当前课程知识点：逻辑学概论 > 第五讲 复合命题的推理： 命题联结词的充足集 > 5.7 命题联结词的独元充足集 > Video
前面我们已经了解了
所谓命题联结词的充足集
我们看到就是正如我们十进制的
是表达自然数的充足集
二进制的也是充足集
那么同样我们在这里
否定 合取 析取是充足集
合取和析取可以去掉一个
否定 合取也是充足集
否定 析取也是充足集
另外我们还有一种花样
就是说否定 蕴涵
它也是充足集
那么下面我们继续地来
也可能是要钻牛角尖
我们说十进制到八进制
八进制又到二进制
两个就够了
我们现在问
能不能再少一些 二进制
一进制可以吗
大家说一进制一定是不行的
不一定
一进制可不可以
一进制应该说可以的
你看汉字一怎么写
一
二呢
再加一横
三呢
再加一横
四呢
古代的汉字有写四横的
现在没有了
那么从这里可以看到
这似乎是可行的
我们知道有一个
大家都知道一个笑话
小孩学校里边上学
一 画一杠
二 画一杠
三 画一杠
知道了知道了
回家爸爸让他写封信
写给姓万的人
哎呀写不完
他为什么要姓万
我这写不完
但是我们说这个万
并不是写不完
你在一分钟之内可能是写不完
你时间要长一些
万是可以写完的
是可以写出来的
所以一进制对于这个自然数来说
是可以的
它当然 一进制不能代表0
你什么也不写不行
但是你从1开始
理论上是可以的
一万你就写一万笔
一万条杠
三万五千你就写三万五千条杠
是可以的
理论上是可以的
但是非常不方便
方便不方便是另外一回事情
能不能够成立又是一回事情
所以一进制可不可以成立呢
一进制是可以成立的
就是作为字码来说
表达除了0以外的自然数
传统数学里边自然数
从1算起
现代数学里边自然数从0算起
那么我们说从1开始的自然数
你不怕麻烦的话
用一进制理论上是可以的
二进制可以
一进制也是可以的
不过很不实用
我们不会用它
但是理论上是存在的
那么我们来看命题联结词
刚才说三个已经减到两个了
一个行不行
大家说一个恐怕不行
我告诉大家一个是行的
一个 谁呢 大家马上想到一定是否定
否定不行
为什么
否定它是个一元联结词
一元联结词它要处理两个东西
它没法处理
反过来二元联结词
它倒可以处理一元的
可以处理三元的
因为二元联结词要处理一元的东西
它两个东西
它两个输入端
你采用同一个信号就可以了
那么你二元的要处理三元的呢
你两个两个来处理就是了
三元四元你一个一个加上去处理
就可以了
所以它至少得是个二元的
那么什么样的命题联结词
是可以做一元的充足集的
那么就是我们现在看到的
这个符号
向下的一个箭头
那么它
我们看它的真值表
它的真值表是这样的
两个都真的时候是假的
一真是假是假的
一假一真是假的
两个都假是真的
这个很奇怪
自然语言里边有哪一个词
跟它一样的呢
没有
自然语言里边没有跟它对应的东西
但是我们会发现
它是假假假真
跟什么东西正好相反呢
跟那个析取正好相反
析取是真真真假
所以它是析取的否定
析取的否定呢
所以给它一个名字
就是析取是或者
或者是or
or前面加上一个表示否定的
一个前缀n
就是nor
这个nor就是or的否定
那么中文就翻译成或非
就是或者的否定叫或非
那么好
这个或非它的真值表是这样的
我们说或非 我们想要证明
它是一个能够表达所有
命题联结词的充足集
怎么来证明呢
很好证明
因为我们前面已经有根据了
我们前面已经知道了
否定 合取 析取是充足集
否定 合取是充足集
否定 析取是充足集
否定 蕴涵是充足集
所以你只要说
你能够独立地经过有限次的
重复和组合
你能够只用这一个命题联结词
你能够把否定表达出来
然后合取 析取 蕴涵这三个里边
你只要能表达一个
那我们就可以承认
你是充足集了
是不是
是这样的吧
因为你 否定合取 否定析取
否定蕴涵
都是充足集
所以你先得有一个否定
你一定要能够把否定表达出来
然后你合取 析取 蕴涵
这三个表达任何一个都可以
所以我们看看
它能不能独立地来表达否定
表达合取
表达析取
我们看
A或非A
那么你看因为A真假两种情况
这个跟这是一样的
它两个都真是假的
两个都假是真的
所以你看真的
因为它本来是一个二元的东西
它是个二元的命题联结词
你现在处理一个对象
你处理一个对象可以啊
一个对象你两边都有同一个对象就是了
所以虽然这里有两个
但是你这个真值表你写两行就够了
因为这里只有一个命题变元
只有一个A
你看这个当它是真的时候它是假的
