10.1 性质命题在线视频

从第八讲到第十讲

我们都是关于所谓基本命题的推理

那么基本命题的推理呢

它就是说是以基本命题的

内部结构和成分作为依据

来进行的推理

那么第八讲呢

我们分析了基本命题的

结构和它的成分

第九讲我们讲了

在传统逻辑里边

关于基本命题的推理的内容

那么我们知道基本命题可以分为

在第八讲里我们已经知道了

基本命题根据它的谓词的不同

可以分成性质命题和关系命题

但是在传统逻辑里边呢

只讨论性质命题

所以传统逻辑里边

基本命题的推理

实际上也就是性质命题的推理

但是在数理逻辑里边呢

这个基本命题的推理呢

既包括性质命题的

也包括关系命题的

那么这一讲里边

我们要来看一看

数理逻辑里边

是怎么来分析

这些基本命题的推理的

那么要说明的是

数理逻辑里边

关于基本命题的推理

内容非常丰富

而有些细节它在技术上

比较繁琐

我们由于时间的原因

我们只能讲一些最基本的方面

好 首先第一

我们先来看一看性质命题

我们知道基本命题的组成部分

是 谓词 主词和量词

谓词又分成一元谓词和多元谓词

所以我们说 虽然我们习惯上

似乎应该说 主词 谓词

像语言学里边我们总是说

主语 谓语

你先说主词

为什么这里要先说谓词

再说主词

再说量词

当然不是必须这样

你先说主词 哪怕先说量词

也是可以的

但是我们这个 谓词 主词 量词

这样的排法呢

是根据它们在命题里边的重要性

来确定的

因为我们说一个命题里边

它是一定要有谓词的

当然也一定要有主词

但是一个基本命题里边

谓词只要一个

如果你有两个谓词呢

有两个谓词

那就是复合命题

但是主词呢

主词要一个

还是要两个 还是更多

这个要看谓词

如果是一元谓词

那么只需要一个主词

如果一元谓词

带有一元谓词的基本命题

你有两个主词的话

那么你就是一个复合命题

比如说 张三和李四是学生

这是一个复合命题

不过是复合命题的

在语言里边的一种简略的说法

那么更准确的应该是

张三是学生

并且李四是学生

那么刚才说这个谓词

两个谓词的话

那比如说张三是学生

并且家住在北京

那么这就是两个谓词了

一个谓词是是学生

一个谓词是家在北京

那么 张三是学生并且家在北京

这是一个复合命题

就是说 张三是学生

这是一个基本命题

并且 张三家在北京

这又是一个基本命题

合在一起是个复合命题

所以基本命题里边

一定是有一个谓词

并且只有一个谓词

如果有两个谓词 就是复合命题

但是主词呢 一定得有主词

但是主词有几个

得看这个谓词是一元的还是多元的

像我们刚才已经说到

是学生 这是个一元谓词

那么它只需要一个主词

张三是学生 就可以了

如果你 张三和李四是学生

那是一个复合命题

张三是学生

并且李四是学生

那么比如说谓词是二元谓词

是邻居

那么你一定得说出两个人来

或者是说出两个家庭来

张三和李四是邻居

张三和李四是同班同学

这个时候你如果只有一个主词

那么这个命题就是说

你没有说完全

张三是邻居

这句话不通

邻居是两个人

两个家庭之间的关系

一个人怎么能成为邻居呢

张三是同班同学

同样是不通的

大于 你得说出两个数来

5大于3

3大于1

你说5大于

这句话不通

大于3 也不通

没有任何上下文的情况下

你孤立的说出 大于3

这句话是不通的

你得说 5大于3

为什么

因为大于是个二元谓词

它要两个主词

而且这个主词呢

反映到自然语言上呢

它不一定是那个主语

那个二元谓词的主词呢

可能就是像刚才说的

张三和李四是同班同学

张三和李四在语言学上是主语

但是像5大于3

5大于3 在我们汉语的语法分析上

我们说 5是主语

大于 是谓语

3 是个宾语

我们这里无所谓宾语

所以谓词 主词

这个和自然语言里边的语言成分呢

它有一定的对应的地方

但是也有一些

也有很多不对应的地方

有很多不同的情况

那么三元谓词更是如此了

我们说过比如说铁路线上

你说 长春在沈阳和哈尔滨之间

那么这里用我们这里的分析就是说

