当前课程知识点：逻辑学概论 > 第七讲 命题演算：公理系统，自然演绎系统 > 7.1 公理系统出发点的延伸 > 逻辑学07-1
上一讲我们进入了所谓命题演算
我们介绍了命题演算的公理系统
那么关于公理系统
大家一定会有一些疑问
那么有一些不喜欢数学的朋友
会觉得这里一大堆的符号
眼花缭乱
一下子看不清楚
我们说没有关系
那么最低限度要知道
我们在干什么
我们经常也提醒大家
要知道我们在干什么
那么公理系统 我们在干什么呢
就是我们要从已经给定的
若干出发点出发
按照给定的严格的规则
来得出我们在前边所得到过的
那些个有效推理形式
相当于有效推理形式的
那些个命题形式
那么这些个推理的步骤
那么大家会觉得似乎难以掌握
有的朋友会觉得
你这样一步一步我是看明白了
但是你让我来证
我不知道从何下手
我们说这个没有关系
因为在这个地方就是
作为逻辑专业的学生来学
这一部分内容
和我们非逻辑专业的朋友
来学这部分内容呢
这里有很大的不同
那么这就好像我们看这个
体育比赛
那么逻辑学专业的学生来学逻辑
那就正如运动员去训练
他必须把每一个动作学得很到家
这样他才好去参加比赛
那么对于我们非逻辑专业的
学生来说
我们只要能够跟着看
看明白就可以了
比如说你看一场篮球比赛
这个运动员他在很远的地方
很漂亮地把球投到篮筐里面去了
你知道这个球能得三分
这是个三分球
你只要知道他在什么地方能够
投的球能够得到三分
这对于观众来说已经够了
至于在那个地方
怎么能把这个球投进去
这是要经过长期的训练的
那么对于运动员来说要练
那么对于一般的爱好者来说
你练也可以
不练也可以
你只要能看懂就可以了
那么我们这里也是
你只要能够跟着一步一步地
看明白就可以了
至于给你一个你没有证过的
一个定理让你怎么证
这个是要下很大的工夫的训练
才能够做到的
那么另外大家还会有一个问题
为什么要用这个三条公理模式
为什么要这一条推演规则
不用这个三条公理模式行不行
我们其他的推演规则行不行
那么这个就是在制作
在做这个系统的时候
那么设计系统的时候的一种技巧
关于这个
我们在这一讲里边会提到
下面我们继续地来研究
这个公理系统
上次我们说到过这个公理系统
它是非常严格的
就是说所有的东西
它都是给出的
没有给出的东西不许用
那么给出的东西
他原原本本的给你了就是
四个部分
第一 哪些符号可以用
就是初始符号或者说符号库
第二 这些符号应该怎么用
也就是说符号之间
应该怎么样连接
什么符号可以单独出现
什么符号必须出现在
什么东西的前边
或者在后边
或者在什么东西的这个中间
这个有严格的这个规则
这个也就是形成规则
然后第三部分
我们作为推理
推理的出发点是什么
那么公理
这里给出了公理模式
然后第四
从这个公理怎么样一步一步地
去得到定理呢
那么这个就是推演规则
在这里叫做变形规则
那么我们在上次给出了
命题演算的公理系统L
那么还要强调说明的是
命题演算的公理系统有许多
我们这里介绍的只是其中的一种
只是其中的一个
它的名字叫做L
那么这个L的初始符号
形成规则
公理模式和推演规则
我们已经非常严格地给出了
然后我们又说了
这个公理系统L
应该怎么样地来运转
怎么样地来操作
也就是命题演算公理系统L中
它的证明是怎么回事儿
它的推演是怎么回事儿
这个上次我们都已经说到了
所谓证明就是从公理出发
一步一步地来得到这个
一定的合式公式
这个叫做证明
最后得到的东西叫做定理
所谓定理是纯逻辑的
也就是说逻辑本身
可以保证它是正确的
那么我们在这里要顺便说到
逻辑是怎么保证它们是正确的
因为它们都是重言式
它们相当于重言式
当然所谓公理系统里边
这里没有所谓重言式
这里只是定理
但是这些定理它相当于前面的
重言式
那重言式是什么
重言式是tautology
是同语反复
我们说演绎逻辑
为什么是不会错的
演绎逻辑的根据是什么
演绎推理为什么没有反例
那么说穿了就是
它们只不过都是同语反复而已
不过有的是很明显的同语反复
有的不那么明显罢了
那么这是证明 推演呢
推演这里边它的前提
不仅仅是逻辑内部的东西了
它可以有逻辑外部的东西
也就是说可以有合式公式
这个合式公式在逻辑里边
不一定是永远真的
它不是公理
不过它是合式公式
也就是说它是有意义的句子
把这样的一些句子拿进来
参加推演
最后得到的结果是叫做
推演的
