逻辑学07-1在线视频

上一讲我们进入了所谓命题演算

我们介绍了命题演算的公理系统

那么关于公理系统

大家一定会有一些疑问

那么有一些不喜欢数学的朋友

会觉得这里一大堆的符号

眼花缭乱

一下子看不清楚

我们说没有关系

那么最低限度要知道

我们在干什么

我们经常也提醒大家

要知道我们在干什么

那么公理系统 我们在干什么呢

就是我们要从已经给定的

若干出发点出发

按照给定的严格的规则

来得出我们在前边所得到过的

那些个有效推理形式

相当于有效推理形式的

那些个命题形式

那么这些个推理的步骤

那么大家会觉得似乎难以掌握

有的朋友会觉得

你这样一步一步我是看明白了

但是你让我来证

我不知道从何下手

我们说这个没有关系

因为在这个地方就是

作为逻辑专业的学生来学

这一部分内容

和我们非逻辑专业的朋友

来学这部分内容呢

这里有很大的不同

那么这就好像我们看这个

体育比赛

那么逻辑学专业的学生来学逻辑

那就正如运动员去训练

他必须把每一个动作学得很到家

这样他才好去参加比赛

那么对于我们非逻辑专业的

学生来说

我们只要能够跟着看

看明白就可以了

比如说你看一场篮球比赛

这个运动员他在很远的地方

很漂亮地把球投到篮筐里面去了

你知道这个球能得三分

这是个三分球

你只要知道他在什么地方能够

投的球能够得到三分

这对于观众来说已经够了

至于在那个地方

怎么能把这个球投进去

这是要经过长期的训练的

那么对于运动员来说要练

那么对于一般的爱好者来说

你练也可以

不练也可以

你只要能看懂就可以了

那么我们这里也是

你只要能够跟着一步一步地

看明白就可以了

至于给你一个你没有证过的

一个定理让你怎么证

这个是要下很大的工夫的训练

才能够做到的

那么另外大家还会有一个问题

为什么要用这个三条公理模式

为什么要这一条推演规则

不用这个三条公理模式行不行

我们其他的推演规则行不行

那么这个就是在制作

在做这个系统的时候

那么设计系统的时候的一种技巧

关于这个

我们在这一讲里边会提到

下面我们继续地来研究

这个公理系统

上次我们说到过这个公理系统

它是非常严格的

就是说所有的东西

它都是给出的

没有给出的东西不许用

那么给出的东西

他原原本本的给你了就是

四个部分

第一 哪些符号可以用

就是初始符号或者说符号库

第二 这些符号应该怎么用

也就是说符号之间

应该怎么样连接

什么符号可以单独出现

什么符号必须出现在

什么东西的前边

或者在后边

或者在什么东西的这个中间

这个有严格的这个规则

这个也就是形成规则

然后第三部分

我们作为推理

推理的出发点是什么

那么公理

这里给出了公理模式

然后第四

从这个公理怎么样一步一步地

去得到定理呢

那么这个就是推演规则

在这里叫做变形规则

那么我们在上次给出了

命题演算的公理系统L

那么还要强调说明的是

命题演算的公理系统有许多

我们这里介绍的只是其中的一种

只是其中的一个

它的名字叫做L

那么这个L的初始符号

形成规则

公理模式和推演规则

我们已经非常严格地给出了

然后我们又说了

这个公理系统L

应该怎么样地来运转

怎么样地来操作

也就是命题演算公理系统L中

它的证明是怎么回事儿

它的推演是怎么回事儿

这个上次我们都已经说到了

所谓证明就是从公理出发

一步一步地来得到这个

一定的合式公式

这个叫做证明

最后得到的东西叫做定理

所谓定理是纯逻辑的

也就是说逻辑本身

可以保证它是正确的

那么我们在这里要顺便说到

逻辑是怎么保证它们是正确的

因为它们都是重言式

它们相当于重言式

当然所谓公理系统里边

这里没有所谓重言式

这里只是定理

但是这些定理它相当于前面的

重言式

那重言式是什么

重言式是tautology

是同语反复

我们说演绎逻辑

为什么是不会错的

演绎逻辑的根据是什么

演绎推理为什么没有反例

那么说穿了就是

它们只不过都是同语反复而已

不过有的是很明显的同语反复

有的不那么明显罢了

那么这是证明 推演呢

推演这里边它的前提

不仅仅是逻辑内部的东西了

它可以有逻辑外部的东西

也就是说可以有合式公式

这个合式公式在逻辑里边

不一定是永远真的

它不是公理

不过它是合式公式

也就是说它是有意义的句子

把这样的一些句子拿进来

参加推演

最后得到的结果是叫做

推演的

这个推演的结果它是要依赖于

这个前边所引入的非逻辑的

那些个前提的

非逻辑的假设

