逻辑学07-4在线视频

前面我们已经分析过了

公理系统

我们说L系统是一个非常好的一个系统

但是我们说这个公理系统

一般地来说

包括L系统在内

你不管说它怎么个好法

它总有一个弱点

也就是什么呢

太不直观了

你说L系统这么个好法

这些公理加上推演规则

我可以得到所有的定理

但是怎么个推法

这个要相当的技巧

而且这种技巧呢

一般地说是比较难掌握的

所以L系统 包括L系统在内的

公理系统呢

有这么一个共同的缺点

就是说它和我们日常的实际的思维

有些脱节

虽然方法上说道理上说是对的

从那个基本的出发点

可以得到所有的定理

但是怎么个得法

这个具体的过程

这个太费解了

那么为了解决这个问题

我们说我们还有另外的一种系统

叫做自然演绎系统

那么下面我们来介绍

命题演算的自然演绎系统

所谓自然演绎系统

也叫做自然推演系统

那么它有什么特点呢

它的特点是

就是第一引入假设

然后用给定的接近于日常思维的

推演规则呢

来进行推演

最后假设如果消去了

就得到纯逻辑的效果

如果不能消去假设

那么就保留假设

那么也就和公理系统里边一样

就可以得到所谓证明的结果

和推演的结果

证明的结果是纯逻辑的

不依赖于逻辑以外的假设的

而推演是依赖于逻辑之外的假设的

那么这里我们看到

它和公理系统的区别是什么呢

它是没有公理的

公理系统它从公理出发

而这里没有公理

没有公理那怎么办呢

它从假设出发

而且这个假设

在一定情况下

可以通过一定的步骤消掉

那么关于这个呢

我们回头看到具体的自然推演的

自然演绎的系统呢

我们就知道是怎么回事了

那么命题演算的

就是自然演绎系统呢

它也适用于各个不同的学科

逻辑里面的不同的部门

那么我们现在研究的是命题演算

所以我们也给出命题演算的

一个自然演绎系统

那么命题演算的自然演绎系统也很多

就好像公理系统会有很多

我们给出的那个叫做L

那么我们这里给出的命题演算的

自然演绎系统叫做C

大写的C

我们看这里的初始符号

大家看很眼熟

确实这里的初始符号

和形成规则

和L是完全一样的

因为我们在这里

为了让大家能够更好地对照

自然演绎系统

和公理系统

所以特地我们用L系统的

初始符号和形成规则

来设计了一个自然演绎系统

这个自然演绎系统

它的这个符号

初始符号和形成规则呢

就是L的初始符号和形成规则

然后在这个上面呢

我们给出了一系列的推演规则

那么这个推演规则呢

请大家注意

我们刚才介绍的时候呢

有这么一句话

就是第二条 我们大家看

这个推演规则是怎么样呢

给定的

当然是给定的

接近于日常思维的

因为公理系统里边的公理模式

有一些是和我们的日常思维

很脱节的

我们还记得 A蕴涵 B蕴涵A

我们简直不知所云

虽然我们知道它是对的

但是日常思维没有按照

A蕴涵 B蕴涵A 是对的

是真的

没有这么去思考的

而自然演绎系统里边的

推演规则呢

它是比较接近于日常思维的

因为这里毕竟是抽象的

所以我们不能说和日常思维的思路

完全一样

但是它是比较接近于日常思维的

我们下面来介绍这里的每一条

推演规则的时候

大家都会看到

和我们日常的思路是合拍的

这里的推演规则呢

我们C系统里边推演规则

一共有六条

假设A、B是任意合式公式

我们一条一条地来解释

这一条叫假设引入

这里就是说

这里是什么

这里的A是任意合式公式

我们看到公理系统里边

证明的时候

你不能随随便便写一个

你不能随随便便写一个合式公式的

它必须是怎么怎么样

符合公理（模式）

或者是用分离规则得到

而这里没有其他的限制

就是说你只要是合式公式

你都可以直接拿来用

不过这是一个假设

为了表示这是一个假设

我们在前面画一个圈

画一个圈这里写一个A

就是这个A是一个合式公式

就是我们假设这么一个

这个合式公式可以说

今天下雨

也可以说明天是星期日

这个都可以的

那么或者我是一个大学生

都可以

那么假设我是个大学生如何如何

假设明天下雨如何如何

假设今天是星期天如何如何

我们日常也是这样的

我总可以假设

即使今天不是星期天

我也可以说

如果今天是星期天如何如何

明明现在外面下着大雪

我说假如现在是夏天

那么如何如何

没有人会说我说得不对

我说如果说外面下着雪

我说现在是夏天

别人说你胡说

但是我说假如

我加上假如两个字

后面只要是个合式公式

只要是符合语法的

只要符合语法的句子

我前面加上假如

你总不能说我说错

所以假如如何如何

而且我下面画一条垂线呢

表示后面的步骤

都是在这个假设之下的

好 这个和我们日常的这个思路呢

日常的这个用法呢

是很符合的

下面两条其实是一样的

一个叫重述

就是我前面说过这句话

这句话是怎么说的

每一句话

这里每一步都有它的理由

我们现在这样的写法呢

就是说最后一步它的理由是重述

因为刚才那个呢

它只有一步

所以这一步的理由是假设引入

那么我们现在给出就是说

这一步（最后一行）的理由是重述

这一步（最后一行）的理由是重复

那至于这一步怎么来的

这一步怎么来的

这两步怎么来的

每一步都会有它的根据

这个根据是我们这里六条规则之一

好 我们看这个怎么来的

不知道

它反正是自有它的来历

那么这个是假设引入

在原先的假设之下

