本身所能够完全负责的

像前面那个

“证明”是逻辑可以自己完全负责的

因为它完全是在逻辑内部进行的

它所有的理由都在逻辑内部

但是我们这个所谓推演呢

就是有一些理由

有一些根据可以从逻辑外边得到

而我们最后得到的结果呢

逻辑不能够独立地负责它的正确性

还是要怎么呢

要有赖于从逻辑外边得到的这些东西

如果你给我的这些条件是对的

那么我保证得到的结论是对的

要做这样的一些事情

这就叫做推演

那我们看L中的推演

设Γ这是一个大写的希腊字母Γ

设Γ是L中的合式公式

不必是L中的公理的集合

也就是说我们现在有一个集合

这个集合是什么呢

是L里边的合式公式

但是它一般地来说

它不是公理

你要是公理也可以

但是不需要

不是公理

但只要是合式公式你可以拿来

可以拿不止一个来

就是说是一个集合

那么这些合式公式

这些Γ里的元素怎么样呢

这些合式公式作为临时公理

参与L中的证明

原来我们说我们L中的纯粹的证明

那么所有的这个根据

都是L系统里边的公理

以及那个推演规则

但是我们现在可以有一些

非公理的东西拿进来

也就是Γ

非公理的东西拿进来

那么这个得到的结果我们称为

因为做的步骤和证明一样

但是这个不是纯逻辑的证明了

我们称为从L中从Γ的推演

就是我们在L里边来进行

但是我们这个进行呢

不是凭空进行的

像前面的证明呢

可以说是凭空进行的

就是在逻辑内部进行的

我们现在是从Γ出发的

Γ是什么

Γ是一组合式公式

并非公理的合式公式

那么这样所得到的结果

得到一个结果A呢

称为L中Γ的推论

就是你现在给了我一个Γ

这个Γ是逻辑以外的

逻辑以外的一个合式公式

当然形式上要按照逻辑的

合式公式

但是意义上它不必是公理

你可以是任意的

只要是合式公式拿来都行

那么从这个合式公式出发

我们在L中可以得到A这个结果

那么下面我们来看具体的这个例子

比如说我现在有一个Γ

但我这个Γ里边只有一个合式公式

就是p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

我们知道p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

不是重言式

在这里也不是公理

但是没有关系

我们可以p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

堂而皇之地作为我们证明的第一步

为什么

我们的理由是Γ1

因为Γ里边只有这一条

Γ1

好 那么下边第二步

第二步是第一条公理模式

A蕴涵 B蕴涵A

这个是我们逻辑里边有的

L1第一条公理模式

我们再看这一步可以看作是A蕴涵B

而第一步恰好是A

所以A和A蕴涵B

我现在就可以得到

p{\fs10}1{\r}蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

就得到这个

那么我现在这个是从分离规则

是2和1这两步得到的

p{\fs10}1{\r}蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

这是我现在得到的结果

但是这个结果不是纯逻辑的

因为它不是重言式

这个相当于第四章里边

它不是重言式

那么在这里呢它也不是定理

但是这个结果有什么意义呢

这个结果我们看

它是怎么样呢

L里边是有这个结果的

但是 不是无条件

它是有条件的

是以p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}作为条件

作为前提

就是说你p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

如果作为前提

我在L中就可以推出这个结果来

那么相当于什么呢

就是比如说我们这个逻辑里边

逻辑里边的重言式

等于什么呢 等于说

我们等于说

这个房间的面积

6米长4米宽的房间

它的面积同比如说

要这么说

就是南北4米 东西6米

这样的一个房间的面积

和南北6米 东西4米

这样的房间的面积是一样的

等于说6×4=4×6

6×4=4×6这是当然的

这个

数学内部是可以保证的

南北6米东西4米

南北4米东西6米

只要是一个长方形

那么这两个它们的面积是一样的

就不管你这个房间到底是多少

我现在是假设

那么这是一样的

但是这个是不说明问题的

不说明这个房间到底有多大

那么这个呢

相当于什么呢

就是我们有了一个确切的尺寸

告诉我们这个房间长多少

宽多少

那么我现在告诉你

这个房间的面积是这么多

但是我不能独立保证

我是说在他给我测量的这个情况之下

他说长6米宽4米

在这种情况之下

我在L里边可以得出

它的面积是多少多少

跟这个是一样的

就是说在L中根据这个前提

可以得到这样的结果

这个结果不是纯逻辑的结果

而是有赖于这个

那么下面呢

我们举一个更具体的例子

那这个例子也许我这个表达方式呢

不是十分的严格

但是这个道理是不错的

我们看一下

比如说我现在假设

什么呢

一个物体如果不受外力

则运动方向不变

我们知道这句话我们是见过的

这是物理学家告诉我们的

但是物理学家告诉我们说

这是一条定律

但是物理学家有没有弄错

我们不知道

我只说物理学家告诉我这一条

对我来说仍然是假设

然后第二个是一个天文学家告诉我们

说据他们的观测

某一个天体

某一个小行星

运动方向发生了变化

那么这个对于我来说

我也不知道

你这个天文学家观测的有没有误差

我不知道

但是我可以说物理学家告诉我