它是假的时候它是真的
那么这个恰恰跟否定是一样的
所以我们看到
这个或非可以独立地表达否定
好 我们再看
A或非A
或非 B或非B
那么这里有A和B两个了
所以（A B）是有 真真 真假
假真 假假
这一列和这一列是一样的
这一列和这一列是一样的
然后我们来做或非
真真是假
真真假
假假真
假假真
然后真真假
假假真
真真假
假假真
然后这一列和这一列来作或非
我们看
假假真
假真假
因为它只有两个假才是真的
其余都是假的
真假假
真真假
你看真假假假
好 这就跟（A B）真真 真假
假真 假假
这个合取是完全一样的
真假假假
真假假假
好 我们已经证明了
它可以独立地表达刚才的否定
还可以独立地表达合取
实际上我们证明到这里
就可以结束了
但是我们把它怎么表达析取
也给大家展示一下
它表达析取是这样的
A或非B
或非 A或非B
我们作它的真值表
大家可以自己慢慢地看
那么它最后得到真真真假
和这个析取真真真假
是完全一样的
所以它可以表达合取
可以表达析取
可以表达否定
表达蕴涵也可以的
要长一些 我们在这里就不写了
那么在这里我们已经可以证明了
因为我们已经证明
否定 合取 析取是充足集
那么你既然它自己独立地
经过有限次的重复和组合
可以表达否定
可以表达合取
可以表达析取
所以我们可以证明或非
是命题联结词的充足集
这是很奇妙的结果
我们说2的2的n次方
那么多个不同的
命题联结词
居然用一个就可以表达了
而且这个或非
是析取的否定
大家可能会想到
合取的否定是不是也有这种功能
是的
合取的否定也有这种功能
我们看它的这个符号
这个叫做与非
我们看它的真值表
它是假真真真
我们知道合取是真假假假
它和合取相反
合取是与是并且
所以它是and
前面加上一个表示否定的前缀n
就变成nand这么一个词
那么nand我们翻译成与非
与的合取的这个否定
与非
那么它的真值表是这样的
那么它和或非一样
也可以用来独当一面的
表达否定 合取 析取
我们来看是这样的
实际上呢
跟或非是非常近似的
这个跟或非一样
它这个和这个值
然后呢
刚才是这个式子和这个等值
这个式子和这个等值
它现在是A与非B
与非 A与非B
跟这个A合取B等值
那么这个和这个等值
那么这个等值怎么见得
作真值表
我们这里就不作了
有兴趣的你可以
按照前面的真值表
你把这个这个作一个真值表
你会发现是一样的
这个和这个作真值表以后发现
这两个是一样的
这个和这个是一样的
因此我们证明
因为已经知道否定合取析取
就跟刚才一样的
这是充足集
那么因为有这些个等值
其实这两个只要有一个就够了
那么我们知道
我们可以证明与非
也是命题联结词的充足集
那么这两个符号
一个或非
一个与非
那么称为Sheffer stroke
或者是Sheffer bar
翻译成就是谢弗尔竖
谢弗尔是发现这两个符号的人
这两个符号呢
它是命题联结词的单元素充足集
也就是说否定 合取 析取
是充足集
否定 合取充足集
否定 析取充足集
否定 蕴涵也是充足集
但是它们有两个或者三个元素
但是这个充足集呢
它这个集合里边只有一个元素
这个集合里边只有一个元素
所以是叫做命题联结词的
单元素充足集
或者叫做独元充足集
就是独立一个元素的充足集
这是非常奇妙的结果
就是一个命题联结词
它可以独当一面
表达所有的命题联结词
而且还有两种方案
那么这个呢
在开关电路中呢
也有具体的运用
因为我们说一个叫做或非
一个叫做与非
在数字电路中呢
它们就有或非门
也有与非门
那么或非门和与非门
它的功用就是说
我只要有一种开关就行了
我只要有一种与非门就行了
我不需要什么或门与门非门
我只要有一种或非门
那么所有的你这个灯
不管有多少个
你只有亮不亮两种情况
开关不管有多少个
只有开不开两种情况
不管有多少个 有多么复杂
你有多少个灯 多少开关
不管有多么复杂
你用或非门一种
或者你用与非门一种就足够了
当然它的代价是或非门
肯定要用很多
与非门肯定要用很多
但是从品种来说
它只需要一种就可以了
这个仓库里边
它只要有一种零件
很多很多就可以了
它不需要这一种多少
那种多少
所以也有它的用处
所以我们数理逻辑里边
我们的充足集
你可以用一个的可以用两个
可以用三个
你也可以多用一些
用六七个也可以
你三个已经够了
我多用一些也可以
你二进制本来够了
我用十进制当然也可以
那么数字电路 开关电路里边也是
