当前课程知识点：逻辑学概论 > 第五讲 复合命题的推理： 命题联结词的充足集 > 5.1 命题联结词：真值函数 > 默认
这一讲我们要来学习
范式和命题联结词的充足集
这两个问题都是和我们在第三讲
学到的命题联结词有密切的关系
首先我们知道
命题联结词是干什么的
命题联结词是用来把基本命题
变成复合命题
或者把已有的复合命题
变成层次更多的复合命题
那么现在我们呢
从另外一个角度来看
什么是命题联结词
我们说命题联结词呢
是一种函数
那什么叫函数
函数是一种用数学上的话来说
是一种映射
那么也可以通俗地说
是一种计算
是一种处理
比方说我们在小学学到的
加 减 乘 除
这就是四个函数
加法就是一个函数
你给我两个数
比如说给我一个1
给我一个3
我用加法进行处理
我给你一个结果说4
你给我一个3
给我一个5
我用加法处理以后
我告诉你这是8
那么减法 乘法 除法同样
都是不同的函数
不同的计算
不同的处理
那么函数呢
也可以用来处理一个对象
比方说平方
这就是一个函数
你给我一个3
我告诉你9
你给我一个负4
我告诉你16
这就是平方
那么还可以有很多
比如说加倍也可以
你给我2我告诉你4
你给我8我告诉你16
这个也是函数
那么我们说命题联结词呢
它也是一种函数
我们来看常用命题联结词的真值表
我们看到比方说
这个蕴涵就是一种函数
因为p和q你给出两个都真
那我告诉你是真的
前真后假是假的
前假后真是真的
前后都假是真的
这个是蕴涵
蕴涵是一种函数
那么比如说等值
它又是一种函数
前后都真是真的
前真后假是假的
前假后真是假的
前后都假又是真的
那么这又是一种函数
那么这种函数呢我们说
它比我们的算术里边
在数学里边碰到的函数要容易得多
因为我们在数学里边碰到的函数
它可能是在自然数上
可能是在实数上的
或者是在有理数上的等等
而我们这里呢很简单
我们这里这个函数蕴涵也好
等值也好
否定 合取 析取都是
它处理的对象是什么
它处理的对象是真 假
就这两种情况
那么它所得到的结果呢
也是真假两种情况
真和假都是真值
也就是说这个函数
它的定义域它的值域都是真值
所以我们把这样的函数
我们叫它真值函数
刚才那个表上我们已经看到
就是每一个联结词
每一个命题联结词
比方说蕴涵
比方说等值
比方说析取 合取
它都相当于一个函数
那么这个函数的定义域是什么呢
是真值的集合
也就是说真假里边取一个
那么它结果是什么呢
它的结果还是真值集合本身
也就是说还是从真假里边取一个
比方说刚才蕴涵
蕴涵它有前件和后件
前件你从真假里边取一个
后件你从真假里边取一个
然后你给了我前件是什么
后件是什么
然后我告诉你
这个蕴涵比如说前件真
后件假
那我告诉你这个蕴涵的值是假
那么它得到的结果呢
还是一个真值
所以呢
这个函数就叫做真值函数
那么我们看在这里
我们的每一个命题联结词
它都对应一个真值函数
就是否定是一种算法
它处理一个对象
合取 析取这些呢
它每一个它都是处理两个对象
处理两个对象最后得到一个结果
当然我们前面说过
合取可以是三元的可以是四元的
也就是说它可以处理三个对象
四个对象
析取也是这样
而否定一次处理一个对象
但是这个都是什么呢
都是函数
所以每一个命题联结词
它都是一个真值函数
那我们再看这是什么
这是一个复合命题形式
那么复合命题形式呢
也是一个函数
这个复合命题形式
p析取q 合取非q
你看p和q它有真真 真假
假真 假假
一共有四种情况
在每一种情况之下
整个这个复合命题的真值在这里
两个都真它是假的
前真后假是真的
前假后真是假的
前假后假是假的
这也是一个函数
也就是说这个复合命题形式
它也是一个函数
那么这个真值函数
它的函数值怎么出来
怎么知道呢
就是它所包含的基本命题
也就是命题变元的真值
还有它包含的命题联结词的性质
来决定的
我们来看
比方说刚才这个我们看
这个为什么是假的
因为这个真这个真
那么这个和这个是一样的
它也是真
那么根据这个它处理为假
这两个处理为真
这个和这个做合取
它处理为假
所以它的这个假
为什么这个是假
因为这个p和q
是这样的真值组合
另外这个析取的性质
这个否定的性质
这个合取的性质
共同决定了
就是在这一行里边它是假
在每一行里边它是真
或者是假
也就是我们刚才说的
它的函数值
