当前课程知识点：逻辑学概论 > 第六讲 命题演算：公理系统 > 6.3 命题演算公理系统 L 中的证明 > Video
前面我们已经知道了
命题演算公理系统L
它的组成部分
特别是已经知道了它的公理模式
和它的推演规则
那么这个命题演算的公理系统
它是怎么运转的
怎么运作的
怎么操作呢
首先L中的证明
我们知道定理是怎么来的
它是通过公理来证明的
那么这个证明
L中的证明
是怎么样的呢
它有严格的定义
L中的证明是这样的
就是它是L的合式公式序列
也就是L中的证明
它是一个一个一个合式公式
但是 不是随随便便的合式公式
它每一个合式公式呢
它要满足下列两个条件之一
第一 它可以是L的公理
公理不是公理模式
就是根据那个公理模式
所得到的具体的公理
你可以写在那个上边
写在这个合式公式序列里边
作为某一个合式公式
作为某一个步骤
第二 由在先的两个合式公式
用分离规则MP
就是刚才说的分离规则
从 A蕴涵B 和A
可以得到B
由在先的两个合式公式
由分离规则得出
那么这样的一个合式公式序列
一步一步一步的
每一步都符合这两条之一
那么这样的一个合式公式的序列
就叫做一个证明
那么它的最后一步
就是称为L中的定理
那下面我们举一个简单的例子
那么因为L1 L2 L3 分离规则
这个L系统呢
它所有的证明的步骤呢
我们刚才看到证明的步骤呢
它必须是符合什么呢
或者是公理
公理有三条
然后用分离规则得到
也就是说它只有四个
就是说只有四个是允许的
只有四种情况是允许的
也就是说你或者是三条公理模式之一
符合三条公理模式之一
或者是用分离规则得到
因为一开始大家还记不住
刚才的那个第一条公理模式怎么样
第二条公理模式怎么样
第三条公理模式怎么样
那大家还记不住
所以下面我们在做
证明的例子的时候呢
我们把相关的公理模式
或者是推演规则呢
我们把它放在最上面
让大家来参考
实际上做的时候是不需要写在上面的
我们另外手头另外有一个看着
那个就可以了
下面我们看一个简单的例子
那么是这样的
我们看这就是一个证明
它是一个合式公式的序列
这是合式公式
这是合式公式
而且它不是随随便便的合式公式
它是符合三条公理之一
或者是符合分离规则
那么我们看这里的每一步
它用的是哪一个
它用的是哪一条公理模式
或者是哪两步用分离规则得到的
我们在这里都要严格地标明
因为一开始大家还记不住
L1是怎么回事
L2怎么回事
分离规则怎么回事
所以我们把相关的放在这个上面
给大家参考
好 第一个
它是什么呢
A蕴涵 B蕴涵A
很明显
它是符合第一条公理模式的
第二个是什么呢
是 A蕴涵 B蕴涵C ……
A是p{\fs10}1{\r}
C为什么也可以是p{\fs10}1{\r}
因为这里是前面说得很清楚
ABC是任意合式公式
它没有说ABC是任意不同的合式公式
那所以我们说过公理系统里边
所有的东西都要给出
没有给出的东西是不许用的
没有说过必须是不同的
那你就可以用相同的
A蕴涵 B蕴涵C
蕴涵 A蕴涵B 蕴涵 A蕴涵C
我们看到这一步是符合
第二个公理模式的
然后第三我们看到
第二步是这样的
我们可以分成两部分
第二步它中间是一个蕴涵
前面是一部分
后面是一部分
也就是说我们可以把它看成
A蕴涵B
而这个A恰恰又是第一步
那么我们现在可以用分离规则了
这是A蕴涵B
而这个是A
那么我现在 A 和 A蕴涵B
我就可以得到B
所以我就可以得到后面那个东西
后面那个东西放在这里
我现在是根据什么呢
我是用分离规则得到的
哪两步用分离规则呢
我是第二步和第一步
就是这一步和这一步
用分离规则得到的
那么到这里为止我们看到
这就是一个证明
最后一条就是定理
p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}
蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}
直观上我们想像不出
它到底说的是什么
但是我们可以来证明
就是说它确实是重言式
很简单
如果它是假的
前真后假
如果它是假的 前真后假
你p{\fs10}1{\r}自己对自己怎么能前真假
所以它一定不是假的
它一定是一个重言式
那么当然我们只是在这里呢
就是让大家放心
这是一个重言式
但是就这个系统本身来说
是无所谓什么重言式不重言式的
应该说我们在这一章里边