所以所谓证明是纯逻辑的

是一定没有问题的

一定对的

而推演的结果呢 是逻辑

和逻辑以外共同来完成的

也就是说推演的结果

对于逻辑来说

逻辑不能独立保证它是正确的

而要依赖于这里所用到的

那些个非逻辑的那些个假设

如果那些假设是对的

那么推演的结果就是对的

如果这些假设靠不住

那么推演的结果呢也靠不住

我们说过这个公理系统

这个里边它的出发点

有这个四个方面

没有给出的不许用

但是实际上在一定的情况之下

这些个出发点它都是可以延伸的

首先我们看这个符号库

我们说过逻辑

数理逻辑的公理系统里边

给出了一些符号

给出一个符号库

但是这里边实际有个伏笔

大家想必已经看出来了

叫做初始符号

什么叫初始符号

就是最开始的

最原始的符号

那么既然有最开始的

最原始的符号

那想必是会有

继续会有其他的符号

是不是这样呢 是这样的

我们可以用初始符号

运用定义的方法

来引出其他的符号

以及这些符号的形成规则

比如说我们说这个L系统里边

它的命题连接词

只有否定和蕴涵这个两种

但是我现在想用合取

你没有怎么办

我们说没有关系

否定和蕴涵它是可以表示合取的

那么这个比如说A合取B

我们前面已经知道了

它实际上就是 并非 A蕴涵非B

那么这里没有合取

但是否定和蕴涵

否定用两次 蕴涵用一次

再用若干次括号

它可以得到和A合取B

一样的效果

但是它的这个代价是

这个式子长了

如果我现在非常频繁地要用合取

你非要让我每次都用得那么长

这个我觉得很不舒服

我就是想用合取可不可以呢

可以的

你可以用定义

所谓定义就是说

你在这里

我说我现在要用这个符号了

那么这个符号怎么用法呢

这个符号是用在两个任意

合式公式之间

外边套上括号

那么这个东西我们知道

符号库里是没有的

但是没有关系

它相当于什么呢

它相当于并非A蕴涵非B

那么这个东西

是我们符号库里边有的

我们的符号库和形成规则

里边是有的

这个在我们L系统里边

原来是有的

但是我们说它和它是一样的

以后凡是出现这个

你就把它还原成这个好了

出现这个你就把它理解成这个好了

那么好

那么我们以后

你有了这个定义以后

你就可以用A合取B了

你一出现它就是这个东西

因为这个是在L系统里边有的

那么所以它和它完全一样

那么这个也是一样的

A析取B可以是这样

以后你有了这个定义以后

那么你凡是出现这个

我们就明白了

原来就是这个意思

那么这个就是用定义给出

新的这个符号

而且我们还同时给出了形成规则

我们看到它是怎么的

比如这个符号是怎么用的

它规定就是这个符号

要用在两个合式公式之间

然后外边要加上一对括号

那么我们说你现在已经

引入了合取

那么合取它可以和原来那些

初始符号一块

再引出更多的新的符号

我想要有一个等值

A等值于B 原来是没有的

但是没有关系

我就有个定义说

A等值于 双箭头

A双箭头B

它的意思什么呢

它就是A蕴涵B

就是A蕴涵B这样的符号

“并且” 我这里已经定义了

“并且” 我现在就可以用了

并且 B蕴涵A

加上适当的括号

所以这个已经引入的新的符号

它可以跟原来的初始符号一起

可以引出更多的符号

那么由定义引入的新符号

只要你用定义把它引入了

那么它在这个里边的地位

它就有了和原来初始符号

有同等地位的这样的

有同等地位

就可以同等来使用了

所以我们的定义可以引入新的符号

以及它的形成规则

然后我们说这个公理

公理在L系统里边

公理模式只有那么三条

所以我们证明这个定理的时候

有的时候很麻烦

那么如果你已经证明的定理

确实是用我们的公理和推演规则

证明出来的 这个新的这些定理

它可以和公理有同等的地位

这个和我们这个数学里边

其他的都是一样的

因为这个定理是哪来的

这个定理是通过公理和推演规则

严格地得到的

比如说我们前面证明过

p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}

假如我p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}的时候

因为p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}

我证明的是具体的定理

但是假如我这里边的p{\fs10}1{\r}

我用A来代替

也就是说我证明出来的定理

是个定理模式

我这个定理模式

我们还记得

