当前课程知识点：逻辑学概论 > 第四讲 复合命题的推理： 有效推理形式的判定 > 4.4 有效推理形式的判定：真值表法 > 默认
下面我们就要来研究
怎么样来判定一个推理形式
是不是有效推理形式
第一种方法叫做真值表法
那么首先我们说
根据刚才的工作呢
我们已经知道了一个推理形式
它会对应一个复合命题形式
比如说这个推理形式
就对应这个复合命题形式
我们说这个推理形式
是不是有效的呢
是有效的就是说它没有反例
它是在所有情况下都是对的
那么它所对应的一个复合命题形式
那么也就是说
是不是所有情况下都是真的呢
你有没有一种情况是假的呢
如果它是有效推理形式
那么它就应该是个重言式
因此我们说有效推理形式
它所对应的复合命题形式呢
当且仅当是重言式
我们再说一遍
就是说一个推理形式
对应一个复合命题形式
复合命题形式
它可以是永真的
可以是永假的
可以是可满足可真可假的
而一个推理形式呢
它可以是有效的
也可以是无效的
那么我们说
如果它是有效的
那么它一定是重言式
所以我们本来是要研究
这个推理形式是不是有效
那么问题就转化为
我们看这个复合命题形式
它是不是重言式
这也就是我们刚才说的这句话
有效推理形式
所对应的复合命题形式呢
当且仅当是重言式
因此对一个复合命题推理形式
是不是有效
这么一个判定呢
问题就转化为
对一个复合命题形式
是不是重言式
这么一个判定
也就是说我们想知道
它是不是有效推理形式
我们只要看它是不是重言式
怎么知道它是不是重言式呢
我们做它的真值表
真值表怎么做
我们看这里
这里有几个命题变元
或者说有几个不同的基本命题
只有一个这个p
p有几种真假情况
只有两种
真或者假
那我们就把它写出来
它有真假两种情况
然后我们看这个p跟这个p
是一回事
它是真它也应该真
它假它也应该假
你绝不能说这里真这里假
同一行是同一种情况
同一种情况下
这个p要是又真又假
就违反了同一律 是不行的
所以你这个p和这个p
这一列一定是一样的
所以这个p的真假确定以后
要把这一列给它照抄到这个下边来
好 下边我们再看
你这个p是真的
那么这个非p呢
这个括号怎么样呢
这个括号是p的否定
你p是真的
这个括号我们把它写在这里
非的底下
写在否定的底下
如果它是真的
那么这个非p就是假的
p是假的非p就是真的
那么也就是写成这样
那我们再看这是一个括号
非p的否定
你非p是假的
那么这个非非p就是真的
非p是真的
非非p就是假的
所以真和假这一列
也给它写上
好 我们现在看
这个相当于前提
这个相当于结论
最后我们要来看蕴涵了
蕴涵我们上一讲里我们记得
蕴涵的假只有一种情况
前真后假是假的
其余都是真的
我们看真对于
因为前面是一个括号
它最后一步是在这里
所以这一列代表了这个括号
最后一步的这个真值
而这里呢真值在这里
所以作为前提
它的真值在这里
作为结论当然在这里蕴涵
应该是要说前件和后件
前件的真值在这一列
后件的真值在这一列
我们这一列对于这一列
我们来做蕴涵
看前真后假是假的
其他情况都是真的
真对于真蕴涵是真的
假对于假的蕴涵也是真的
也就是说它的这个真值表是这样的
是怎么样的呢
是这样的
因为这一个蕴涵
是这一个复合命题形式的
最后的一步
最关键的一步
因此这个（→）下面的一列
就代表了整个这个
复合命题形式的真值
我们发现在任何情况下
一共就两种情况
在任何情况下
整个这个蕴涵式都是真的
它是重言式
从而这个复合命题的推理形式
是有效推理形式
也就是我们上一讲所说到的
叫做双重否定
双重否定为什么是对的
我们告诉大家是对的
但是这个对是经过证明的
这个证明就是这样做的
