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前面我们已经知道了

命题演算公理系统L

它的组成部分

特别是已经知道了它的公理模式

和它的推演规则

那么这个命题演算的公理系统

它是怎么运转的

怎么运作的

怎么操作呢

首先L中的证明

我们知道定理是怎么来的

它是通过公理来证明的

那么这个证明

L中的证明

是怎么样的呢

它有严格的定义

L中的证明是这样的

就是它是L的合式公式序列

也就是L中的证明

它是一个一个一个合式公式

但是 不是随随便便的合式公式

它每一个合式公式呢

它要满足下列两个条件之一

第一 它可以是L的公理

公理不是公理模式

就是根据那个公理模式

所得到的具体的公理

你可以写在那个上边

写在这个合式公式序列里边

作为某一个合式公式

作为某一个步骤

第二 由在先的两个合式公式

用分离规则MP

就是刚才说的分离规则

从 A蕴涵B 和A

可以得到B

由在先的两个合式公式

由分离规则得出

那么这样的一个合式公式序列

一步一步一步的

每一步都符合这两条之一

那么这样的一个合式公式的序列

就叫做一个证明

那么它的最后一步

就是称为L中的定理

那下面我们举一个简单的例子

那么因为L1 L2 L3 分离规则

这个L系统呢

它所有的证明的步骤呢

我们刚才看到证明的步骤呢

它必须是符合什么呢

或者是公理

公理有三条

然后用分离规则得到

也就是说它只有四个

就是说只有四个是允许的

只有四种情况是允许的

也就是说你或者是三条公理模式之一

符合三条公理模式之一

或者是用分离规则得到

因为一开始大家还记不住

刚才的那个第一条公理模式怎么样

第二条公理模式怎么样

第三条公理模式怎么样

那大家还记不住

所以下面我们在做

证明的例子的时候呢

我们把相关的公理模式

或者是推演规则呢

我们把它放在最上面

让大家来参考

实际上做的时候是不需要写在上面的

我们另外手头另外有一个看着

那个就可以了

下面我们看一个简单的例子

那么是这样的

我们看这就是一个证明

它是一个合式公式的序列

这是合式公式

这是合式公式

而且它不是随随便便的合式公式

它是符合三条公理之一

或者是符合分离规则

那么我们看这里的每一步

它用的是哪一个

它用的是哪一条公理模式

或者是哪两步用分离规则得到的

我们在这里都要严格地标明

因为一开始大家还记不住

L1是怎么回事

L2怎么回事

分离规则怎么回事

所以我们把相关的放在这个上面

给大家参考

好 第一个

它是什么呢

A蕴涵 B蕴涵A

很明显

它是符合第一条公理模式的

第二个是什么呢

是 A蕴涵 B蕴涵C ……

A是p{\fs10}1{\r}

C为什么也可以是p{\fs10}1{\r}

因为这里是前面说得很清楚

ABC是任意合式公式

它没有说ABC是任意不同的合式公式

那所以我们说过公理系统里边

所有的东西都要给出

没有给出的东西是不许用的

没有说过必须是不同的

那你就可以用相同的

A蕴涵 B蕴涵C

蕴涵 A蕴涵B 蕴涵 A蕴涵C

我们看到这一步是符合

第二个公理模式的

然后第三我们看到

第二步是这样的

我们可以分成两部分

第二步它中间是一个蕴涵

前面是一部分

后面是一部分

也就是说我们可以把它看成

A蕴涵B

而这个A恰恰又是第一步

那么我们现在可以用分离规则了

这是A蕴涵B

而这个是A

那么我现在 A 和 A蕴涵B

我就可以得到B

所以我就可以得到后面那个东西

后面那个东西放在这里

我现在是根据什么呢

我是用分离规则得到的

哪两步用分离规则呢

我是第二步和第一步

就是这一步和这一步

用分离规则得到的

那么到这里为止我们看到

这就是一个证明

最后一条就是定理

p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}

直观上我们想像不出

它到底说的是什么

但是我们可以来证明

就是说它确实是重言式

很简单

如果它是假的

前真后假

如果它是假的 前真后假

你p{\fs10}1{\r}自己对自己怎么能前真假

所以它一定不是假的

它一定是一个重言式

那么当然我们只是在这里呢

就是让大家放心

这是一个重言式

但是就这个系统本身来说

是无所谓什么重言式不重言式的

应该说我们在这一章里边

没有重言式的概念

没有真和假的概念

所谓重言式

所谓真和假

那是在第四章里边

我们判定有效推理形式的时候所用的

