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前面我们学习了析取范式

那么正如大家在学习

集合论的时候

大家知道

就是说 那个交集和并集

你交集有什么东西

它并集一定有一个相应的东西

倒过来也是这样

而我们这里也是

你析取有什么

它合取一定有一个

跟你对应的东西

所以有析取范式 那就一定有合取范式

那么下面我们要介绍

第二种范式叫做合取范式

合取范式是这样的

我们看到这个 我们大家

觉得很面熟

跟前面说那个析取范式

几乎是一样的

确实是如此

就是前面我们说到

析取范式的时候

里边的析取在这里

都变成合取

前面的合取在这里

都变成析取

也就是说 前面我们有

基本合取式

我们现在有基本析取式

有若干个东西

它用析取连接

就叫做基本析取式

而若干个基本析取式

用合取连接

那就叫做合取范式

这和前面说的析取范式

完全是对应的

那么析取范式我们大家会做了

合取范式怎么做

那么下面我们就来讲

这个合取范式应该怎么做

合取范式做的步骤

它比析取范式要麻烦一点

它要通过一个析取范式

然后再来这个 变到一个合取范式

那么它的做法是这样的

首先第一步 我们对应于

某一个真值函数

要做它的合取范式

首先我们要做它的真值表

这个跟析取范式是一样的

但是这里做出真值表以后

要加以否定

我们举的例子

跟前面那个析取范式一样

前面我们做了它的析取范式

我们现在来做它的合取范式

那么第一个步骤就是

做出它的真值表

然后还要加以否定

它的真值表 真 假 假 真

否定以后就变成了 假 真 真 假

这是第一件事情

做出它的真值表

再加以否定

第二件事情是做出

这个否定的析取范式

就是 不是原来我们要做的

那个真值函数的否定

而是它否定以后

来做这个否定式的析取范式

那么我们来看

就是 我们要做它的这个范式

首先我们做它的真值表

加以否定

然后我们做一个跟这个

否定式对应的一个析取范式

那么这里 我们根据我们

做析取范式的方法 我们知道

这两行

这两行 前真后假

好 前真后假

这个是前假后真

前假后真

这个否定 这个否定

然后这个是一个基本合取式

这是一个基本合取式

中间有析取连接

这是一个什么东西

这是一个析取范式

注意这个析取范式

不是它的析取范式

是它的析取范式

好 这个我们做出了

它的否定的析取范式

然后第三件事情

我们要对这个析取范式

再做否定

然后来整理

就可以得到合取范式

那么是这样的

我们看我们要做它的合取范式

首先第一步 我们

做了它的这个

这个真值表以后 否定

也就是这个式子

我们做出了一个析取范式

就是它

这个式子跟这个式子是一样的

我们现在对于这个式子

再加以否定 就得到了它

我们看 它否定 得到了它

它和它是一样的

它再否定 那么两次否定

就回到了原来的

我们知道有个双重否定

所以这个式子和这个式子

它在真值上是一样的

所以我们做到这一步

我们就回到这儿了

当然回到这儿以后

只是说它真值是一样的

这两个式子真值是一样的

但是它还并不是范式

我们要做它的范式

那么这个时候要借助于

两个工具

一个叫做德摩根律

一个叫做双重否定律

好 那么下面我们要用

德摩根律和双重否定律

来整理刚才最后那个式子

那么我们先要来说一下

什么叫德摩根律

德摩根律有四种情况

就是合取的否定

它就等于什么呢

是否定的析取

我们看这是一个否定

否定一个这个式子

这个里面是一个合取

我把否定给它

也把否定给它

当然外边的否定不要了

这个否定给它 否定给它

你看然后这个合取倒过来

变析取

从这个变这个也是一样的

然后这个跟这个完全对应

这是一个析取的否定

我把这个（否定）放到这儿来

变成这个

再把这个放到这儿来变成这个

外面的（否定）不要了

然后这个否定以后

这个否定以后

这个析取倒过来

变成（合）取

所以叫做 析取的否定

就变成否定的合取

这个到这个也是一样的

也就是这个

那么这个叫做德摩根律

我们知道集合论里边

交集并集补集

也有类似的这个公式

这个德摩根律

这是第一个工具

第二个工具大家比较熟悉

叫做双重否定

这个 你这个p否定一次

又否定一次

就回到这个p了

那么倒过来也是一样

这叫双重否定

好 下面我们就要用

