当前课程知识点：逻辑学概论 > 第六讲 命题演算：公理系统 > 6.4 命题演算公理系统 L 中的证明（续） > Video
好 下面我们继续地来看
命题演算 公理系统L中的证明
我们再来看新的例子
下面我们要证的是 非p{\fs10}1{\r}蕴涵 p{\fs10}1{\r}
蕴涵p{\fs10}2{\r}
我们要证的是这个式子
我们要想把它作为我们的定理证出来
那么跟刚才一样每一步我写出来
而且把每一步的根据
打在上边
第一步 我是什么呢
我是用第一条公理模式
是 A蕴涵 B蕴涵A
我现在 非p{\fs10}1{\r}是A
非p{\fs10}2{\r}是B
下边第二
我用的是第三条公理模式
非A蕴涵非B ……
我现在是把p{\fs10}2{\r}作为A
把p{\fs10}1{\r}作为B
非p{\fs10}2{\r}蕴涵非p{\fs10}1{\r} 蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}
这是符合第三条公理模式的
是这样
好 那么我们仔细观察
我们现在的这几个式子
我们会发现
我们想要证明的是
非p{\fs10}1{\r}蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}
而现在出现的是什么式子呢
第一个式子是 非p{\fs10}1{\r}蕴涵 非p{\fs10}2{\r}蕴涵非p{\fs10}1{\r}
这个式子是 非p{\fs10}2{\r}蕴涵非p{\fs10}1{\r}
蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}
那是怎么回事呢
这个就是这个
而这个就是这个
我们还记得
我们在第三章里边
有所谓蕴涵连锁
A蕴涵B
B蕴涵C
我就可以说A蕴涵C
是这样的吧
一考试就紧张
一紧张就考砸
所以一考试就考砸
这是没有问题的
所以我们这里呢
恰好碰到这样的情况
A蕴涵B B蕴涵C
我要的是A蕴涵C
那么下面我就可以直接地
把这个要证明的东西就得到了
你看这个A蕴涵B
B蕴涵C
我现在直接就是根据蕴涵的连锁
我A蕴涵C
好了 我 非p{\fs10}1{\r}蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}
你看就是这个
我现在证明了
大家看这个证明怎么样呢
似乎很巧妙
但是大家一定想到了
你这儿的理由是什么
你这儿理由是什么
我理由是什么
我理由是蕴涵连锁
这个地方能不能写蕴涵连锁
不行
因为我们说过
L系统里边
公理系统里边
你只允许写
这里的理由只有四个理由
L1 L2 L3 MP
只有这四个理由 除了这个以外
其他理由我们是一概不认的
我们虽然知道它是对的
但是我们是不认的
就好像你比如说
各个单位各个学校
它自己有自己的规则
有一件事情
在另外一个学校他们有规则
如果这样的话就要怎么怎么处罚
这个道理呢
对于我们来说也是适用的
但是我们学校并没有这一条规则
所以在这个学校里边
如果你出现了这个
那你说人家有这条规则
所以我们也要按人家的规则来罚
这是不行的
你必须按照本校的规则
你自己这个学校没有这条规则
你就不能罚
如果你要罚你先定这条规则
所以这个道理是一样的
在这里因为我们L系统里边
没有蕴涵连锁
所以任何直观的东西
在这里是不允许的
任何显然的东西在这里是不允许的
所有的东西它必须原原本本地
按照三条公理模式
和一个推演规则来进行
所以很遗憾
这个第三步不成立
我们还是得老老实实地回到
刚才的第二步
我们回到这儿来
那么下边
能不能证出来呢
能证出来
但是步骤要复杂一些
下面我们来 第三步是这样的
我们先看它是一个什么呢
第一条是 A蕴涵 B蕴涵A
怎么会这么长呢
因为这里是A
这里也是A
这个是B