你用或门 与门 非门三种也可以
你就用或非门也行
你就用与非门也行
好 我们这一讲呢
说了两个问题
一个是范式
一个是命题联结词的充足集
这一讲就到这里
-1.1 “逻辑"和逻辑学
--默认
-1.2 推理和推理形式
-1.3 有效推理形式
-1.4 逻辑学的特点
-1.5 逻辑学的基本准则
-1.6 逻辑学和其他学科的关系
-1.7 关于本课程《逻辑学概论》
-第一章作业
-2.1 中国古代逻辑思想（上）
--默认
-2.2 中国古代逻辑思想（中）
--逻辑学02-2
-2.3 中国古代逻辑思想（下）
--逻辑学02-3
-2.4 印度古代逻辑
--逻辑学20-4
-2.5 古希腊和中世纪逻辑
--逻辑学02-5
-2.6 近代西方逻辑
--逻辑学02-6
-2.7 数理逻辑的提出和实现
--逻辑学02-7
-2.8 数理逻辑的发展
--逻辑学02-8
-第二章作业
-3.1 推理和命题
--默认
-3.2 基本命题和复合命题
--默认
-3.3 常用命题联结词及其基本推理形式（1）
--默认
-3.4 常用命题联结词及其基本推理形式（2）
--默认
-3.5 常用命题联结词及其基本推理形式（3）
--默认
-3.6 常用命题联结词及其基本推理形式（4）
--逻辑学03-6
-3.7 常用命题联结词及其基本推理形式（5）
--逻辑学03-7
-3.8 常用命题联结词及其基本推理形式（6）
--逻辑学03-8
-3.9 常用命题联结词及其基本推理形式（7）
--逻辑学03-9
-第三章作业
-4.1 重言式、矛盾式和可满足式
--默认
-4.2 具体推理转换为推理形式
--默认
-4.3 推理形式转换为复合命题形式
--默认
-4.4 有效推理形式的判定：真值表法
--默认
-4.5 有效推理形式的判定：归谬赋值法
--默认
-第四章作业
-5.1 命题联结词：真值函数
--默认
-5.2 析取范式
--默认
-5.3 为复合命题形式作与之等值的析取范式
--默认
-5.4 合取范式
--默认
-5.5 范式存在定理
--Video
-5.6 命题联结词的充足集
--Video
-5.7 命题联结词的独元充足集
--Video
-第五章作业
-6.1 公理系统的构成
--Video
-6.2 命题演算的公理系统 L
--Video
-6.3 命题演算公理系统 L 中的证明
--Video
-6.4 命题演算公理系统 L 中的证明（续）
--Video
-6.5 命题演算公理系统 L 中的推演
--Video
-第六章作业
-7.1 公理系统出发点的延伸
--逻辑学07-1
-7.2 公理系统的评价
--逻辑学07-2
-7.3 公理系统的性质和评价及其意义
--逻辑学07-3
-7.4 命题演算的自然演绎系统
--逻辑学07-4
-7.5 命题演算自然演绎系统中的证明和推演
--逻辑学07-5
-第七章作业
-8.1 基本命题的结构
-8.2 词项的内涵和外延
-8.3 词项的种类
-8.4 词项间的关系
-8.5 词项的定义
-8.6 词项的划分
-8.7 谓词的分类
-8.8 量词
--8.8 量词
-8.9 联词
--8.9 联词
-第八章作业
-9.1 基本命题的推理
--Video
-9.2 传统逻辑对基本命题的分析
--Video
-9.3 性质命题中主、谓词的周延
--Video
-9.4 命题变形的推理
--Video
-9.5 根据对当关系的推理
--Video
-9.6 三段论
--Video
-9.7 三段论的式与格
--Video
-9.8 有效三段论的判定
--Video
-第九章作业
-10.1 性质命题
-10.2 主词非空的预设
-10.3 关系命题的结构
-10.4 关系命题根据量词的推理
-10.5 关系命题根据谓词性质的推理方法
-10.6 谓词演算简介
-第十章作业
-11.1 非经典（非标准）逻辑
-11.2 多值逻辑
-11.3 模糊逻辑
-11.4 模态逻辑
-11.5 规范逻辑
-11.6 时态逻辑
-11.7 弗协调逻辑
-第十一章作业
-12.1 演绎和归纳
--逻辑学12-1
-12.2 探求因果关系的逻辑方法
--逻辑学12-2
-12.3 证论和反驳
--逻辑学12-3
-12.4 悖论
--逻辑学12-4
-12.5 本课程《逻辑学概论》内容回顾
--逻辑学12-5
-第十二章作业
