逻辑学02-8在线视频

上一次我们介绍了数理逻辑

从莱布尼茨提出

到罗素 怀特海他们的工作

完成了圆满地已经完成了

演算的这么一个任务

那么在这个之后

数理逻辑还是什么样的发展

首先我们来看一看

数理逻辑有哪些内容

那么在我们这个课里边呢

我们只涉及数理逻辑的

最基本的内容

所以对一些深入的内容呢

我们就不做具体的介绍了

数理逻辑的基础部分

是所谓两个演算

也就是命题演算和谓词演算

命题演算就是像布尔代数这样

然后谓词演算呢

就是它可以用来解决

像三段论这样的问题

也就是说加有量词的

那么这两部分合起来

称为逻辑演算

这个是数理逻辑的基础内容

然后在这个之上

数理逻辑还有几部分

主要是理论性的内容

证明论 集合论

这个集合论包括公理集合论

和素朴集合论

主要是公理集合论

还有递归论

还有模型论

那么这几部分呢

都是关于一个逻辑系统

以及关于一个数学系统

他们本身的一些性质

比如说能不能达到什么样的性质

怎么样证明能不能

达到什么样的性质等等

这一系列的这个问题

那么具体内容呢

我们就不介绍了

我们上次说过

在罗素和怀特海

也就是在距现在一百年以前

因为1913年出齐了

他们的《数学原理》

那么在这个之后逻辑学

又干什么了

也就是说最近一个世纪

希尔伯特 哥德尔 图灵

塔尔斯基

以他们为代表

那么主要是在理论上

当然也有在应用上

做了很多的贡献

作出了很出色的成果

那么这个主要是在

前面所说的

就是数理逻辑的证明论

集合论 递归论 模型论

主要是在这些方面

那么数理逻辑的内容

我们刚才说过

逻辑演算 命题演算

和谓词演算可以叫做两个演算

那么后面的证明论 集合论

递归论 模型论

又可以叫做四论

所以数理逻辑的内容呢

是两个演算加上四论

那么这些工作呢

我们就不具体介绍了

那么我们下面要介绍的是

数理逻辑发展的

另外一部分很重要的内容

也就是所谓非经典逻辑

或者叫做非标准逻辑的出现

那么既然是非经典逻辑

非标准逻辑

那么首先一定有一个

什么叫经典逻辑

什么叫标准逻辑

请大家注意

不是古典逻辑

古典逻辑

是以亚里士多德的工作为代表的

数理逻辑出现之前的

那些个工作

称为古典逻辑

而经典逻辑呢

实际上就是经典数理逻辑

它是以罗素和怀特海的数学原理

以罗素和怀特海的工作为代表的

那么非经典逻辑

或者说非标准逻辑呢

就是在这个经典逻辑的基础之上

做一些发展

那么这些发展呢

有些是理论上的

也有很多是跟实际应用有关系的

比如说我们说这个逻辑研究什么

逻辑研究推理

什么叫有效推理形式

是真命题

通过有效推理形式

一定得到真结论

如果真命题

而得到假结论

那么你这个推理形式

就是无效的

什么叫真

什么叫假

每一个句子

逻辑上叫做一个命题

每一个命题它总有真和假

那么在经典逻辑那里呢

一个命题的真和假

只取两种情况

就是真 假

没有第三种情况

不考虑第三种情况

这就好象我们小时候看电影

特别是什么侦破那一类的电影

一个人出来了

我们首先就要问

这是好人还是坏人

因为在小孩看来

这类电影里边的人就是两类

一类叫做好人

一类叫坏人

但是我们知道实际上

不是那么截然区分的

好人坏人之间

还有一种不好不坏的人

还有一种不怎么坏的人

还有一种不怎么好的人

还有完全好的人

完全坏的人

是这样不同的

所以关于这个人好和不好

你不能截然的说好人坏人

分很多的不同情况

那么一个命题的真和假呢

也是要分很多不同的情况

比如说一个灯

亮还是不亮

在经典逻辑里边

就考虑两种情况

亮 不亮

比如说我现在统计

哪些个灯泡需要换

那我就看亮和不亮

亮 就不换

不亮就换

但是去检查的时候有人发现

说这个灯泡它亮是亮

它不怎么亮

它有点发暗

那个灯泡暗得几乎看不见了

但是你说亮它还是亮的

那怎么办

有一点点亮几乎看不见了

你说是亮的

但是那个灯泡你说不换吧

不换那个灯泡起不了作用

那你说不是那个亮的都要换

但是还有一个它是什么

它是稍微弱一点

亮度差一点

但是大概用一段时间还是可以的

为了节约起见呢

暂时就不换了

所以你看情况很多吧

亮的就不换

不亮的就换

但是很暗很暗的我们也换

有一点偏暗我们就不换

你看还是有各种不同

或者是这个我们今天不换

我们一个星期以后我们来换等等

或者这个我们要注意观察

你看情况是不一样的

所以处理起来

你只是说好和不好

你只说亮和不亮

不解决问题的

实际应用中情况是复杂的

那么为了适应这种应用的需要

于是乎呢

有一种逻辑叫做多值逻辑

就应运而生

这个命题这个句子的真假

不是真假两端的