由命题变元的真值
和命题联结词的性质所决定
每一个复合命题形式
对应一个真值函数
比如说这一个复合命题形式
它就对应一个真值函数
但是不同的命题形式
它可以对应相同的真值函数
比如说这两个不一样
这个是p蕴涵q
这个是非p析取q
这两个命题形式是不一样的
这个只包含一个命题联结词
这个包含两个命题联结词
但是我们看
当它们的真值
就是p和q的真值组合同样的情况之下
这个复合命题形式的真值
和这个复合命题形式的真值
是一样的
真假 真真
真假 真真
因为每一行里边你看
真真 真真
真假 真假
假真 假真
假假
假假
这四种情况是一样的
那么每一种情况之下
真 我也是真
假 我也是假
这是真 这也是真
这个真 这个是真
所以说明这个复合命题形式
和这个复合命题形式
这两个复合命题形式不一样
但是它们所对应的真值函数
是一样的
那我们在数学里边也是这样的
你A+B和B+A是不一样的
但是它所得到的结果是一样的
A+B和B+A形式上不一样
但是它得到的结果是一样的
我们这里也是
这两个形式上不一样
但是它得到的结果呢
是一样的
那么我们运用真值表
就可以知道
就可以确定
任何一个复合命题形式
所对应的真值函数
也就是说呢
我们就可以知道
在命题变元的各种真值组合下
这个真值函数它的值
也就是说
比如说我现在写了这么一个
复合命题形式
它对应什么样的真值函数呢
也就是说它什么时候真
什么时候假呢
很简单
你在它的下面做真值表
真值表做完了以后你就可以知道了
在两个都真的情况下它是真的
前真后假的情况下是假的
后面也是一样
所以你写出一个复合命题形式
我们就知道它对应于什么样的函数
或者说我们就知道
它在什么时候真什么时候假
那么现在我们有个相反的问题
我们现在需要一个真值函数
我们确定我们希望
它在这种情况下真
在那种情况下假
怎么样来把这个命题形式找出来
比方说刚才这个
我们不看这个
我们说我们需要什么呢
我们需要在这个真 这个真的情况下
它是真的
真假假 假真真
假假真
我们希望在p和q的这种真值组合之下
得到的这个真值函数
得到的这个复合命题形式呢
是真 假 真 真
那么你怎么会找出这么一个
复合命题形式来
这是我们下面要做的这件事情
怎么样为确定的真值函数
找出相对应的命题形式
那么这个问题呢
既是一个理论的问题
也是一个应用的问题
因为我们知道
大家知道命题联结词
否定 合取 析取
那么我们知道
数字电路里边有一个所谓
非门 与门 或门
就是这个开关
有非门是一种
与门是一种
或门是一种
那么也就是说它对应一个
什么样的装置呢
非门就是说我把这个开关打开
这个灯就不亮了
我把这个开关关上
这个灯反而亮了
那是非门
与门两个都通两个都开
这个灯才亮
只要有一个关上
那个灯就不亮了
或门呢
两个只要有一个开着
那个灯就亮
有这几种不同的开关
那么我们每一个复合命题形式
如果它是包含着否定
包含着析取
包含着合取的
那么它实际上也对应着一个电路
比如说非p析取q
它就相当于什么呢
相当于p前面加
p用一个非门来处理
然后p用非门处理以后
跟q之间它们用一个或门来处理
那么这样得到的一个装置
得到的一个线路呢
那么就和这个真值函数
它所对应的这个真值表是一样的
也就是说如果你把p
连上一个非门
然后把这个连上非门以后
跟q连上一个或门
那么得到的这个装置
也就是这个灯
什么时候亮什么时候不亮呢
跟这是一样的
就是你p和q都开着的时候
这个灯是亮的
p开着q关上
这个灯就不亮了
那么你q关上p打开
p关上q打开这个灯是亮的
两个都关上这个灯也是亮的
所以每一个复合命题形式
对应一个真值函数
而真值函数呢
它对应一种开关电路
那么所以也就是
我们就知道了这个复合命题形式
它所对应的那个装置
那个灯什么时候亮
什么时候不亮
这三种情况之下
这个 这个 这个
这三种情况之下这个灯是亮的
这种情况之下这个灯是不亮的
那我们现在反过来就是
我们要求在什么时候这个灯亮
在什么时候这个灯不亮
我们现在问
你这个电路怎么画出来的
当然有关的课程里边
它专门有告诉我们
根据这个要求怎么样来画这个电路图
那么我们用逻辑也可以
我们先写出这个复合命题形式
然后把对应的这个电路呢
就可以画出来了
所以这里有应用的价值
所以下面我们要来研究的就是
怎么样为已经确定的一个真值函数呢