虽然很简单但是是非常有效的
是不会出现例外的
它是重言式
所以它是有效推理形式
好 我们再举一个例子
这个是p蕴涵q
和非q
可以推出非p
这个我们在上一讲里边也见过
这个叫做蕴涵的否定后件式
你否定了后面那个
你就可以否定前面那个
我们已经知道它是有效推理形式了
但是我们如果不知道的话
没有关系
它写成复合命题形式就是这样
那么下面我们就来看一看
它是不是重言式
如果它是重言式
那么这个推理形式
就是有效推理形式
那我们看看这个真值表应该怎么做
这个真值表比刚才要稍微复杂一些
因为这里它有两个命题变元
就是有两个不同的基本命题
那么一个基本命题
它有真假两种情况
这个（基本）命题也有两种真假情况
那么真值的组合
就会有四种
就是两个都真两个都假
一真一假 一假一真
我们以某种规律给它
全部都列举出来
这里为什么没有写
因为这个和这是一样的
这里一共就是两个不同的命题变元
那我们把它两个命题变元的
所有可能的真值组合都列出来
然后我们看这个q和这个q是一样的
所以这一列应该抄到这儿来
而这一列应该抄到这儿来
因为这个是p那个也是p
那就成了这样
这一列抄到这
这一列这里照抄
然后我们再看
p对于q的蕴涵
真对于真的蕴涵
真对于假的蕴涵
我们把这个蕴涵呢
可以写到这一列
把对于它的否定写到这一列
把对于它的否定呢
写到这一列
那我们是这样的
我们看
真对于真的蕴涵是真的
真蕴涵假是假的
蕴涵只有一种情况假
前真后假是假的
然后其他情况都是真的
那么这个呢否定
真变成假的
假变成真的
这个也是真变成假
假变成真
然后我们看下一步是什么
下一步是这个括号
是这个和这个做合取
这一步的真值在这一列
也就是这一列和这一列要做合取
那我们知道合取的真值表是什么样子的
它只有一种情况是真的
就是两个都真是真的
其他情况都是假的
所以这一列的真值表就这样
真和假是假的
假和真是假的
真和假是假的
两个都真这是真的
好 最后最关键的一步来了
也就是前边蕴涵的前边
它的最关键的一步在这里
而后边的最关键的一步在这里
也就是这一列对于这一列做蕴涵
我们判定是真还是假
那我们看到
假对于真的蕴涵是成立的
假对于假的蕴涵是成立的
假对于真的蕴涵是成立的
真对于真的蕴涵是成立的
什么时候不成立
前真后假
但这里没有前真后假
所以是成立的
我们看这个复合命题形式
它是一个重言式
它是重言式
那么它所对应的
刚才我们说的这个
就是蕴涵的否定后件
就是一个有效推理形式
那我们再看一个例子
这是什么
p蕴涵q
非p蕴涵非q
也就是我们前边举过的例子
刚才看到的
就是如果今天星期二
那么今天有课
今天不是星期二所以今天没有课
我们直觉上觉得这个好像是不对的
那么这个不对的
那么它所对应的复合命题形式
它的真值表将是什么样子呢
就跟刚才一样
这个加个括号
这个加一个括号
这两个都是前提
它们加一个合取
外边加一层括号
然后前提和结论之间加一个蕴涵
那么这个复合命题形式
就是这个推理形式
我们想要知道
当然我们已经知道了
我们直觉上知道
它不是有效推理形式
那我们可以想到
这个应该不是一个重言式
那到底是不是
我们来做它的真值表
这个做法跟刚才是一样的
就是首先因为它是p和q
两个不同的命题变元
所以把它所有的真值组合
按照一定的规律给它排出来
然后仍然是
这个p和这个p是一样的
这一列要抄到这来
这一列要抄到这来
那就成了这样
那一边抄过来
然后下边呢
有三件事情可以同时做
就是这个做蕴涵
这个做否定
这个做否定
跟刚才一样
刚才不过是这个在这里
这个在这里
那么我们看这个就
我们不细说了
大家自己可以看到这样
然后又是这一列就是这个括号
