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下面我们就要来研究

怎么样来判定一个推理形式

是不是有效推理形式

第一种方法叫做真值表法

那么首先我们说

根据刚才的工作呢

我们已经知道了一个推理形式

它会对应一个复合命题形式

比如说这个推理形式

就对应这个复合命题形式

我们说这个推理形式

是不是有效的呢

是有效的就是说它没有反例

它是在所有情况下都是对的

那么它所对应的一个复合命题形式

那么也就是说

是不是所有情况下都是真的呢

你有没有一种情况是假的呢

如果它是有效推理形式

那么它就应该是个重言式

因此我们说有效推理形式

它所对应的复合命题形式呢

当且仅当是重言式

我们再说一遍

就是说一个推理形式

对应一个复合命题形式

复合命题形式

它可以是永真的

可以是永假的

可以是可满足可真可假的

而一个推理形式呢

它可以是有效的

也可以是无效的

那么我们说

如果它是有效的

那么它一定是重言式

所以我们本来是要研究

这个推理形式是不是有效

那么问题就转化为

我们看这个复合命题形式

它是不是重言式

这也就是我们刚才说的这句话

有效推理形式

所对应的复合命题形式呢

当且仅当是重言式

因此对一个复合命题推理形式

是不是有效

这么一个判定呢

问题就转化为

对一个复合命题形式

是不是重言式

这么一个判定

也就是说我们想知道

它是不是有效推理形式

我们只要看它是不是重言式

怎么知道它是不是重言式呢

我们做它的真值表

真值表怎么做

我们看这里

这里有几个命题变元

或者说有几个不同的基本命题

只有一个这个p

p有几种真假情况

只有两种

真或者假

那我们就把它写出来

它有真假两种情况

然后我们看这个p跟这个p

是一回事

它是真它也应该真

它假它也应该假

你绝不能说这里真这里假

同一行是同一种情况

同一种情况下

这个p要是又真又假

就违反了同一律 是不行的

所以你这个p和这个p

这一列一定是一样的

所以这个p的真假确定以后

要把这一列给它照抄到这个下边来

好 下边我们再看

你这个p是真的

那么这个非p呢

这个括号怎么样呢

这个括号是p的否定

你p是真的

这个括号我们把它写在这里

非的底下

写在否定的底下

如果它是真的

那么这个非p就是假的

p是假的非p就是真的

那么也就是写成这样

那我们再看这是一个括号

非p的否定

你非p是假的

那么这个非非p就是真的

非p是真的

非非p就是假的

所以真和假这一列

也给它写上

好 我们现在看

这个相当于前提

这个相当于结论

最后我们要来看蕴涵了

蕴涵我们上一讲里我们记得

蕴涵的假只有一种情况

前真后假是假的

其余都是真的

我们看真对于

因为前面是一个括号

它最后一步是在这里

所以这一列代表了这个括号

最后一步的这个真值

而这里呢真值在这里

所以作为前提

它的真值在这里

作为结论当然在这里蕴涵

应该是要说前件和后件

前件的真值在这一列

后件的真值在这一列

我们这一列对于这一列

我们来做蕴涵

看前真后假是假的

其他情况都是真的

真对于真蕴涵是真的

假对于假的蕴涵也是真的

也就是说它的这个真值表是这样的

是怎么样的呢

是这样的

因为这一个蕴涵

是这一个复合命题形式的

最后的一步

最关键的一步

因此这个（→）下面的一列

就代表了整个这个

复合命题形式的真值

我们发现在任何情况下

一共就两种情况

在任何情况下

整个这个蕴涵式都是真的

它是重言式

从而这个复合命题的推理形式

是有效推理形式

也就是我们上一讲所说到的

叫做双重否定

双重否定为什么是对的

我们告诉大家是对的

但是这个对是经过证明的

这个证明就是这样做的

虽然很简单但是是非常有效的

是不会出现例外的

它是重言式

所以它是有效推理形式

好 我们再举一个例子

这个是p蕴涵q

和非q

可以推出非p

这个我们在上一讲里边也见过

这个叫做蕴涵的否定后件式

你否定了后面那个

你就可以否定前面那个

我们已经知道它是有效推理形式了

但是我们如果不知道的话

没有关系

它写成复合命题形式就是这样

那么下面我们就来看一看

它是不是重言式

如果它是重言式

那么这个推理形式

就是有效推理形式

那我们看看这个真值表应该怎么做

这个真值表比刚才要稍微复杂一些

因为这里它有两个命题变元

就是有两个不同的基本命题

那么一个基本命题

它有真假两种情况

这个（基本）命题也有两种真假情况

那么真值的组合

就会有四种

就是两个都真两个都假

一真一假 一假一真

我们以某种规律给它

全部都列举出来

这里为什么没有写

因为这个和这是一样的

这里一共就是两个不同的命题变元

那我们把它两个命题变元的

所有可能的真值组合都列出来

然后我们看这个q和这个q是一样的

所以这一列应该抄到这儿来

