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好 下面我们继续地来看

命题演算 公理系统L中的证明

我们再来看新的例子

下面我们要证的是 非p{\fs10}1{\r}蕴涵 p{\fs10}1{\r}

蕴涵p{\fs10}2{\r}

我们要证的是这个式子

我们要想把它作为我们的定理证出来

那么跟刚才一样每一步我写出来

而且把每一步的根据

打在上边

第一步 我是什么呢

我是用第一条公理模式

是 A蕴涵 B蕴涵A

我现在 非p{\fs10}1{\r}是A

非p{\fs10}2{\r}是B

下边第二

我用的是第三条公理模式

非A蕴涵非B ……

我现在是把p{\fs10}2{\r}作为A

把p{\fs10}1{\r}作为B

非p{\fs10}2{\r}蕴涵非p{\fs10}1{\r} 蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

这是符合第三条公理模式的

是这样

好 那么我们仔细观察

我们现在的这几个式子

我们会发现

我们想要证明的是

非p{\fs10}1{\r}蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

而现在出现的是什么式子呢

第一个式子是 非p{\fs10}1{\r}蕴涵 非p{\fs10}2{\r}蕴涵非p{\fs10}1{\r}

这个式子是 非p{\fs10}2{\r}蕴涵非p{\fs10}1{\r}

蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

那是怎么回事呢

这个就是这个

而这个就是这个

我们还记得

我们在第三章里边

有所谓蕴涵连锁

A蕴涵B

B蕴涵C

我就可以说A蕴涵C

是这样的吧

一考试就紧张

一紧张就考砸

所以一考试就考砸

这是没有问题的

所以我们这里呢

恰好碰到这样的情况

A蕴涵B B蕴涵C

我要的是A蕴涵C

那么下面我就可以直接地

把这个要证明的东西就得到了

你看这个A蕴涵B

B蕴涵C

我现在直接就是根据蕴涵的连锁

我A蕴涵C

好了 我 非p{\fs10}1{\r}蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

你看就是这个

我现在证明了

大家看这个证明怎么样呢

似乎很巧妙

但是大家一定想到了

你这儿的理由是什么

你这儿理由是什么

我理由是什么

我理由是蕴涵连锁

这个地方能不能写蕴涵连锁

不行

因为我们说过

L系统里边

公理系统里边

你只允许写

这里的理由只有四个理由

L1 L2 L3 MP

只有这四个理由 除了这个以外

其他理由我们是一概不认的

我们虽然知道它是对的

但是我们是不认的

就好像你比如说

各个单位各个学校

它自己有自己的规则

有一件事情

在另外一个学校他们有规则

如果这样的话就要怎么怎么处罚

这个道理呢

对于我们来说也是适用的

但是我们学校并没有这一条规则

所以在这个学校里边

如果你出现了这个

那你说人家有这条规则

所以我们也要按人家的规则来罚

这是不行的

你必须按照本校的规则

你自己这个学校没有这条规则

你就不能罚

如果你要罚你先定这条规则

所以这个道理是一样的

在这里因为我们L系统里边

没有蕴涵连锁

所以任何直观的东西

在这里是不允许的

任何显然的东西在这里是不允许的

所有的东西它必须原原本本地

按照三条公理模式

和一个推演规则来进行

所以很遗憾

这个第三步不成立

我们还是得老老实实地回到

刚才的第二步

我们回到这儿来

那么下边

能不能证出来呢

能证出来

但是步骤要复杂一些

下面我们来 第三步是这样的

我们先看它是一个什么呢

第一条是 A蕴涵 B蕴涵A

怎么会这么长呢

因为这里是A

这里也是A

这个是B

所以我现在是 A蕴涵 B蕴涵A

A怎么那么长呢

A是任意合式公式

我再长都可以

只要它符合形成规则

它是符合形成规则的

A蕴涵 B蕴涵A

所以我们第三步是这样

那么下边呢

我们注意到

就是第三步呢

它是这个

当然它是A蕴涵 B蕴涵A

但是我们也可以把它看成

是这个蕴涵这个

所以我们可以把这个看成A

这个看成B

而这个恰恰

A恰恰是第二步

所以我们可以 你看

A蕴涵B 和 A

那么我们就可以用分离规则了

下面我们就直接得到

下面这一行

也就是得到这个

所以我现在是用分离规则

第三步A蕴涵B

和第二步A

A 和 A蕴涵B

我现在得到B

所以第四步我得到了这样的一个式子

那么下面第五步

第五步我要用第二条公理模式

第二条公理模式是最长的

A蕴涵 B蕴涵C

蕴涵 A蕴涵B

蕴涵 A蕴涵C

这个大家可以慢慢仔细地看

我们现在先这么说过去

那么这是第二条公理模式

这是符合第二条公理模式的

那么我们再看

第五步呢

实际上是可以看成这个蕴涵这个

而这个呢

恰恰又是第四步

所以大家可以想到的

下面一定可以用分离规则

就是 A蕴涵B 和 A

我下面可以得到这一行

那么确实是这样

那么第六步呢 我们看到

就是刚才已经说了

就是第五步看成是A蕴涵B

那么第四步恰好是那个A

那我们就得到了

就是第五步的后半截

那么就是作为我们第六步的

得到的合式公式

所以这里用分离规则

第五步和第四步得到的

那么我们下面再继续观察

就是第六步 现在这个合式公式

是个什么东西呢

它是可以是

我们看成是A蕴涵B

那么这个A呢

非p{\fs10}1{\r}蕴涵 非p{\fs10}2{\r}蕴涵非p{\fs10}1{\r} 呢

恰恰是第一步我们就一直放在这的

一直没有用

在这里正好可以用上

它是A

它是A蕴涵B

那么这个B是什么东西呢

B是 非p{\fs10}1{\r}蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

恰恰是我们所要证的结果

所以下一步呢

这个结果就出来了

那么也就是我们用分离规则

第六步看成是A蕴涵B

第一步看成A

那么 A 和 A蕴涵B

我们就得到了B

非p{\fs10}1{\r}蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

好 那么 非p{\fs10}1{\r}蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

好像很简单的一个合式公式

一个定理

我们现在用了七步

而且我们动用了所有的理由

也就是说L1 L2 L3

分离规则 我们都用到了

那么我们说所有的步骤

必须用就是你要说出理由的话

理由只有L1 L2 L3

和分离规则MP

只有这几条

那么关于L系统里边的这个证明

我们就举这几个例子

刚才前面我们也已经说过了

就是对于大家来说

对于大家非逻辑专业的朋友们来说

只要能够看明白就可以了

怎么去找这个证明的路子

这是要经过专门的训练

我们可以不必去管它

正如我们看球

我们只要看到这个运动员

这个球投得很漂亮

我们看明白看清楚就可以了

我们也要做到他那样的水平

那个是要花太大的功夫

那么也可能

有的朋友可能不能做到每一步

都能看清楚

那么我前面已经说过了

你一定要知道我们在干什么

我们所谓公理系统里边的证明

我们是要从公理出发

每一步严格地按照我们的规则

来得到我们所想得到的这些东西

好 关于证明呢

我们先说到这里