这一列就是这个括号
这两个括号之间要做合取
那么这两个做了合取以后呢
结果写在这里
结果在这里
然后前边是这一列
后边是这一列
这一列对于这一列要做蕴涵
前真后假是假的
其他情况都是真的
好 我们发现怎么样
我们发现它有一种情况
它是假的
也就是说它不是重言式
所以刚才的那个推理
就是说如果今天星期二那么今天有课
今天不是星期二
所以今天没有课
那么这个不是一个有效推理形式
它是有反例的
而且这个还告诉我们
你反例到哪去找
如果是重言式
你不用找反例了
反例是不可能有的
因为我们证明了
那么这个是有反例的
这个反例上哪去找呢
我们来看
这个反例上哪找
p假而q真
也就是说p是什么
p是今天是星期二
那我找一个反例
这个反例今天不是星期二
比如说今天是星期三
而今天有课是真的
也就是你找一个日子
今天不是星期二
而今天是有课的
比如说今天是星期三
有课的
好 那这就是反例了
因为你说如果今天星期二
那么今天有课
今天不是星期二
所以今天没有课
那么好 我现在反例
如果今天星期二那么今天有课
是对的
因为课表上是这么写的
如果今天星期二今天有课
课表上是这样的
今天不是星期二
对啊 今天是星期三
今天没有课
不对 今天有课
因为我星期三是有课的
所以反例就出来了
所以这个也可以告诉我们
这个反例到哪里去找
好 到这里呢
我们就把这个用真值表法
来判定一个复合命题形式
是不是重言式这个方法
我们就把这个方法
我们把它写出来
是这样的
第一 列出某一个命题形式中
命题变元的全部真值
或真值组合
因为它如果只有一个p的话
那就是真假两种情况
如果是有两个的话
那么就有四种情况
如果有p q r三个
那就有八种
有八种真值组合要写八行
第二 根据命题变元的真值
和相关命题联结词的性质
逐步写出在命题变元的各种真值
或真值组合下
该命题形式的真值
就要我们刚才一列一列一列
最后把最关键的那一列写出来了
那最关键的那一列
就是整个复合命题形式它的真值
那么第三步
如果一个命题形式
在命题变元的全部真值
或全部真值组合下
它的真值都是真的
那就证明这个命题形式是重言式
也就是说你看中间
不一定中间
就是看那一列
是不是全部是真的
如果全部是真
重言式
至少发现一个假
那它不是重言式
那么这个方法呢
叫做判定一个复合命题形式
是不是重言式的方法
第一种方法叫做真值表法
这个真值表法
是一个很好的方法
我们说叫做一个能行的方法
什么叫能行
能行就是一定可以做
我们有些事情用这个方法
也许可以做
也许不能做
那么如果用这个方法
做某一件事情
一定是可以做的
那就叫做能行
我们平时做什么项目
都要有能行性研究
不过那个能行性是非常复杂的
因为它要考虑很多很多的因素
但是在逻辑在数学里边
相对来说这个条件比较单纯
所以我们可以做到这个非常严格的
甚至可以说是绝对的能行还是不能行
我们说真值表法是能行的
为什么
我们有严格的标准
第一 用机械的方法
我们看到刚才已经看到了
只要有这个复合命题形式
每一步怎么写
你是不需要找窍门的
它有一定之规
你按照这个一定之规
一步一步走下去就是了
所以是一种机械的方法
不需要找窍门
不像我们证定理
证定理的时候
你先要看我先用哪条公理
上哪画一条辅助线
那个不是机械的方法
是要找窍门的
我们这是机械的方法
这是第一 机械的方法
第二 步骤是有限的
就是说我们写下来以后
真假真假T和F你写多少个
有限的
不会让你无限制地写下去
是有限的
而在这个有限的步骤
做完之后
这个结果一定是可以得到的
也就是步骤是有限的
有限的步骤做完之后
你不能说做完了
结果有没有
也许有也许没有
不会
一定有结果