而这一列应该抄到这儿来

因为这个是p那个也是p

那就成了这样

这一列抄到这

这一列这里照抄

然后我们再看

p对于q的蕴涵

真对于真的蕴涵

真对于假的蕴涵

我们把这个蕴涵呢

可以写到这一列

把对于它的否定写到这一列

把对于它的否定呢

写到这一列

那我们是这样的

我们看

真对于真的蕴涵是真的

真蕴涵假是假的

蕴涵只有一种情况假

前真后假是假的

然后其他情况都是真的

那么这个呢否定

真变成假的

假变成真的

这个也是真变成假

假变成真

然后我们看下一步是什么

下一步是这个括号

是这个和这个做合取

这一步的真值在这一列

也就是这一列和这一列要做合取

那我们知道合取的真值表是什么样子的

它只有一种情况是真的

就是两个都真是真的

其他情况都是假的

所以这一列的真值表就这样

真和假是假的

假和真是假的

真和假是假的

两个都真这是真的

好 最后最关键的一步来了

也就是前边蕴涵的前边

它的最关键的一步在这里

而后边的最关键的一步在这里

也就是这一列对于这一列做蕴涵

我们判定是真还是假

那我们看到

假对于真的蕴涵是成立的

假对于假的蕴涵是成立的

假对于真的蕴涵是成立的

真对于真的蕴涵是成立的

什么时候不成立

前真后假

但这里没有前真后假

所以是成立的

我们看这个复合命题形式

它是一个重言式

它是重言式

那么它所对应的

刚才我们说的这个

就是蕴涵的否定后件

就是一个有效推理形式

那我们再看一个例子

这是什么

p蕴涵q

非p蕴涵非q

也就是我们前边举过的例子

刚才看到的

就是如果今天星期二

那么今天有课

今天不是星期二所以今天没有课

我们直觉上觉得这个好像是不对的

那么这个不对的

那么它所对应的复合命题形式

它的真值表将是什么样子呢

就跟刚才一样

这个加个括号

这个加一个括号

这两个都是前提

它们加一个合取

外边加一层括号

然后前提和结论之间加一个蕴涵

那么这个复合命题形式

就是这个推理形式

我们想要知道

当然我们已经知道了

我们直觉上知道

它不是有效推理形式

那我们可以想到

这个应该不是一个重言式

那到底是不是

我们来做它的真值表

这个做法跟刚才是一样的

就是首先因为它是p和q

两个不同的命题变元

所以把它所有的真值组合

按照一定的规律给它排出来

然后仍然是

这个p和这个p是一样的

这一列要抄到这来

这一列要抄到这来

那就成了这样

那一边抄过来

然后下边呢

有三件事情可以同时做

就是这个做蕴涵

这个做否定

这个做否定

跟刚才一样

刚才不过是这个在这里

这个在这里

那么我们看这个就

我们不细说了

大家自己可以看到这样

然后又是这一列就是这个括号

这一列就是这个括号

这两个括号之间要做合取

那么这两个做了合取以后呢

结果写在这里

结果在这里

然后前边是这一列

后边是这一列

这一列对于这一列要做蕴涵

前真后假是假的

其他情况都是真的

好 我们发现怎么样

我们发现它有一种情况

它是假的

也就是说它不是重言式

所以刚才的那个推理

就是说如果今天星期二那么今天有课

今天不是星期二

所以今天没有课

那么这个不是一个有效推理形式

它是有反例的

而且这个还告诉我们

你反例到哪去找

如果是重言式

你不用找反例了

反例是不可能有的

因为我们证明了

那么这个是有反例的

这个反例上哪去找呢

我们来看

这个反例上哪找

p假而q真

也就是说p是什么

p是今天是星期二

那我找一个反例

这个反例今天不是星期二

比如说今天是星期三

而今天有课是真的

也就是你找一个日子

今天不是星期二

而今天是有课的

比如说今天是星期三

有课的

好 那这就是反例了

因为你说如果今天星期二

那么今天有课

今天不是星期二

所以今天没有课

那么好 我现在反例

如果今天星期二那么今天有课

是对的

因为课表上是这么写的

如果今天星期二今天有课

课表上是这样的

今天不是星期二

对啊 今天是星期三

今天没有课

不对 今天有课

因为我星期三是有课的

所以反例就出来了

所以这个也可以告诉我们

这个反例到哪里去找

好 到这里呢

我们就把这个用真值表法

来判定一个复合命题形式

是不是重言式这个方法

我们就把这个方法

我们把它写出来

是这样的

第一 列出某一个命题形式中

命题变元的全部真值

或真值组合

因为它如果只有一个p的话

那就是真假两种情况

如果是有两个的话

那么就有四种情况

如果有p q r三个

那就有八种

有八种真值组合要写八行

第二 根据命题变元的真值

和相关命题联结词的性质

逐步写出在命题变元的各种真值

或真值组合下

该命题形式的真值

就要我们刚才一列一列一列

最后把最关键的那一列写出来了

那最关键的那一列

就是整个复合命题形式它的真值

那么第三步

如果一个命题形式

在命题变元的全部真值