德摩根律和双重否定律

来整理我们刚才的这个式子

我们看 这个是我们要找的

就是对象

它的这个

它的这个范式怎么样呢

首先否定它

再做了它的范式是这个

析取范式是这个

然后再否定回来

这个跟这个是一样的

好 那么下面为了大家

看得清楚

我们打一些 打一些横杠

我们看这个式子是什么

这个式子是否定

否定什么呢

否定两个东西的析取

就是这个横杠的和这个横杠

这两个东西的析取

我们现在用德摩根律

否定它 变成这个

否定它 变成这个

析取这个

析取变成合取

那就变成这个式子了

我们再进一步看

前面因为现在变成什么了

这一步是否定一个

很长的括号

而这一步不是

这一步是这个括号

和这个括号中间的一个合取

那我们分别来看

这个是什么

前面这一部分

是否定一个括号

这个括号里面有两个东西

这个和这个

它是一个合取

那么我们再一次用德摩根律

就是否定它变成这个

否定它变成这个

外边的否定不要了

否定它 否定它

这个合取变成析取

就得到了这个

那么后边同样的

这个用德摩根律

就变成了这个

那么我们要注意这个是

这个用德摩根律变成这个

这个用德摩根律变成这个

而整个 整个式子

中间的这个是没有涉及的

所以它变成了它

它变成了它

注意这个不要变

这个并没有

并没有涉及

好 然后我们再来看

这里有个非非q

非非q就是q

那我们就写成这个非p

析取q

还有这个就是非非p

就变成了p

这个非q仍然是非q

好 是这个和这个分别进行的

没有涉及中间的合取

所以这个合取仍然在这里

我们看 这就是一个合取范式了

因为我们看 你看

pq pq依次出现

有一个否定 有一个否定

或者是不否定

那它没有两个连着否定的

好 然后这两个之间是析取

这两个之间是析取

这是一个基本析取式

这是一个基本析取式

那么这两个基本析取式之间

用合取连接

所以整个这是一个合取范式

这个合取范式

就是它的合取范式

这个和这个真值是一样的

怎么见得呢

那么我们可以这个

当然我们每一步

都是等值的做下来的

当然没有问题

那么我们也可以来检验一下

就是 它和它是一样的

用什么呢

真值表

我们看这是原来的式子

这是我们刚才最后一步

我们做的那个范式

我们看它的这个真值表

真 假 假 真

这里 真 假 假 真

好 我们这个

证明了这两个是等值的

它就是它的合取范式

好 我们再来回顾一下

合取范式这个怎么做法

第一要列出它的真值表

再加以否定

做真值表再否定

然后做出这个否定的析取范式

这个否定式

我们把它的析取范式做出来

然后把这个析取范式

再做否定就回到原来的式子

真值上回到原来的式子

然后用德摩根律

用这个双重否定律加以整理

最后就得到了这个合取范式

这个否定以后得到了析取范式

再否定就回去了

然后用德摩根律

用德摩根律 用双重否定律

最后就得到了

跟它等值的一个合取范式

那么合取范式

当然做的这个方法要

稍微麻烦一些

那么这个也不是唯一的方法

也有其他的方法来做

这个合取范式

我们这里介绍的这种

相对来说还是比较简单

比较直观的

那么前面我们说

这个矛盾式 也就是永假式

它做不了析取范式

但能不能做合取范式

当然能做合取范式

因为从这个范式的做法

我们就知道了

一个式子如果这是一个

矛盾式的话

它的否定就是重言式

我们知道一个重言式

它做的析取范式

可以做一个很长的析取范式

那么经过否定经过整理以后

也可以得到一个很长的

一个合取范式

也就是说这个矛盾式

它做不出析取范式

但是它可以做出一个

相对来说很长的一个合取范式

那么这个合取范式怎么样呢

那么对应的就是

除了重言式以外

重言式我们说

它可以有一个这个

它可以做出这个析取范式

但是重言式能不能做合取范式

不能

因为重言式一否定

就变成了矛盾式

矛盾式做不出析取范式

当然也就变不出后面的这个

合取范式来

所以重言式是做不出

合取范式的

但是它可以做析取范式

那么刚才说过矛盾式

做不出析取范式

可以做合取范式

那么如果既不是重言式

也不是矛盾式呢

那么是既可以做一个析取范式

也可以做一个合取范式

就像我们刚才那个p等值于q

它既可以做一个析取范式

也可以做一个合取范式

好 到这里我们

关于析取范式

和合取范式它们的定义

它们的做法就说完了