它又有一个新的假设

说这个

然后呢

我有了一个新的假设以后

我可以把前面的话再说一遍

我们日常也是这样的

我说什么什么

假如什么什么什么

在这个假如之下

我还提醒你我刚才说过一句什么

在新的假设之下

我原来那句话仍然有效

所以我可以把在这个假设之前

说过的话再强调一遍

这个叫重述

这个重复其实是一样的

就是说我把前面的话再说一遍

就是这句话怎么来的

它自然有它的根据

这句话怎么来的

自然有它的根据

那么我把前面的有根据的话

我在下面再说一遍

我们日常也这样

特别是我们当老师的讲课的时候

经常要把前面说过的话再讲一遍

我怕你忘了

我表示强调

我把前面说过的话再说一遍

这是重复

重复和重述其实一样的

不过这个是在新的假设之下

原来的话

这个是没有作新的假设

我原来的话呢

我就再说一遍

那么有时候为了减少步骤 写的时候

减少步骤起见呢

有时候比如说你这个离得不远的话

你可以直接引用

不一定要再

不一定要把它重复

如果每一次重复都写的话

有的时候这个步骤会太长

好

前面我们说过第一条规则是

引入假设

那我们说引入假设

在公理系统里边也有

你引入假设

引入假设你得到的结果

是依赖于这个假设的

非纯逻辑的一个结果

你想要得到纯逻辑的结果

那怎么办呢

你有假设怎么办

我们说没有关系

这个自然推演系统

它既然有办法来引入假设

它就有办法来消去假设

这两条规则请大家注意

这两条规则是最重要的两条规则

这里有六条规则

这两条规则是最重要的

因为唯有这两条规则

可以消去前面的假设

从前面的假设里面套出来

我们看

这个叫蕴涵引入

假设A 如果得到了B

我就可以说A蕴涵B

注意这个A蕴涵B

已经不依赖于这个假设了

这就好像什么呢

比如我说假如今天是星期六

假如今天是星期六

好 这个星期六是个假设

然后我根据什么什么

比如说我这句是怎么来的

我根据其他的比如说我根据历法

根据日历的制作设计原理

我就知道了假如今天

其实今天并不是星期六

但是我说假如今天星期六

然后我一研究星期六的第二天

是星期日

假如今天星期六

我就知道了明天是星期日

好了 然后我就说

如果今天星期六

那么明天星期日

注意这个时候已经不依赖于假设了

当然你可以说这句话里面

这个前面本身是个假设

但是我们不管

这整句话来说它已经不是假设了

你这个如果今天星期六

这个星期六是假设

那么明天是星期天

这个明天是星期天

是要依靠这个假设的

你不能独立地说

明天是星期天

那不对的

如果这句话不对的话

你说今天星期天是不对的

但是你这个话连着说就没有问题了

如果今天是星期六

那么明天是星期天

这句话我不需要依赖任何假设

我随时都可以说

不管今天星期几我都可以说

如果今天星期六

那么明天星期天

所以这句话

它已经从这个里边套出来了

这个叫做蕴涵引入

这是可以消去假设的一种

当然你说这个B怎么来的

当然我们有

从这个六条规则里边的某一条

得到这个B

好 还有一个叫否定消去

假设非

假设非A

假设非A底下

我如果得到了B又得到了非B

那很奇怪

假设非A怎么会得到B

怎么会得到非B的呢

那我不知道

反正这个B不是凭空来的

它是根据六条规则里面的某一条来的

这个非B也是根据

某一个规则来的

而且请大家注意

这里不是假设B

假设非B

这两个不是假设

是根据前边的步骤

我根据我的推演规则

我得到的

如果非A下面得到了B和非B

也就是什么呢

就是你这个非A

它会引起矛盾的

那么这个非A引起矛盾的话

那说明这个非A是站不住脚的

我就可以说

A 要请大家注意的是

非A是个假设

而这里的A已经是个定论了

已经不是假设了

这就好像什么呢

这就好象我们的归谬赋值法

大家还记得归谬赋值法

我们先假设的那个假

那个F

我们知道这是一个假设

假设它不是重言式

那么怎么样呢

结果我们发现有矛盾了

有矛盾我们就认定这个假设

是不对的

也就是说我们认定它是重言式

注意归谬赋值法的出发点

是一个假设

如果它不是重言式

但是归谬赋值法的结论

已经不是假设了

说它是重言式

或者不是重言式

已经从这个假设里边出来了

它已经不依赖于这个假设了

当然它的理由它的根据

就是说因为这里出现矛盾

这里出现矛盾的根据是这个假设

你这个假设只要出现矛盾

说明这个假设是不对的

那么这个假设是不对的

那么它的相反的就是对的

所以这个否定消去

那么这两条是最重要的两条规则

因为只有它们是可以消去假设的

第六条规则

大家很面熟

就是说有一个A蕴涵B

又有一个A

我就可以得到B

注意这里没有增加假设

也没有消去假设

只是按部就班地一步一步来

你有这一步又有这一步

就有这一步了

这是什么东西

这相当于分离规则

相当于蕴涵的肯定前件

这一条我们看很常用

用得很多

蕴涵的肯定前件

在L系统里边

公理系统L系统里边

它是唯一的一个推演规则

而在C系统里边呢

它同样是一条推演规则

A蕴涵B 和A 可以得到B

好 那么这个是命题演算的自然演绎系统

它的出发点和L系统

和公理系统L完全一样

那么它的这个推演规则

有这个六条

那么这个六条怎么样来证明

怎么样来做推演

那么我们等一会儿

我们在下一节里边呢

就来说这个