那我们再来
这里需要解释的机械的方法
大家很明白了
然后 有限的步骤
这个有限的步骤我们看
比如说这里我们写了
真假真假写了多少个
我们还没有写的时候
你事先可以算出来
因为这里要写多少行
要写多少列
是可以算出来的
因为它只有一个基本命题
只有一个命题变元
那么它的真假只有两种情况
所以一个命题变元的话
这两个是一样的
就一个命题变元
一个命题变元的话
要写两行
那写多少列呢
多少列你看它这里出现了
多少个命题变元
包括重复的
出现多少个命题变元
多少个命题联结词
我们看一二三四五
好 那么本来这是一个前提
这是结论
前提是一二三 三个符号
结论是一个符号
四个符号
然后前提和结论之间
加个蕴涵
所以是五个符号
所以这里是五列
五列两行
那么就是十个
你还没有做这些判定的时候
你看这个式子
我预先就可以知道
我要写十个真和假
这个判定要写十个
那么预先是可以知道的
需要多少个
再比如说这个要多一些
这是一个前提
这是一个前提
这是一个结论
那么这里真和假
真和假要写多少个
也是预先可以算的
这里我们看
有两个命题变元
p和q
它有两种情况
它也有两种情况
所以组合起来有四种情况
那么我们问
如果是p q r的话怎么样
p q r的话那就是2的三次方
那么也就是要写八行
所以你这里要写多少行
就看有多少个不同的命题变元
然后这个行数
就是这个命题变元的个数
命题变元的个数如果是n的话
那么它的行数就是2的n次方
所以如果是一个命题变元
2的1次方 2行
像这两个
2的2次方 4行
如果有三个
2的3次方 8行
如果p q r s那么就是2的4次方
那么就是16行
多少列呢
仍然是这样的
我们看有多少个前提和结论
每一个前提和结论里边
有多少个命题变元
包括重复的命题变元
和命题联结词
1 2 3 4 5 6 7
7个
然后不止一个前提的话
你加1
因为它要做一个合取
所以是1 2 3 4 5 6 7
7+1 8
再加一个蕴涵是9
所以这里是4行9列36个
我预先就可以知道要做36个
真和假要做36个
所以就是刚才说
这个机械的方法
在有限的步骤内
这个步骤是有限的
我还没有做
真和假T和F我还没写
我预先可以知道
我需要写最多需要写多少个T和F
我预先知道
因为它是一个有限的数字
而且这个有限的步骤
做完之后
我这个有限步骤做完了
做完之后一定有结果的
你只要看这一列
这里这一列有没有假
这个很容易辨别
这个也是完全是机械的
所以就是 第一 方法是机械的
第二 步骤是有限的
第三 这个有限的步骤做完之后
是一定可以得到结果的
所以我们说这个真值表法
刚才说真值表法
真值表法是一个非常有效的方法
为什么有效
就在于它是能行的
一定可以做
你只要是一个复合命题的推理
你一定可以写出它的推理形式
一定可以转化为一个复合命题形式
然后你用真值表法去看
这个复合命题形式是不是重言式
一定可以做的
做完以后你就可以知道了
这个推理形式是有效的
或者是无效的
所以这是我们说的
有效推理形式的判定
它的第一种方法真值表法
-1.1 “逻辑"和逻辑学
--默认
-1.2 推理和推理形式
-1.3 有效推理形式
-1.4 逻辑学的特点
-1.5 逻辑学的基本准则
-1.6 逻辑学和其他学科的关系
-1.7 关于本课程《逻辑学概论》
-第一章作业
-2.1 中国古代逻辑思想（上）
--默认
-2.2 中国古代逻辑思想（中）
--逻辑学02-2
-2.3 中国古代逻辑思想（下）
--逻辑学02-3
-2.4 印度古代逻辑
--逻辑学20-4
-2.5 古希腊和中世纪逻辑
--逻辑学02-5
-2.6 近代西方逻辑