所以我现在是 A蕴涵 B蕴涵A
A怎么那么长呢
A是任意合式公式
我再长都可以
只要它符合形成规则
它是符合形成规则的
A蕴涵 B蕴涵A
所以我们第三步是这样
那么下边呢
我们注意到
就是第三步呢
它是这个
当然它是A蕴涵 B蕴涵A
但是我们也可以把它看成
是这个蕴涵这个
所以我们可以把这个看成A
这个看成B
而这个恰恰
A恰恰是第二步
所以我们可以 你看
A蕴涵B 和 A
那么我们就可以用分离规则了
下面我们就直接得到
下面这一行
也就是得到这个
所以我现在是用分离规则
第三步A蕴涵B
和第二步A
A 和 A蕴涵B
我现在得到B
所以第四步我得到了这样的一个式子
那么下面第五步
第五步我要用第二条公理模式
第二条公理模式是最长的
A蕴涵 B蕴涵C
蕴涵 A蕴涵B
蕴涵 A蕴涵C
这个大家可以慢慢仔细地看
我们现在先这么说过去
那么这是第二条公理模式
这是符合第二条公理模式的
那么我们再看
第五步呢
实际上是可以看成这个蕴涵这个
而这个呢
恰恰又是第四步
所以大家可以想到的
下面一定可以用分离规则
就是 A蕴涵B 和 A
我下面可以得到这一行
那么确实是这样
那么第六步呢 我们看到
就是刚才已经说了
就是第五步看成是A蕴涵B
那么第四步恰好是那个A
那我们就得到了
就是第五步的后半截
那么就是作为我们第六步的
得到的合式公式
所以这里用分离规则
第五步和第四步得到的
那么我们下面再继续观察
就是第六步 现在这个合式公式
是个什么东西呢
它是可以是
我们看成是A蕴涵B
那么这个A呢
非p{\fs10}1{\r}蕴涵 非p{\fs10}2{\r}蕴涵非p{\fs10}1{\r} 呢
恰恰是第一步我们就一直放在这的
一直没有用
在这里正好可以用上
它是A
它是A蕴涵B
那么这个B是什么东西呢
B是 非p{\fs10}1{\r}蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}
恰恰是我们所要证的结果
所以下一步呢
这个结果就出来了
那么也就是我们用分离规则
第六步看成是A蕴涵B
第一步看成A
那么 A 和 A蕴涵B
我们就得到了B
非p{\fs10}1{\r}蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}
好 那么 非p{\fs10}1{\r}蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}
好像很简单的一个合式公式
一个定理
我们现在用了七步
而且我们动用了所有的理由
也就是说L1 L2 L3
分离规则 我们都用到了
那么我们说所有的步骤
必须用就是你要说出理由的话
理由只有L1 L2 L3
和分离规则MP
只有这几条
那么关于L系统里边的这个证明
我们就举这几个例子
刚才前面我们也已经说过了
就是对于大家来说
对于大家非逻辑专业的朋友们来说
只要能够看明白就可以了
怎么去找这个证明的路子
这是要经过专门的训练
我们可以不必去管它
正如我们看球
我们只要看到这个运动员
这个球投得很漂亮
我们看明白看清楚就可以了
我们也要做到他那样的水平
那个是要花太大的功夫
那么也可能
有的朋友可能不能做到每一步
都能看清楚
那么我前面已经说过了
你一定要知道我们在干什么
我们所谓公理系统里边的证明
我们是要从公理出发
每一步严格地按照我们的规则
来得到我们所想得到的这些东西
好 关于证明呢
我们先说到这里
-1.1 “逻辑"和逻辑学
--默认
-1.2 推理和推理形式
-1.3 有效推理形式
-1.4 逻辑学的特点
-1.5 逻辑学的基本准则
-1.6 逻辑学和其他学科的关系
-1.7 关于本课程《逻辑学概论》
-第一章作业
-2.1 中国古代逻辑思想（上）
--默认
-2.2 中国古代逻辑思想（中）
--逻辑学02-2