或全部真值组合下

它的真值都是真的

那就证明这个命题形式是重言式

也就是说你看中间

不一定中间

就是看那一列

是不是全部是真的

如果全部是真

重言式

至少发现一个假

那它不是重言式

那么这个方法呢

叫做判定一个复合命题形式

是不是重言式的方法

第一种方法叫做真值表法

这个真值表法

是一个很好的方法

我们说叫做一个能行的方法

什么叫能行

能行就是一定可以做

我们有些事情用这个方法

也许可以做

也许不能做

那么如果用这个方法

做某一件事情

一定是可以做的

那就叫做能行

我们平时做什么项目

都要有能行性研究

不过那个能行性是非常复杂的

因为它要考虑很多很多的因素

但是在逻辑在数学里边

相对来说这个条件比较单纯

所以我们可以做到这个非常严格的

甚至可以说是绝对的能行还是不能行

我们说真值表法是能行的

为什么

我们有严格的标准

第一 用机械的方法

我们看到刚才已经看到了

只要有这个复合命题形式

每一步怎么写

你是不需要找窍门的

它有一定之规

你按照这个一定之规

一步一步走下去就是了

所以是一种机械的方法

不需要找窍门

不像我们证定理

证定理的时候

你先要看我先用哪条公理

上哪画一条辅助线

那个不是机械的方法

是要找窍门的

我们这是机械的方法

这是第一 机械的方法

第二 步骤是有限的

就是说我们写下来以后

真假真假T和F你写多少个

有限的

不会让你无限制地写下去

是有限的

而在这个有限的步骤

做完之后

这个结果一定是可以得到的

也就是步骤是有限的

有限的步骤做完之后

你不能说做完了

结果有没有

也许有也许没有

不会

一定有结果

那我们再来

这里需要解释的机械的方法

大家很明白了

然后 有限的步骤

这个有限的步骤我们看

比如说这里我们写了

真假真假写了多少个

我们还没有写的时候

你事先可以算出来

因为这里要写多少行

要写多少列

是可以算出来的

因为它只有一个基本命题

只有一个命题变元

那么它的真假只有两种情况

所以一个命题变元的话

这两个是一样的

就一个命题变元

一个命题变元的话

要写两行

那写多少列呢

多少列你看它这里出现了

多少个命题变元

包括重复的

出现多少个命题变元

多少个命题联结词

我们看一二三四五

好 那么本来这是一个前提

这是结论

前提是一二三 三个符号

结论是一个符号

四个符号

然后前提和结论之间

加个蕴涵

所以是五个符号

所以这里是五列

五列两行

那么就是十个

你还没有做这些判定的时候

你看这个式子

我预先就可以知道

我要写十个真和假

这个判定要写十个

那么预先是可以知道的

需要多少个

再比如说这个要多一些

这是一个前提

这是一个前提

这是一个结论

那么这里真和假

真和假要写多少个

也是预先可以算的

这里我们看

有两个命题变元

p和q

它有两种情况

它也有两种情况

所以组合起来有四种情况

那么我们问

如果是p q r的话怎么样

p q r的话那就是2的三次方

那么也就是要写八行

所以你这里要写多少行

就看有多少个不同的命题变元

然后这个行数

就是这个命题变元的个数

命题变元的个数如果是n的话

那么它的行数就是2的n次方

所以如果是一个命题变元

2的1次方 2行

像这两个

2的2次方 4行

如果有三个

2的3次方 8行

如果p q r s那么就是2的4次方

那么就是16行

多少列呢

仍然是这样的

我们看有多少个前提和结论

每一个前提和结论里边

有多少个命题变元

包括重复的命题变元

和命题联结词

1 2 3 4 5 6 7

7个

然后不止一个前提的话

你加1

因为它要做一个合取

所以是1 2 3 4 5 6 7

7+1 8

再加一个蕴涵是9

所以这里是4行9列36个

我预先就可以知道要做36个

真和假要做36个

所以就是刚才说

这个机械的方法

在有限的步骤内

这个步骤是有限的

我还没有做

真和假T和F我还没写

我预先可以知道

我需要写最多需要写多少个T和F

我预先知道

因为它是一个有限的数字

而且这个有限的步骤

做完之后

我这个有限步骤做完了

做完之后一定有结果的

你只要看这一列

这里这一列有没有假

这个很容易辨别

这个也是完全是机械的

所以就是 第一 方法是机械的

第二 步骤是有限的

第三 这个有限的步骤做完之后

是一定可以得到结果的

所以我们说这个真值表法

刚才说真值表法

真值表法是一个非常有效的方法

为什么有效

就在于它是能行的

一定可以做

你只要是一个复合命题的推理

你一定可以写出它的推理形式

一定可以转化为一个复合命题形式

然后你用真值表法去看

这个复合命题形式是不是重言式

一定可以做的

做完以后你就可以知道了

这个推理形式是有效的

或者是无效的

所以这是我们说的

有效推理形式的判定

它的第一种方法真值表法