它有第三种情况

它有第四种第五种情况

每一种情况怎么处理

多值逻辑

这又成了它的系统

再比如说

经典逻辑里边它只考虑

因为经典逻辑里边

这个句子都是主谓式的

就是什么东西怎么样

比如说今天的天气怎么样

今天的比如说关于雨雪

今天下雨天气预报

今天下雨 今天不下雨

但是有的时候

你让气象台很为难

你只许说一个

你还不许说错了

今天下雨 今天不下雨

今天降水概率50%

你让我说下雨吧

我也很可能错

你说不下雨吧也可能错

那怎么办

那在经典逻辑没办法

那你就得说今天下雨

今天不下雨

但是我们知道实际上

还是有其他的说法的

今天可能下雨

今天一定下雨

这个一定下雨

这个雨就是要下的

今天可能下雨

它也许下也许不下

而且从一定下雨

可以推出可能下雨

从可能下雨推不出一定下雨

从不可能下雨

可以推出不一定下雨

但是从不一定下雨

推不出不可能下雨

这个可能一定加上不

它有这种推理关系

但是这个推理关系

在经典逻辑里边体现不出来

因为经典逻辑里边

它没有地方来放这个可能

它就是今天下雨

没有一个空格让你来写

可能 一定

那怎么办

于是一种新的逻辑应运而生

它在这个今天下雨之间

加一个必然

加一个可能

从必然可以推可能

可能不能推必然

可能的否定可以推必然的否定

有这样的一些推理

那么这个就叫做模态逻辑

这个也是在经典逻辑之上加东西

而且你说一定如何

可以推可能如何

那我也可以是这样的

永远如何 有时候如何

永远如何要是真的

有时候如何就一定是真的

一定如何是假的

有时候如何不一定是假的

有时候如何是假的

那么永远如何就一定是假的

有时候如何是真的

永远如何它不一定是真的

这跟必然和可能之间的关系

就跟永远和有时候的关系

是极其类似的

所以这个模态逻辑呢

它可以从必然可能

推广到有时候

推广到永远和有时候

那你当然也可以推广到到处

和有的地方

那完全一样的

这个叫做广义模态逻辑

那么这些逻辑系统呢

它都是在经典逻辑之上加东西

它不违反经典逻辑的

经典逻辑原来是两个值

真 假

你在中间加了东西了

但是如果你的这个

多值逻辑系统里边

我现在不出现中间值

我只出现两头的值

那我就回到了经典逻辑

或者说我这个模态逻辑里边

有可能和必然

我现在不说可能也不说必然

我又回到了经典逻辑

那么用逻辑和数学上的话来说

就是经典逻辑的系统

它是非经典逻辑系统的子系统

也就是你原来有这个系统了

我现在给你加点东西

为什么要加

根据应用

二值不够我要三值

三值不够四值

我往里边加

你只说今天下雨

你没说可能性

我把那个可能性必然性加进去

它在这个经典逻辑之上加东西

那么这个就构成了

所谓非经典逻辑

或者非标准逻辑

这个在经典逻辑出现以后的

一百年以来

这样的非经典逻辑

非标准逻辑

出现了许许多多

学逻辑的学生

他自己就可以构造一个

他可以根据经典逻辑

他可以自己就很容易地

构造出一个非标准逻辑的系统出来

所以这个是有很多很多的

不同的花样

那么我们在我们这门课的最后呢

也要介绍一些

这样的非标准逻辑

虽然我们对于数理逻辑

只介绍最基本的部分

但是因为这些非标准逻辑

非经典逻辑很有趣

又很有用

基本的原理不是很难

所以我们要做一些介绍

那么在这里还要说明的是

就是什么叫数理逻辑

这个是有不同的理解的

就是有狭义和广义的不同的理解的

最狭义的数理逻辑

只包括两个演算

只包括经典逻辑的系统

非经典逻辑

是不包括在范围最小的

最狭义理解的数理逻辑

是不包括非经典逻辑的

但是广义一些的数理逻辑

是可以包括非经典逻辑在内

至于它是不是包括没有关系

反正我们这里呢

我们注重它的实

就是哪些内容我们认为有必要的

我们在这个课里边

都会给大家介绍

那么刚才我说的这个话

也不是绝对的

我刚才说非标准逻辑

都是标准逻辑的一种扩充

它都是不违反经典逻辑的

不一定

也有例外的

比如我们这里大家看到的

最后一种叫弗协调逻辑

这个弗协调逻辑很神的

它不是经典逻辑的

严格的说不是经典逻辑的扩充

因为它要违反经典逻辑的一些

最最基本的东西

在我们看来经典逻辑里边

有一些东西是不可动摇的

但是在弗协调逻辑里边

居然也动摇了

而且它也可以作出相应的

能够自圆其说的系统来

这个我们后面会做一些

最简单的说明

好 关于逻辑的产生和发展

我们在这里简单的说了这一些

我们还要再重复一次

我们这里不是很系统地

讲逻辑的发展史

只是为了大家更好地

理解逻辑的思路

逻辑的精神

逻辑的方法

对于逻辑的发展过程

中间有一些有趣的东西呢

给大家做了一点

零散的一些介绍