这个推演的结果它是要依赖于
这个前边所引入的非逻辑的
那些个前提的
非逻辑的假设
所以所谓证明是纯逻辑的
是一定没有问题的
一定对的
而推演的结果呢 是逻辑
和逻辑以外共同来完成的
也就是说推演的结果
对于逻辑来说
逻辑不能独立保证它是正确的
而要依赖于这里所用到的
那些个非逻辑的那些个假设
如果那些假设是对的
那么推演的结果就是对的
如果这些假设靠不住
那么推演的结果呢也靠不住
我们说过这个公理系统
这个里边它的出发点
有这个四个方面
没有给出的不许用
但是实际上在一定的情况之下
这些个出发点它都是可以延伸的
首先我们看这个符号库
我们说过逻辑
数理逻辑的公理系统里边
给出了一些符号
给出一个符号库
但是这里边实际有个伏笔
大家想必已经看出来了
叫做初始符号
什么叫初始符号
就是最开始的
最原始的符号
那么既然有最开始的
最原始的符号
那想必是会有
继续会有其他的符号
是不是这样呢 是这样的
我们可以用初始符号
运用定义的方法
来引出其他的符号
以及这些符号的形成规则
比如说我们说这个L系统里边
它的命题连接词
只有否定和蕴涵这个两种
但是我现在想用合取
你没有怎么办
我们说没有关系
否定和蕴涵它是可以表示合取的
那么这个比如说A合取B
我们前面已经知道了
它实际上就是 并非 A蕴涵非B
那么这里没有合取
但是否定和蕴涵
否定用两次 蕴涵用一次
再用若干次括号
它可以得到和A合取B
一样的效果
但是它的这个代价是
这个式子长了
如果我现在非常频繁地要用合取
你非要让我每次都用得那么长
这个我觉得很不舒服
我就是想用合取可不可以呢
可以的
你可以用定义
所谓定义就是说
你在这里
我说我现在要用这个符号了
那么这个符号怎么用法呢
这个符号是用在两个任意
合式公式之间
外边套上括号
那么这个东西我们知道
符号库里是没有的
但是没有关系
它相当于什么呢
它相当于并非A蕴涵非B
那么这个东西
是我们符号库里边有的
我们的符号库和形成规则
里边是有的
这个在我们L系统里边
原来是有的
但是我们说它和它是一样的
以后凡是出现这个
你就把它还原成这个好了
出现这个你就把它理解成这个好了
那么好
那么我们以后
你有了这个定义以后
你就可以用A合取B了
你一出现它就是这个东西
因为这个是在L系统里边有的
那么所以它和它完全一样
那么这个也是一样的
A析取B可以是这样
以后你有了这个定义以后
那么你凡是出现这个
我们就明白了
原来就是这个意思
那么这个就是用定义给出
新的这个符号
而且我们还同时给出了形成规则
我们看到它是怎么的
比如这个符号是怎么用的
它规定就是这个符号
要用在两个合式公式之间
然后外边要加上一对括号
那么我们说你现在已经
引入了合取
那么合取它可以和原来那些
初始符号一块
再引出更多的新的符号
我想要有一个等值
A等值于B 原来是没有的
但是没有关系
我就有个定义说
A等值于 双箭头
A双箭头B
它的意思什么呢
它就是A蕴涵B
就是A蕴涵B这样的符号
“并且” 我这里已经定义了
“并且” 我现在就可以用了
并且 B蕴涵A
加上适当的括号
所以这个已经引入的新的符号
它可以跟原来的初始符号一起
可以引出更多的符号
那么由定义引入的新符号
只要你用定义把它引入了
那么它在这个里边的地位
它就有了和原来初始符号
有同等地位的这样的
有同等地位
就可以同等来使用了
所以我们的定义可以引入新的符号
以及它的形成规则
然后我们说这个公理
公理在L系统里边
公理模式只有那么三条
所以我们证明这个定理的时候
有的时候很麻烦
那么如果你已经证明的定理
确实是用我们的公理和推演规则
证明出来的 这个新的这些定理
它可以和公理有同等的地位
这个和我们这个数学里边
其他的都是一样的
因为这个定理是哪来的
这个定理是通过公理和推演规则
严格地得到的
比如说我们前面证明过
p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}
假如我p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}的时候
因为p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}
我证明的是具体的定理
但是假如我这里边的p{\fs10}1{\r}
我用A来代替
也就是说我证明出来的定理