我们的谓词是 在……之间

而主词是三个

长春 沈阳 哈尔滨

要说这么三个

因为 在什么之间

在铁路线上 车站之间的关系

你说在什么之间

你得说出三个车站来才行

你说在哈尔滨和长春之间

这句话不通的

哈尔滨在长春之间也是不通的

你一定要说出三个车站

三个地点出来才行

那么这个反映在我们自然语言的

语法上的成分关系呢

这个对应就比较复杂一些

所以我们说一个基本命题里边

一定是有一个谓词

只有一个谓词

那么主词要看谓词的元数

如果是一元谓词

那只需要一个主词

如果有两个主词

你就是复合命题

那么如果是二元谓词呢

一定要有两个主词

如果你只有一个主词

这个命题就是说

这句话就不通

就不成其为命题

那么量词呢

量词是用来限定主词的

有几个主词就可以有几个量词

理论上是这样的

因此我们看

谓词是一个基本命题的核心

主词有几个

那要看谓词的元数

量词有几个

那得看有几个主词

所以量词跟着主词转的

主词是跟着谓词转的

谓词是一个基本命题的核心

所以我们这么排列

谓词 主词 量词

那么也因此呢

就是数理逻辑这一部分演算

它叫做谓词演算

就是因为基本命题 它的内部结构

谓词是核心

所以叫谓词演算

我们刚才说了 谓词呢

分为一元和多元的

那么相应的

基本命题就分成性质命题

和关系命题

我们在上一讲里边

分析了传统逻辑里边

它是怎么样对性质命题

进行分类

那么这里边有些什么基本的推理形式

那我们要来看一看

在数理逻辑里边

主词 谓词

这个量词

它是怎么来表示的

那么在数理逻辑里边呢

一般是这样的

比如我们说x是P

x是P呢

要这么写

P是谓词

x叫做个体变元

放在一个括号里边

当然也有的教科书里边

有的文献里边呢

这个地方它不用括号

谓词变元用一个大写的字母

个体变元用小写的字母

有些文献里面

有些教科书里边是这样的

那么这可以省了很多的括号

那么这么写呢更醒目一些

所以两种都可以的

大家看不同的书里面

有不同的写法

实质上是一样的

好 这个所谓谓词变元

要用一个大写的P

或者是其他的大写字母来表示

因为你假如说有两个谓词变元的话

那你用两个不同的大写字母

那么个体变元呢

是要用小写字母来表示

那么如果不止一个个体变元呢

可以用不同的字母

比如说x y

那么也可以用x加下标

x{\fs10}1{\r} x{\fs10}2{\r}或者是a{\fs10}1{\r} a{\fs10}2{\r}这个都可以

那么这个就是我们说

这个谓词变元呢

实际上它就是相当于一个词项

就是我们前边分析的所谓词项

那么这个x呢

就是元素

某一个元素

或者说某一个外延

某一个个体

它是不是某一个词项的外延

那比如说P是一个词项

它有很多的

它有一些外延

那么如果x是这个外延里边的一个

相当于说是这个集合里边的一个元素

那么就可以写成x是P

P可以是名词性的

也可以是形容词性的

所以可以说是x是P

也可以说x有性质P

因为P也许是一种性质

比如说我们说 P如果是金属

那么这个x

x是某一个个体

那么这么写就是x是金属

那么也可能是说

这个P它是说明一种性质的

比如说是导电的

那么在这个写法

那么就是x是导电的

x是金属

或者x是导电的都可以

所以大写的一个P

表示某种

表示某一个词项

某一种对象

或者是某一种性质

然后这个x放在后面

就表示它具有这种性质

或者它是属于这个词项的

那么量词有全称量词

和存在量词

那么一般的写法呢

可以是这样的

对所有的x

这个加括号

也有的不加括号

这个也是不同的文献里边

有不同的习惯

那么在这里意思是

对于所有的x来说

x是P

也就是 所有x是P

那么在第二个是这样

是至少存在一个x

说的时候就是存在x

严格的意思

至少存在一个x

存在x x是P

也就是说至少存在着一个x是P

也就是说P这个词项

它一定是有外延的

至少有一个对象是它的外延

那么这个意思是

在某一个范围之内

所有的对象都是这个P

这个词项的外延

这个是量词和谓词变元