-2.3 中国古代逻辑思想（下）
--逻辑学02-3
-2.4 印度古代逻辑
--逻辑学20-4
-2.5 古希腊和中世纪逻辑
--逻辑学02-5
-2.6 近代西方逻辑
--逻辑学02-6
-2.7 数理逻辑的提出和实现
--逻辑学02-7
-2.8 数理逻辑的发展
--逻辑学02-8
-第二章作业
-3.1 推理和命题
--默认
-3.2 基本命题和复合命题
--默认
-3.3 常用命题联结词及其基本推理形式（1）
--默认
-3.4 常用命题联结词及其基本推理形式（2）
--默认
-3.5 常用命题联结词及其基本推理形式（3）
--默认
-3.6 常用命题联结词及其基本推理形式（4）
--逻辑学03-6
-3.7 常用命题联结词及其基本推理形式（5）
--逻辑学03-7
-3.8 常用命题联结词及其基本推理形式（6）
--逻辑学03-8
-3.9 常用命题联结词及其基本推理形式（7）
--逻辑学03-9
-第三章作业
-4.1 重言式、矛盾式和可满足式
--默认
-4.2 具体推理转换为推理形式
--默认
-4.3 推理形式转换为复合命题形式
--默认
-4.4 有效推理形式的判定：真值表法
--默认
-4.5 有效推理形式的判定：归谬赋值法
--默认
-第四章作业
-5.1 命题联结词：真值函数
--默认
-5.2 析取范式
--默认
-5.3 为复合命题形式作与之等值的析取范式
--默认
-5.4 合取范式
--默认
-5.5 范式存在定理
--Video
-5.6 命题联结词的充足集
--Video
-5.7 命题联结词的独元充足集
--Video
-第五章作业
-6.1 公理系统的构成
--Video
-6.2 命题演算的公理系统 L
--Video
-6.3 命题演算公理系统 L 中的证明
--Video
-6.4 命题演算公理系统 L 中的证明（续）
--Video
-6.5 命题演算公理系统 L 中的推演
--Video
-第六章作业
-7.1 公理系统出发点的延伸
--逻辑学07-1
-7.2 公理系统的评价
--逻辑学07-2
-7.3 公理系统的性质和评价及其意义
--逻辑学07-3
-7.4 命题演算的自然演绎系统
--逻辑学07-4
-7.5 命题演算自然演绎系统中的证明和推演
--逻辑学07-5
-第七章作业
-8.1 基本命题的结构
-8.2 词项的内涵和外延
-8.3 词项的种类
-8.4 词项间的关系
-8.5 词项的定义
-8.6 词项的划分
-8.7 谓词的分类
-8.8 量词
--8.8 量词
-8.9 联词
--8.9 联词
-第八章作业
-9.1 基本命题的推理
--Video
-9.2 传统逻辑对基本命题的分析
--Video
-9.3 性质命题中主、谓词的周延
--Video
-9.4 命题变形的推理
--Video
-9.5 根据对当关系的推理
--Video
-9.6 三段论
--Video
-9.7 三段论的式与格
--Video
-9.8 有效三段论的判定
--Video
-第九章作业
-10.1 性质命题
-10.2 主词非空的预设
-10.3 关系命题的结构
-10.4 关系命题根据量词的推理
-10.5 关系命题根据谓词性质的推理方法
-10.6 谓词演算简介
-第十章作业
-11.1 非经典（非标准）逻辑
-11.2 多值逻辑
-11.3 模糊逻辑
-11.4 模态逻辑
-11.5 规范逻辑
-11.6 时态逻辑
-11.7 弗协调逻辑
-第十一章作业
-12.1 演绎和归纳
--逻辑学12-1
-12.2 探求因果关系的逻辑方法
--逻辑学12-2
-12.3 证论和反驳
--逻辑学12-3
-12.4 悖论
--逻辑学12-4
-12.5 本课程《逻辑学概论》内容回顾
--逻辑学12-5
-第十二章作业