没有重言式的概念
没有真和假的概念
所谓重言式
所谓真和假
那是在第四章里边
我们判定有效推理形式的时候所用的
那个叫做语义
根据它的意义真和假
而在这一章里边
公理系统它是所谓语形的方法
完全是靠形状的变化
比如说我们说
刚才那个四条
这个系统的那个四条
符号是什么样子的给你看
符号怎么样连接
这个形状是怎么样的
每条公理形状上是什么样的
推演规则形状上是怎么样的
我们给出了所有的
都是从形状上来出发的
所以所有的东西
只是形状的变化
实际上它体现的
是第四章里边的真
第四章里边的重言式
但是就这个本身而言
它是无所谓真
它是无所谓重言式的
请大家一定要注意这一点
也许一开始很难
很难精确地体会
但是大家要注意
这一章是语形
在语形的角度上
而第四章是在语义的角度上
当然我们为什么要有这个语形
为什么要有语义
实际上我们是想让它们贯通的
实际上确实也是贯通的
但是在它本身的操作的时候
是没有语义方面的意义
从它本身来说
是无所谓语义方面的意义的
好 下面我们再来证一个题目
我们要证p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}
我们说在第四章里边
p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}是什么
它是重言式
甚至可以说它是重言式的祖宗
为什么
所有重言式
为什么叫重言式
就是因为它叫重言式
所以其他的永真式才叫重言式的
那么这里还需要证明吗
当然需要证明
我们在这里没有任何直观的
这个“显然” 我们没有“显然”的
所有的定理都要靠那三条公理模式
和一个推演规则证出来
必须这么证明
那么下面我们把这个证明的过程
写出来
那么大家看的时候
也许你一下子领会不了
为什么是这样的
我们要求大家
你可以慢慢地看
你看明白了 是不是这样的
至于怎么会想到这个
那么这个不是我们的任务
我们只要能够看明白就可以了
我们来看
第一步 我是这么一个
这是什么呢
这是A蕴涵B ……
因为我现在用的是第一条公理模式
A蕴涵B ……
我现在的B是p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}
A蕴涵 B蕴涵A 这是第一步
下面第二步
下面第二步呢
我要用第二条公理模式了
是A蕴涵B ……
这个是B
A蕴涵 B蕴涵C
蕴涵 A蕴涵B 蕴涵 A蕴涵C
这是第二条公理模式
第二条公理模式是在这个地方
下边第三
我们注意到
第二步可以看成是A蕴涵B
而这个A呢恰恰是第一步
所以我现在可以用分离规则
用分离规则呢
从这两步我可以得到第三
就是把这个得出来
那我的理由是用分离规则
从第二步和第一步得到的
那我现在到了这一步了
下边第四步
第四步仍然是第一条公理模式
A蕴涵 B蕴涵A
我现在A和B都用p{\fs10}1{\r}
这是没有问题的
好 那么我们又看到
这个就是这个
那么这个是它蕴涵它
那么这个就是它
所以这两个呢
我现在可以用分离规则得到它
p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}
所以p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}我们得到了证明
那么刚才说大家能够看懂
能够看明白就可以了
至于说为什么要这样证明
我怎么来找第一步怎么样
第二步怎么样
那么这个是要花相当的功夫
如果是逻辑专业的学生
那么他要来学习关于怎么样
来在一个系统里边
来证明这些个定理
那么对于我们来说
因为那个要下的功夫太大了
所以对于我们来说呢
我们只要求大家能看明白
就可以了
可能有的朋友对于数学比较头疼的
看这个已经觉得眼花缭乱了
那么也没有关系
你不一定每一步看明白
但是你必须要知道我们在做什么
我们在做的是
按照严格的规则
就是给出的几条公理
给出的推演规则
我们想要得到
我们想要得到的东西
我们想要得到的东西呢
就是第四章里边的那些重言式
第四章里边的重言式
在这里它将会以定理的身份出现
所以这个也是我们以前打过的比方
你看足球运动员
或者篮球运动员
很远的很难的角度
他能把这个球投进去
这个投进去作为专业运动员
他要进行长期的训练
对于我们观众来说
你不需要去学怎么投
你只要能看明白
你只要看明白他这个球从那边进去了