个体变元的表示法

那么我们看到量词有两个

一个是全称量词

一个是存在量词

那么全称量词和存在量词呢

这两个是可以互相替换的

正如我们在命题联接词里边

我们知道的

否定和合取可以代表析取的

否定和析取是可以代表合取的

蕴涵是可以代表反蕴涵的 等等

那么在这里呢

全称量词和存在量词之间呢

是可以互相替换表达的

也就是说你只用存在量词

加上否定

它可以表达全称量词

那么你只用全称量词

加上否定

也可以表示存在量词

比如说所有的

对所有的x来说x是P

也就是说所有x是P

这句话就相当于说

不存在一个x

这个x不是P

这两句话是完全一样的

所有x是P

你等于说没有一个x不是P

你看不存在就是没有

没有一个x它不是P

没有一个x不是P

就是说所有x是P

那么这里 有x是P

就是至少有一个x是P

意思就是说 并不是所有的x

都不是P

并不是对于所有的x来说

x不是P

那意思说至少有一个x是P

那么这两个我们看到

它是可以互相来代替的

那么这个意义就在于就是说

关于基本命题的

也就是我们下面要提到的

所谓谓词演算

在这个系统里边呢

这个全称量词和存在量词呢

只用一个就够了

当然你要用两个也可以

但是只用一个就够了

只要你这个里边还允许用否定

那么这两个是可以互相代替的

上一讲里面我们看到了

在传统逻辑里边

性质命题分成四种

就是 所有的是

所有的不是

有什么是

有什么不是

我们用 A E I O 来表示

那么这个是传统逻辑里边

它也是用符号

但是这是一种很粗略的符号

而在数理逻辑里边呢

是非常精确地把这些个表述出来

那么在数理逻辑里边是这样的

就是我们比如说这个

所有金属是导体

所有金属是导体

这个在传统逻辑里边呢

我们说所有金属是导体

金属是主词

是导体呢

导体是谓词

但是在数理逻辑里边呢

不管你是处于主词的位置上

还是处于谓词的位置上

反正你是一个词项

每一个词项

我们用一个大写字母来表示

然后这个词项里边的元素

我们用小写的字母

加一个括号放在后边

所以比如说所有金属是导体

那么我们用这个S来表示金属

用P来表示导体

那么这句话的意思就是说

对于（所有）x来说

如果x是金属

那么x是导体

对所有x来说

如果x是金属

那么x是导体

也就是 所有金属是导体

那么我们记得 刚才我们看到有一个说法

这个似乎比这个说起来简单

那我这个也可以

对于所有的x来说 x是P

那么对于所有的金属来说

金属是导体

你当然也可以这么说

但是从这里我们是这样的

就是说这个P我们可以解释为是导体

但是金属呢

对于所有的x来说

你这里从哪里可以看得出

这个x是金属

当然这种写法是可以的

但是这种写法你后面

你要另外有一个说明

你要说明这个x的论域

也就是说我这个x在什么地方取值

我这个x在金属里面取值

然后我这个P解释为是导体

你要作出这样的解释

那么这句话才可以表示

所有金属是导体

对于所有的x来说

因为我已经告诉你了

我x在金属里面取值

那么也就是对于所有的金属来说

金属是导体

这个导体我也解释了

但是我们现在这种

就是这种比较精确的表示法呢

它就不需要这个

因为这里S就是代表金属

这个P就代表导体

我这个x在哪取值

我这个x的取值是无限的

也就是说世间万物都在我这个里边

对于所有的x来说

不管你这儿x是什么

是看得见的看不见的

是有生命的无生命的

是具体的抽象的不管

宇宙万物都可以是这个x

对于所有的x来说

如果x是金属

那么x是导体

x不是金属呢

x不是金属我不管

我只管如果x是金属

那么x是导体

x不是金属那我不管

所以这个x它这个取值

取值范围是无限的

刚才那种写法呢也可以

刚才那个写法

这个上面比较简单一些

但是你要另外说明

就是说我这个x在哪里取值

那么其他几个也是一样的

比如说所有金属都不是绝缘体

那这个S就是金属

这个P就是绝缘体

对于所有的x来说

宇宙万物

对于所有的x来说

如果x是金属

那么并非x是绝缘体