这条定律

天文学家告诉我这个观测结果

下边我可以来推演了

下面我可以推了

那么我们看看

这里边有几个基本命题呢

大概是有两个基本命题

一个是物体受到外力

一个是物体运动方向发生变化

那么我们用p{\fs10}1{\r}表示某物受到外力

p{\fs10}2{\r}表示某物运动方向发生了变化

那么好 刚才的两条假设

那就是我现在的Γ

因为是我逻辑以外的

一个是物理学家告诉我的

一个是天文学家告诉我的

好 那么这两句话我用逻辑的语言

把它表示出来

（物理）学家告诉我们的这句话呢

就相当于说如果不受外力

那么就不会变换运动的方向

好 这一条

这一条是不是逻辑的公理

不是的

我逻辑不能保证它对

物理学家说它是对的

但是物理学家会不会以后

会推翻他们的这个说法我不知道

也许这个物理学家说这样

那个物理学家说不是这样

所以我不知道

对我来说这只是一个假设

物理学家告诉我有这条

好 下面p{\fs10}2{\r}就是说

某物 某一个天体（运动）方向发生变化了

对于我来说这是一个假设

我不知道

我没有观测

我也不懂观测

天文学家告诉我

说它的（运动）方向发生了变化

那么好

我就打算天文学家说的是对的

那么下面我要来进行推演了

注意在这两个假设之下

我做推演

下面第三步

这是我逻辑内部的东西

就是非A蕴涵非B

蕴涵 B蕴涵A

这个是第三条公理模式

非p{\fs10}1{\r}蕴涵非p{\fs10}2{\r} 蕴涵 p{\fs10}2{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}

这是没有问题的

这是我逻辑内部的

然后呢

这（3）是A蕴涵B 这（1）是A

所以第三步和第一步呢

可以用分离规则

得到它后面的p{\fs10}2{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}

而这里有一个p{\fs10}2{\r}

这里有p{\fs10}2{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}

所以第四步和第二步

又可以用分离规则

得到这个p{\fs10}1{\r}

那这个p{\fs10}1{\r}就是我最后的结果

这个结果是什么

这个结果是

某物就是这个天体这个小行星

这个小行星受到了外力

受到了外力的影响

这是我推演出来的

那么我能不能保证

我逻辑学家能不能保证

这个天体受到外力

我不能保证

但是你这个结果

这明明是你L里的结果我们说

我这个结果怎么样

我是有条件的

就是前面就是那个Γ

这就是Γ

这个Γ里边有两个合式公式

这两个合式公式对我来说是假设

一条假设是物理学家告诉我的定律

一条假设是天文学家

告诉我的一个观测结果

假如物理学家说的不错

假如天文学家观测的不错

那我保证我这个结论是对的

这个天体一定受到外力

那么假如观测结果有误

或者物理学家的定律

以后要做修改

那我就不管了

那不是我的事情

那我当然就不能保证这是对了

因为我的前提有问题

所以这个是 如果前提是对的

那么我这个就是对的

这个叫做什么

这叫做推演

L中的推演

我这个p{\fs10}1{\r}是根据这两个来

推出来的

这两条是我这里的合式公式

但是 不是我这里的公理

也就是说我逻辑不能保证

这两个都是真的

如果逻辑以外的人

他们能保证这个是真的

那我保证这个是真的

天文学家和物理学家

保证它们是真的

我保证我这个最后结果是真的

那么这个和前面的证明就不一样

证明是逻辑关起门来

我一定是对的

这个一定是对的

但是证明里边的这些个对的呢

它都是重言式

都是同语反复

这个不是同语反复

但是它不能够独立保证它的正确

这个就叫做推演

那我们说这个推演呢

它的符号是这样的

也就是说这个实际上也是元语言

相当于我们用汉语来说

这个写得可以简单一些

在L里边通过这个可以得到这个

那么我们说这个

假如我现在做一个推演

但是我推演里边的

我没有用到Γ

那也是可以的

我没有用到外在的东西

我用的都是逻辑里面的东西

那就相当于什么呢

那就相当于说

我们前面的这个

前面那一节里面的证明

前面那两节里面的证明

那就是我也可以说

我这个L通过Γ得到了A

但这个Γ是什么呢

没有

我没有用逻辑以外的东西

我没有用逻辑以外的东西

我就可以记成一个空集

在L中推出了A

或者我直接写L中得到了A

注意这个A是无条件的

如果这个Γ是有条件的

像刚才我们说那个结果

关于天体的这个结果

我们是有条件的

什么条件

就是物理学家怎么说

天文学家怎么说

但是我现在这个结果呢

是不依赖于前面的

我逻辑里面独立说明的

那么这个写法就是纯逻辑的结果

也就是前边那两节所谓证明

好 那么关于公理系统

公理系统基本的运转

就是说两种情况

一种情况在公理系统内部来进行

那就是证明

一个就是可以采用

公理系统以外的东西

逻辑以外的东西

可以参加进来

那么这样的话呢

所得到的是所谓推演

那么我们这一讲的内容呢

就是可能所谓技术性方面多一些

那么可能有的朋友不能一下子看明白

如果有兴趣的话可以慢慢地琢磨

这个实际上是不难的

不过呢

一下子一大堆符号压上来呢

似乎好像很吓人

但实际上这个道理是很简单的

如果你没有兴趣来研究这些符号

那么刚才已经说过了

你要知道我们在做什么

这个公理系统运转的时候

大概是个怎么回事

这个要搞清楚

那么关于公理系统

还有一些内容呢

我们在下一讲再说

这一讲就到这里