这个球可以得三分
你只要能够看明白这一点就可以了
那我们这里也是
大家能看明白就可以
我们先这个例子举到这里
-1.1 “逻辑"和逻辑学
--默认
-1.2 推理和推理形式
-1.3 有效推理形式
-1.4 逻辑学的特点
-1.5 逻辑学的基本准则
-1.6 逻辑学和其他学科的关系
-1.7 关于本课程《逻辑学概论》
-第一章作业
-2.1 中国古代逻辑思想（上）
--默认
-2.2 中国古代逻辑思想（中）
--逻辑学02-2
-2.3 中国古代逻辑思想（下）
--逻辑学02-3
-2.4 印度古代逻辑
--逻辑学20-4
-2.5 古希腊和中世纪逻辑
--逻辑学02-5
-2.6 近代西方逻辑
--逻辑学02-6
-2.7 数理逻辑的提出和实现
--逻辑学02-7
-2.8 数理逻辑的发展
--逻辑学02-8
-第二章作业
-3.1 推理和命题
--默认
-3.2 基本命题和复合命题
--默认
-3.3 常用命题联结词及其基本推理形式（1）
--默认
-3.4 常用命题联结词及其基本推理形式（2）
--默认
-3.5 常用命题联结词及其基本推理形式（3）
--默认
-3.6 常用命题联结词及其基本推理形式（4）
--逻辑学03-6
-3.7 常用命题联结词及其基本推理形式（5）
--逻辑学03-7
-3.8 常用命题联结词及其基本推理形式（6）
--逻辑学03-8
-3.9 常用命题联结词及其基本推理形式（7）
--逻辑学03-9
-第三章作业
-4.1 重言式、矛盾式和可满足式
--默认
-4.2 具体推理转换为推理形式
--默认
-4.3 推理形式转换为复合命题形式
--默认
-4.4 有效推理形式的判定：真值表法
--默认
-4.5 有效推理形式的判定：归谬赋值法
--默认
-第四章作业
-5.1 命题联结词：真值函数
--默认
-5.2 析取范式
--默认
-5.3 为复合命题形式作与之等值的析取范式
--默认
-5.4 合取范式
--默认
-5.5 范式存在定理
--Video
-5.6 命题联结词的充足集
--Video
-5.7 命题联结词的独元充足集
--Video
-第五章作业
-6.1 公理系统的构成
--Video
-6.2 命题演算的公理系统 L
--Video
-6.3 命题演算公理系统 L 中的证明
--Video
-6.4 命题演算公理系统 L 中的证明（续）
--Video
-6.5 命题演算公理系统 L 中的推演
--Video
-第六章作业
-7.1 公理系统出发点的延伸
--逻辑学07-1
-7.2 公理系统的评价
--逻辑学07-2
-7.3 公理系统的性质和评价及其意义
--逻辑学07-3
-7.4 命题演算的自然演绎系统
--逻辑学07-4
-7.5 命题演算自然演绎系统中的证明和推演
--逻辑学07-5
-第七章作业
-8.1 基本命题的结构
-8.2 词项的内涵和外延
-8.3 词项的种类
-8.4 词项间的关系
-8.5 词项的定义
-8.6 词项的划分
-8.7 谓词的分类
-8.8 量词
--8.8 量词
-8.9 联词
--8.9 联词
-第八章作业
-9.1 基本命题的推理
--Video
-9.2 传统逻辑对基本命题的分析
--Video
-9.3 性质命题中主、谓词的周延
--Video
-9.4 命题变形的推理
--Video
-9.5 根据对当关系的推理
--Video
-9.6 三段论
--Video
-9.7 三段论的式与格
--Video
-9.8 有效三段论的判定
--Video
-第九章作业
-10.1 性质命题
-10.2 主词非空的预设
-10.3 关系命题的结构
-10.4 关系命题根据量词的推理
-10.5 关系命题根据谓词性质的推理方法
-10.6 谓词演算简介
-第十章作业
-11.1 非经典（非标准）逻辑
-11.2 多值逻辑
-11.3 模糊逻辑
-11.4 模态逻辑
-11.5 规范逻辑
-11.6 时态逻辑
-11.7 弗协调逻辑
-第十一章作业
-12.1 演绎和归纳
--逻辑学12-1
-12.2 探求因果关系的逻辑方法
--逻辑学12-2
-12.3 证论和反驳
--逻辑学12-3
-12.4 悖论
--逻辑学12-4
-12.5 本课程《逻辑学概论》内容回顾
--逻辑学12-5
-第十二章作业