那个叫做语义

根据它的意义真和假

而在这一章里边

公理系统它是所谓语形的方法

完全是靠形状的变化

比如说我们说

刚才那个四条

这个系统的那个四条

符号是什么样子的给你看

符号怎么样连接

这个形状是怎么样的

每条公理形状上是什么样的

推演规则形状上是怎么样的

我们给出了所有的

都是从形状上来出发的

所以所有的东西

只是形状的变化

实际上它体现的

是第四章里边的真

第四章里边的重言式

但是就这个本身而言

它是无所谓真

它是无所谓重言式的

请大家一定要注意这一点

也许一开始很难

很难精确地体会

但是大家要注意

这一章是语形

在语形的角度上

而第四章是在语义的角度上

当然我们为什么要有这个语形

为什么要有语义

实际上我们是想让它们贯通的

实际上确实也是贯通的

但是在它本身的操作的时候

是没有语义方面的意义

从它本身来说

是无所谓语义方面的意义的

好 下面我们再来证一个题目

我们要证p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}

我们说在第四章里边

p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}是什么

它是重言式

甚至可以说它是重言式的祖宗

为什么

所有重言式

为什么叫重言式

就是因为它叫重言式

所以其他的永真式才叫重言式的

那么这里还需要证明吗

当然需要证明

我们在这里没有任何直观的

这个“显然” 我们没有“显然”的

所有的定理都要靠那三条公理模式

和一个推演规则证出来

必须这么证明

那么下面我们把这个证明的过程

写出来

那么大家看的时候

也许你一下子领会不了

为什么是这样的

我们要求大家

你可以慢慢地看

你看明白了 是不是这样的

至于怎么会想到这个

那么这个不是我们的任务

我们只要能够看明白就可以了

我们来看

第一步 我是这么一个

这是什么呢

这是A蕴涵B ……

因为我现在用的是第一条公理模式

A蕴涵B ……

我现在的B是p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}

A蕴涵 B蕴涵A 这是第一步

下面第二步

下面第二步呢

我要用第二条公理模式了

是A蕴涵B ……

这个是B

A蕴涵 B蕴涵C

蕴涵 A蕴涵B 蕴涵 A蕴涵C

这是第二条公理模式

第二条公理模式是在这个地方

下边第三

我们注意到

第二步可以看成是A蕴涵B

而这个A呢恰恰是第一步

所以我现在可以用分离规则

用分离规则呢

从这两步我可以得到第三

就是把这个得出来

那我的理由是用分离规则

从第二步和第一步得到的

那我现在到了这一步了

下边第四步

第四步仍然是第一条公理模式

A蕴涵 B蕴涵A

我现在A和B都用p{\fs10}1{\r}

这是没有问题的

好 那么我们又看到

这个就是这个

那么这个是它蕴涵它

那么这个就是它

所以这两个呢

我现在可以用分离规则得到它

p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}

所以p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}我们得到了证明

那么刚才说大家能够看懂

能够看明白就可以了

至于说为什么要这样证明

我怎么来找第一步怎么样

第二步怎么样

那么这个是要花相当的功夫

如果是逻辑专业的学生

那么他要来学习关于怎么样

来在一个系统里边

来证明这些个定理

那么对于我们来说

因为那个要下的功夫太大了

所以对于我们来说呢

我们只要求大家能看明白

就可以了

可能有的朋友对于数学比较头疼的

看这个已经觉得眼花缭乱了

那么也没有关系

你不一定每一步看明白

但是你必须要知道我们在做什么

我们在做的是

按照严格的规则

就是给出的几条公理

给出的推演规则

我们想要得到

我们想要得到的东西

我们想要得到的东西呢

就是第四章里边的那些重言式

第四章里边的重言式

在这里它将会以定理的身份出现

所以这个也是我们以前打过的比方

你看足球运动员

或者篮球运动员

很远的很难的角度

他能把这个球投进去

这个投进去作为专业运动员

他要进行长期的训练

对于我们观众来说

你不需要去学怎么投

你只要能看明白

你只要看明白他这个球从那边进去了

这个球可以得三分

你只要能够看明白这一点就可以了

那我们这里也是

大家能看明白就可以

我们先这个例子举到这里