找出跟它相对应的命题形式
-1.1 “逻辑"和逻辑学
--默认
-1.2 推理和推理形式
-1.3 有效推理形式
-1.4 逻辑学的特点
-1.5 逻辑学的基本准则
-1.6 逻辑学和其他学科的关系
-1.7 关于本课程《逻辑学概论》
-第一章作业
-2.1 中国古代逻辑思想（上）
--默认
-2.2 中国古代逻辑思想（中）
--逻辑学02-2
-2.3 中国古代逻辑思想（下）
--逻辑学02-3
-2.4 印度古代逻辑
--逻辑学20-4
-2.5 古希腊和中世纪逻辑
--逻辑学02-5
-2.6 近代西方逻辑
--逻辑学02-6
-2.7 数理逻辑的提出和实现
--逻辑学02-7
-2.8 数理逻辑的发展
--逻辑学02-8
-第二章作业
-3.1 推理和命题
--默认
-3.2 基本命题和复合命题
--默认
-3.3 常用命题联结词及其基本推理形式（1）
--默认
-3.4 常用命题联结词及其基本推理形式（2）
--默认
-3.5 常用命题联结词及其基本推理形式（3）
--默认
-3.6 常用命题联结词及其基本推理形式（4）
--逻辑学03-6
-3.7 常用命题联结词及其基本推理形式（5）
--逻辑学03-7
-3.8 常用命题联结词及其基本推理形式（6）
--逻辑学03-8
-3.9 常用命题联结词及其基本推理形式（7）
--逻辑学03-9
-第三章作业
-4.1 重言式、矛盾式和可满足式
--默认
-4.2 具体推理转换为推理形式
--默认
-4.3 推理形式转换为复合命题形式
--默认
-4.4 有效推理形式的判定：真值表法
--默认
-4.5 有效推理形式的判定：归谬赋值法
--默认
-第四章作业
-5.1 命题联结词：真值函数
--默认
-5.2 析取范式
--默认
-5.3 为复合命题形式作与之等值的析取范式
--默认
-5.4 合取范式
--默认
-5.5 范式存在定理
--Video
-5.6 命题联结词的充足集
--Video
-5.7 命题联结词的独元充足集
--Video
-第五章作业
-6.1 公理系统的构成
--Video
-6.2 命题演算的公理系统 L
--Video
-6.3 命题演算公理系统 L 中的证明
--Video
-6.4 命题演算公理系统 L 中的证明（续）
--Video
-6.5 命题演算公理系统 L 中的推演
--Video
-第六章作业
-7.1 公理系统出发点的延伸
--逻辑学07-1
-7.2 公理系统的评价
--逻辑学07-2
-7.3 公理系统的性质和评价及其意义
--逻辑学07-3
-7.4 命题演算的自然演绎系统
--逻辑学07-4
-7.5 命题演算自然演绎系统中的证明和推演
--逻辑学07-5
-第七章作业
-8.1 基本命题的结构
-8.2 词项的内涵和外延
-8.3 词项的种类
-8.4 词项间的关系
-8.5 词项的定义
-8.6 词项的划分
-8.7 谓词的分类
-8.8 量词
--8.8 量词
-8.9 联词
--8.9 联词
-第八章作业
-9.1 基本命题的推理
--Video
-9.2 传统逻辑对基本命题的分析
--Video
-9.3 性质命题中主、谓词的周延
--Video
-9.4 命题变形的推理
--Video
-9.5 根据对当关系的推理
--Video
-9.6 三段论
--Video
-9.7 三段论的式与格
--Video
-9.8 有效三段论的判定
--Video
-第九章作业
-10.1 性质命题
-10.2 主词非空的预设
-10.3 关系命题的结构
-10.4 关系命题根据量词的推理
-10.5 关系命题根据谓词性质的推理方法
-10.6 谓词演算简介
-第十章作业
-11.1 非经典（非标准）逻辑
-11.2 多值逻辑
-11.3 模糊逻辑
-11.4 模态逻辑
-11.5 规范逻辑
-11.6 时态逻辑
-11.7 弗协调逻辑
-第十一章作业
-12.1 演绎和归纳
--逻辑学12-1
-12.2 探求因果关系的逻辑方法
--逻辑学12-2
-12.3 证论和反驳
--逻辑学12-3
-12.4 悖论
--逻辑学12-4
-12.5 本课程《逻辑学概论》内容回顾
--逻辑学12-5
-第十二章作业