是个定理模式
我这个定理模式
我们还记得
我们p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}
我们用了五步（来证明）
那么我现在这个A蕴涵A的
这个定理模式我用了五步（来证明）
相当于说
我这个A蕴涵A
我是有根据的
我是由那个五步证出来的
证了以后我就可以给它一个编号
T 定理是T（Theorem）
这个T1这个就是第一条
当然你可以把其他的编成一号
编成多少都没有关系
你编了以后
你确实是有一个证明在那里的
所以我们看到这个
我有那个五步的这个定理
我有五步这个定理的这个证明
作为它的依据的
所以它是有根据的
那么这个时候呢
你就可以把它和公理
同等来使用
那么这个时候我们证明一些定理
就会很容易了
比如我们证明p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}
假如我原来没有证明过p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}
但是我用这个
证明定理模式的方法
我证明出了这个定理模式
并且编号为这个
那么我要证明p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}就很简单
我一步就证出来了
第一步是什么呢
p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}
你的根据是什么
我的根据是第一条定理（定理模式）
第一条定理哪来的
第一条定理它有那个五步的证明
来作为它的根据的
所以你要不信
那你回过头去
你看那个五步的证明就是了
所以这个就可以了
这就证完了
当然这个是一个极端的例子
比如说原来
你原来用那个完全用公理来证明
比如说需要十步
需要二十步的
现在你用了一些定理以后
可以简化为五步七步
所以这个定理
你确实是完完全全
原原本本按照我们
前面证明的方法证明出来的
那么你可以和这个公理同等使用
和这个公理具有同等的地位
然后推演规则也是如此
我们说L系统里边
只有一条推演规则
就是分离规则
那么其他这个规则是不许用的
那么我们说
也可以通过L系统里边
来证明出新的这个推演规则
比如说L系统里边
它可以证明出这么一条推演规则
就是由A蕴涵B
和B蕴涵C
可以得到A蕴涵C
但是这个是经过严格证明的
这个推演规则
名字叫做假言三段论
这个代号是HS
关于这个的证明比较长
我们在这里没有做
如果有兴趣的朋友可以看
我推荐过的
就是Logic for mathematicians
《数学家的逻辑》
可以看那本书
那本书里边对于这个推演规则的
怎么得出的
它有非常严格的证明
如果有了这条HS的话
那我们就可以有这样的证明了
我们还记得
我们上一次证明这一条
我们说要证 非p{\fs10}1{\r}蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}
我现在用第一条公理模式
A蕴涵 B蕴涵A
用第三条公理模式
非A蕴涵非B
蕴涵 B蕴涵A
那么我们发现这个就是这个
这个是这个
这个是这个
所以我可以从这个得到这个
但是我们上一次我们说不行
为什么
因为没有根据
我们原来还没有HS的时候
我们不能直接这么得出
因为它没有根据
但是我们现在既然引入了这个
那我们就有根据了
我们这个根据叫做HS
你要不相信
好 那么你可以回过头去看
HS是怎么证明出来的
HS是在L里边证明出来的
不是从外边放进去的
他是L系统内部证明的
严格证明的
所以我们现在就可以
有这样的证明了
第一步第二步
然后我们看这个是A
这个是B
这个又是B
这个是C
那么A蕴涵B
和B蕴涵C
根据这个我现在可以得到
这个A蕴涵C
也就是A蕴涵C
我一下子就证明出来了
我现在有根据了
因为这个根据我现在已经引入了
好 从这里我们就知道了
就是公理系统的构成
这个是出发点
有四个部分
但是这个四个部分
都可以按照一定的步骤
按照非常严格的步骤来延伸
其他的符号和形成规则
可以用定义来引入
公理不够用
我们可以证明出定理
和公理同等使用
推演规则不够用
我们可以证明出新的推演规则
来和原有的推演规则
来同等使用
所以公理系统它的出发点
虽然只有这四个部分