--逻辑学02-6
-2.7 数理逻辑的提出和实现
--逻辑学02-7
-2.8 数理逻辑的发展
--逻辑学02-8
-第二章作业
-3.1 推理和命题
--默认
-3.2 基本命题和复合命题
--默认
-3.3 常用命题联结词及其基本推理形式（1）
--默认
-3.4 常用命题联结词及其基本推理形式（2）
--默认
-3.5 常用命题联结词及其基本推理形式（3）
--默认
-3.6 常用命题联结词及其基本推理形式（4）
--逻辑学03-6
-3.7 常用命题联结词及其基本推理形式（5）
--逻辑学03-7
-3.8 常用命题联结词及其基本推理形式（6）
--逻辑学03-8
-3.9 常用命题联结词及其基本推理形式（7）
--逻辑学03-9
-第三章作业
-4.1 重言式、矛盾式和可满足式
--默认
-4.2 具体推理转换为推理形式
--默认
-4.3 推理形式转换为复合命题形式
--默认
-4.4 有效推理形式的判定：真值表法
--默认
-4.5 有效推理形式的判定：归谬赋值法
--默认
-第四章作业
-5.1 命题联结词：真值函数
--默认
-5.2 析取范式
--默认
-5.3 为复合命题形式作与之等值的析取范式
--默认
-5.4 合取范式
--默认
-5.5 范式存在定理
--Video
-5.6 命题联结词的充足集
--Video
-5.7 命题联结词的独元充足集
--Video
-第五章作业
-6.1 公理系统的构成
--Video
-6.2 命题演算的公理系统 L
--Video
-6.3 命题演算公理系统 L 中的证明
--Video
-6.4 命题演算公理系统 L 中的证明（续）
--Video
-6.5 命题演算公理系统 L 中的推演
--Video
-第六章作业
-7.1 公理系统出发点的延伸
--逻辑学07-1
-7.2 公理系统的评价
--逻辑学07-2
-7.3 公理系统的性质和评价及其意义
--逻辑学07-3
-7.4 命题演算的自然演绎系统
--逻辑学07-4
-7.5 命题演算自然演绎系统中的证明和推演
--逻辑学07-5
-第七章作业
-8.1 基本命题的结构
-8.2 词项的内涵和外延
-8.3 词项的种类
-8.4 词项间的关系
-8.5 词项的定义
-8.6 词项的划分
-8.7 谓词的分类
-8.8 量词
--8.8 量词
-8.9 联词
--8.9 联词
-第八章作业
-9.1 基本命题的推理
--Video
-9.2 传统逻辑对基本命题的分析
--Video
-9.3 性质命题中主、谓词的周延
--Video
-9.4 命题变形的推理
--Video
-9.5 根据对当关系的推理
--Video
-9.6 三段论
--Video
-9.7 三段论的式与格
--Video
-9.8 有效三段论的判定
--Video
-第九章作业
-10.1 性质命题
-10.2 主词非空的预设
-10.3 关系命题的结构
-10.4 关系命题根据量词的推理
-10.5 关系命题根据谓词性质的推理方法
-10.6 谓词演算简介
-第十章作业
-11.1 非经典（非标准）逻辑
-11.2 多值逻辑
-11.3 模糊逻辑
-11.4 模态逻辑
-11.5 规范逻辑
-11.6 时态逻辑
-11.7 弗协调逻辑
-第十一章作业
-12.1 演绎和归纳
--逻辑学12-1
-12.2 探求因果关系的逻辑方法
--逻辑学12-2
-12.3 证论和反驳
--逻辑学12-3
-12.4 悖论
--逻辑学12-4
-12.5 本课程《逻辑学概论》内容回顾
--逻辑学12-5
-第十二章作业