换一句话说就是 x不是绝缘体

这是一样的

然后特称肯定

有什么是

有的人会游泳

有人会游泳

存在这样的x

这个x是宇宙万物

存在这样的x

怎么样呢

x是人

并且x会游泳

也就是说这个宇宙万物里边呢

我至少可以找到那么一个个体

找到那么一个对象

怎么样

这个对象是一个人

这个对象他还会游泳

那我就可以说

有人或者有的人会游泳

那么下边特称否定也是这样的

有的人不会游泳

那就是这样的

宇宙万物

存在这么一个x

宇宙万物里面总有那么一个对象

怎么样呢

这个对象他是人

并且 他并非是会游泳的

也就是 他是不会游泳的

宇宙万物里边

我总可以找到那么一个对象

这个对象一方面他是人

一方面他不会游泳

那么我一定能找得到

存在的这么一个对象

那么也就是说

有人不会游泳

有的人不会游泳都可以

所以 A E I O

这个在数理逻辑里边呢

有着非常严格的描述

非常严格的表述

要注意的是

全称命题这里用的是蕴涵

特称命题用的是合取

为什么

回答很简单

不这样就无法严格地表示

全称和特称它们的含义

我们记得我们前一讲里面

有一个传统逻辑里边的一个

叫做逻辑方阵

逻辑方阵里边我们记得就是说

A和O是矛盾的

E和I是矛盾的

什么叫矛盾

就是你是真的它就是假的

你是假的它就是真的

那么这个对角呢

总是可以互推的

那么反映在我们这里呢

也是这样

就是说这个命题

和这个命题的否定

是等值的

因为你跟它是矛盾的

你真它就假

那么它的否定那跟你就是一样的

我们来看

一共有四个命题

四种命题之间的几组关系

它真它怎么样

它假它怎么样

它真它就假

它假它就真

这是一回事

它假它就真

它真它就假

又是一回事

两个

然后这个也是

我们看首先这个就是说

如果这个真

那么这个就假

我们知道所有金属是导体是真的

那么有金属不是导体就是假的

好 那么是这样的

对所有的x来说

如果x是金属

那么x是导体

你等于说不存在

注意是不存在

不存在一个x

怎么样呢

这个x是金属

并且这个x它不是导体

你在世界上宇宙万物你去找

你找不着一个个体

说这个个体一方面它是金属

一方面它又不是导体

你找不到的

如果找到那么好

这个命题就是假命题

但是我们相信这个命题是真的

因为只要这个命题真

这个命题就一定真

只要所有的金属是导体

是真的

那你就一定找不到一个个体

它既是金属

又不是导体

一定是这样的

那么下面它的真

当然它可以推出它

它也可以推出它

是一样的

就是它的假也就是它的真

是一样的

下面这个和这里也是一样的

对于所有的x来说

如果x是金属

那么x不是绝缘体

那么并非x是绝缘体

也就是所有金属都不是绝缘体

等于说

这个是这样的

就是说所有金属都不是绝缘体

那么对于所有的x来说

如果x是金属

那么x不是绝缘体

那么相当于怎么说呢

相当于说不存在一个x

不存在一个什么x呢

x是金属

并且x是绝缘体

你去找 找不到的

只要我们知道所有金属都不是绝缘体

那么就一定不存在一个对象

它既是金属又是绝缘体

一定不会这样

好 那么所以它的真和它的假

是等值的

然后是这样的

就是说它的真

如果它是真的

它一定是假的

就是说存在一个x

还是我们刚才的例子

有人会游泳

存在一个x x是人

并且x会游泳

那么就相当于说

并不是

对于所有的x来说

如果x是人

那么x就不会游泳

不是这样的

并不是对于所有的x来说

世界万物的x

如果x是人

那么x就一定不会游泳

不是这样的

好 那么和这个就是一样的

下面一句就是

它的真就是它的假

有人不会游泳

有人不会游泳那就是说

存在一个x

x是人

并且x不会游泳

就等于说并不是对于所有的x来说

如果x是人

那么x就会游泳

如果x是人那么x就会游泳

不是这样的

相当于说有的人他是不会游泳的

所以从这个我们可以看到

就是传统逻辑里边

像这样的矛盾关系

在数理逻辑里边呢

是同样成立的

而且在数理逻辑里边呢

做了更加精确的更加严格的表述