我们p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}

我们用了五步（来证明）

那么我现在这个A蕴涵A的

这个定理模式我用了五步（来证明）

相当于说

我这个A蕴涵A

我是有根据的

我是由那个五步证出来的

证了以后我就可以给它一个编号

T 定理是T（Theorem）

这个T1这个就是第一条

当然你可以把其他的编成一号

编成多少都没有关系

你编了以后

你确实是有一个证明在那里的

所以我们看到这个

我有那个五步的这个定理

我有五步这个定理的这个证明

作为它的依据的

所以它是有根据的

那么这个时候呢

你就可以把它和公理

同等来使用

那么这个时候我们证明一些定理

就会很容易了

比如我们证明p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}

假如我原来没有证明过p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}

但是我用这个

证明定理模式的方法

我证明出了这个定理模式

并且编号为这个

那么我要证明p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}就很简单

我一步就证出来了

第一步是什么呢

p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}

你的根据是什么

我的根据是第一条定理（定理模式）

第一条定理哪来的

第一条定理它有那个五步的证明

来作为它的根据的

所以你要不信

那你回过头去

你看那个五步的证明就是了

所以这个就可以了

这就证完了

当然这个是一个极端的例子

比如说原来

你原来用那个完全用公理来证明

比如说需要十步

需要二十步的

现在你用了一些定理以后

可以简化为五步七步

所以这个定理

你确实是完完全全

原原本本按照我们

前面证明的方法证明出来的

那么你可以和这个公理同等使用

和这个公理具有同等的地位

然后推演规则也是如此

我们说L系统里边

只有一条推演规则

就是分离规则

那么其他这个规则是不许用的

那么我们说

也可以通过L系统里边

来证明出新的这个推演规则

比如说L系统里边

它可以证明出这么一条推演规则

就是由A蕴涵B

和B蕴涵C

可以得到A蕴涵C

但是这个是经过严格证明的

这个推演规则

名字叫做假言三段论

这个代号是HS

关于这个的证明比较长

我们在这里没有做

如果有兴趣的朋友可以看

我推荐过的

就是Logic for mathematicians

《数学家的逻辑》

可以看那本书

那本书里边对于这个推演规则的

怎么得出的

它有非常严格的证明

如果有了这条HS的话

那我们就可以有这样的证明了

我们还记得

我们上一次证明这一条

我们说要证 非p{\fs10}1{\r}蕴涵 p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}

我现在用第一条公理模式

A蕴涵 B蕴涵A

用第三条公理模式

非A蕴涵非B

蕴涵 B蕴涵A

那么我们发现这个就是这个

这个是这个

这个是这个

所以我可以从这个得到这个

但是我们上一次我们说不行

为什么

因为没有根据

我们原来还没有HS的时候

我们不能直接这么得出

因为它没有根据

但是我们现在既然引入了这个

那我们就有根据了

我们这个根据叫做HS

你要不相信

好 那么你可以回过头去看

HS是怎么证明出来的

HS是在L里边证明出来的

不是从外边放进去的

他是L系统内部证明的

严格证明的

所以我们现在就可以

有这样的证明了

第一步第二步

然后我们看这个是A

这个是B

这个又是B

这个是C

那么A蕴涵B

和B蕴涵C

根据这个我现在可以得到

这个A蕴涵C

也就是A蕴涵C

我一下子就证明出来了

我现在有根据了

因为这个根据我现在已经引入了

好 从这里我们就知道了

就是公理系统的构成

这个是出发点

有四个部分

但是这个四个部分

都可以按照一定的步骤

按照非常严格的步骤来延伸

其他的符号和形成规则

可以用定义来引入

公理不够用

我们可以证明出定理

和公理同等使用

推演规则不够用

我们可以证明出新的推演规则

来和原有的推演规则

来同等使用

所以公理系统它的出发点

虽然只有这四个部分

但是我们可以通过

非常严格的步骤来延伸

延伸以后

这个公理系统就会好用得多

好 我们先说到这里