但是我们可以通过
非常严格的步骤来延伸
延伸以后
这个公理系统就会好用得多
好 我们先说到这里
-1.1 “逻辑"和逻辑学
--默认
-1.2 推理和推理形式
-1.3 有效推理形式
-1.4 逻辑学的特点
-1.5 逻辑学的基本准则
-1.6 逻辑学和其他学科的关系
-1.7 关于本课程《逻辑学概论》
-第一章作业
-2.1 中国古代逻辑思想（上）
--默认
-2.2 中国古代逻辑思想（中）
--逻辑学02-2
-2.3 中国古代逻辑思想（下）
--逻辑学02-3
-2.4 印度古代逻辑
--逻辑学20-4
-2.5 古希腊和中世纪逻辑
--逻辑学02-5
-2.6 近代西方逻辑
--逻辑学02-6
-2.7 数理逻辑的提出和实现
--逻辑学02-7
-2.8 数理逻辑的发展
--逻辑学02-8
-第二章作业
-3.1 推理和命题
--默认
-3.2 基本命题和复合命题
--默认
-3.3 常用命题联结词及其基本推理形式（1）
--默认
-3.4 常用命题联结词及其基本推理形式（2）
--默认
-3.5 常用命题联结词及其基本推理形式（3）
--默认
-3.6 常用命题联结词及其基本推理形式（4）
--逻辑学03-6
-3.7 常用命题联结词及其基本推理形式（5）
--逻辑学03-7
-3.8 常用命题联结词及其基本推理形式（6）
--逻辑学03-8
-3.9 常用命题联结词及其基本推理形式（7）
--逻辑学03-9
-第三章作业
-4.1 重言式、矛盾式和可满足式
--默认
-4.2 具体推理转换为推理形式
--默认
-4.3 推理形式转换为复合命题形式
--默认
-4.4 有效推理形式的判定：真值表法
--默认
-4.5 有效推理形式的判定：归谬赋值法
--默认
-第四章作业
-5.1 命题联结词：真值函数
--默认
-5.2 析取范式
--默认
-5.3 为复合命题形式作与之等值的析取范式
--默认
-5.4 合取范式
--默认
-5.5 范式存在定理
--Video
-5.6 命题联结词的充足集
--Video
-5.7 命题联结词的独元充足集
--Video
-第五章作业
-6.1 公理系统的构成
--Video
-6.2 命题演算的公理系统 L
--Video
-6.3 命题演算公理系统 L 中的证明
--Video
-6.4 命题演算公理系统 L 中的证明（续）
--Video
-6.5 命题演算公理系统 L 中的推演
--Video
-第六章作业
-7.1 公理系统出发点的延伸
--逻辑学07-1
-7.2 公理系统的评价
--逻辑学07-2
-7.3 公理系统的性质和评价及其意义
--逻辑学07-3
-7.4 命题演算的自然演绎系统
--逻辑学07-4
-7.5 命题演算自然演绎系统中的证明和推演
--逻辑学07-5
-第七章作业
-8.1 基本命题的结构
-8.2 词项的内涵和外延
-8.3 词项的种类
-8.4 词项间的关系
-8.5 词项的定义
-8.6 词项的划分
-8.7 谓词的分类
-8.8 量词
--8.8 量词
-8.9 联词
--8.9 联词
-第八章作业
-9.1 基本命题的推理
--Video
-9.2 传统逻辑对基本命题的分析
--Video
-9.3 性质命题中主、谓词的周延
--Video
-9.4 命题变形的推理
--Video
-9.5 根据对当关系的推理
--Video
-9.6 三段论
--Video
-9.7 三段论的式与格
--Video
-9.8 有效三段论的判定
--Video
-第九章作业
-10.1 性质命题
-10.2 主词非空的预设
-10.3 关系命题的结构
-10.4 关系命题根据量词的推理
-10.5 关系命题根据谓词性质的推理方法
-10.6 谓词演算简介
-第十章作业
-11.1 非经典（非标准）逻辑
-11.2 多值逻辑
-11.3 模糊逻辑
-11.4 模态逻辑
-11.5 规范逻辑
-11.6 时态逻辑
-11.7 弗协调逻辑
-第十一章作业
-12.1 演绎和归纳
--逻辑学12-1
-12.2 探求因果关系的逻辑方法
--逻辑学12-2
-12.3 证论和反驳
--逻辑学12-3
-12.4 悖论
--逻辑学12-4
-12.5 本课程《逻辑学概论》内容回顾
--逻辑学12-5
-第十二章作业
