当前课程知识点：逻辑学概论 > 第六讲 命题演算：公理系统 > 6.2 命题演算的公理系统 L > Video
前面我们说的是 一般地来说
一个公理系统需要一些什么样的组成部分
那么这个是适用于各种
各个专业的命题演算的
那么下面我们就要给出
我们这里命题演算的公理系统
那么命题演算的公理系统有很多
我们以前介绍过
就是你看数理逻辑不同的教科书
它上面会有不同的公理系统
那么我们在这里介绍的
是其中的一种
那么这个公理系统
它是有一个名字的
这个名字叫做L
大写的L
是这个公理系统的名字
这个公理系统叫做
命题演算的公理系统L
那么关于这个L系统的
更详细的资料呢
大家可以查这一本书
这是一个美国人
叫A. G.Hamilton
他写的一本书
叫做《 Logic for mathematicians》
《数学家的逻辑》
那么这本书呢
前些年曾经清华大学出版社
因为这个书原来是
在美国出版的
那么前些年曾经
清华大学出版社
得到授权在中国出了这本书的英文本
而且是新的版本
是在二零零几年出的
所以这个在图书馆
应该不难找到这本书
那么这本书的老的版本
也曾经有过中文译本的出版
现在可能比较难找了
那么关于L系统
更详细的资料呢
大家可以查这本书
另外呢
国内有一些其他的一些著作
数理逻辑方面的著作
也引用了
或者是也用的是这个
也用的是这个系统
那么好 我们看这个系统
这个系统它的符号有哪些
第一部分初始符号
初始符号我们看到
因为我们知道
我们要来表达关于命题演算
关于复合命题的推演呢
我们知道需要由三方面的内容
三方面的符号
第一种符号是表示命题变元的
就是p{\fs10}1{\r}p{\fs10}2{\r}……
前面我们说过也可以用pq
这里为了严密起见
我们用的P加下标
p{\fs10}1{\r}p{\fs10}2{\r}等等
然后第二种是命题联结词
命题联结词呢我们知道
否定 合取 析取 蕴涵等等都可以
那么L系统呢
它用的是两个命题联结词
就是否定和蕴涵
析取为什么不用
合取为什么不用
在上一讲里边
第五讲里边我们已经知道了
命题联结词的充足集
否定和蕴涵是命题联结词的充足集
也就是说虽然你看命题联结词
只有两个
否定 蕴涵
但是它可以用来表示所有的
命题联结词
2的2的n次方那么多
用否定和蕴涵足以表达
等于说你不管有多么大的数
你用1和0
你用二进制一定可以表达
这个道理是一样的
那么为什么不用否定合取
和否定析取
要用否定蕴涵呢
因为我们这里想要来表达推理
而推理里边最常用到的一个命题联结词
一定是蕴涵
所以我们用否定和蕴涵
然后呢还有括号
为了不至于引起歧义
所以有前半边括号
后半边括号
那么我们要注意的是
这个系统初始符号里边
有p{\fs10}1{\r} p{\fs10}2{\r} 有否定蕴涵 有括号
有没有逗号
没有
有没有分号
没有
有没有省略号 没有
这些不是这个公理系统
初始符号里边的符号
而是我们为了说明这个初始符号呢
我们用的一些工具
这个在逻辑里边呢
就是像这样的叫对象语言
我现在要说明一种语言
L系统里边所用的语言
我现在要告诉你
这个语言里边有哪些符号
也就是我们的对象
那么这个对象语言是p{\fs10}1{\r} p{\fs10}2{\r}
否定 蕴涵 括号
前括号 后半边括号
那么除了这个以外呢
我们为了说明它
我们需要有一些工具
这个叫做元语言
这个元就是meta
也就是在这个语言之上
在这个语言之外的一种语言
比如说你没有这个逗号
那我们不知道p{\fs10}1{\r} p{\fs10}2{\r}它连在一起
是一个还是两个
我们这个（逗号）呢
分开 我们就知道
这是一个符号
这是另外一个符号
这两个不能连在一起的
那么这个表示这是一类符号
那是一类符号
这个省略号是告诉我们
p{\fs10}1{\r} p{\fs10}2{\r} p{\fs10}3{\r} p{\fs10}4{\r}
下面根据自然数以此类推
是这个意思
所以像这些呢是所谓元语言
而我们要研究的这里是对象语言
同样的我们这里所有的汉字
在这里都是元语言
都是为了说明这种语言
而用在这里的
那么我们还要强调的是
逻辑的系统里边
命题演算的系统里边
所有东西必须给出
没有给出的东西
是不许用的
前面我们也好像提到过
这里所有东西
都是给出的
我们只有一样东西没有给出
也就是说你学这些东西
有什么具体知识
是你必须提前预备的呢
你必须会数数
你必须掌握自然数
1 2 3 4 5 6 7
我们底下就不写了
我们默认你是知道自然数是怎么数的
其他一概都不要
1+1=2你不知道
没有关系
完全不影响对于这个命题演算的领会
好 下面形成规则
这里我们看到有一个新的说法
叫合式公式
合式公式是什么意思
它是翻译过来的
well-formed formula
它就是所谓合式
合于形成规则的这个式子
叫做合式公式
那么相当于什么呢
就是合乎语法的句子
合乎形成规则
否则的话你那个p{\fs10}1{\r} p{\fs10}2{\r}
你不按照这个规则来写
那么就不是合于语法的句子
就不是合式公式
那么我们说这个合式公式
那有没有不合式的公式
那么在这里呢是这样的
就是说凡是写出来的式子
必须是合式公式
还要注意的是这里的公式
不是乘法公式
三角公式里边的那个公式的意思
乘法公式三角公式里边的公式
是恒等式的意思
我们这里的公式是表达式的意思
数理逻辑说到的公式
它的意思都是表达式
相当于是句子
合式公式就是合于语法的表达式
合于语法的句子
那么不合语法的句子
是不允许存在的 在这里
所以所有的公式必须是合式的
所以合式公式
你简称公式也可以
因为所有的公式必须合式
那么这个是所谓合式公式
那么我们来看看
这个L系统里边什么样的是合式公式
首先第一条
p{\fs10}1{\r} p{\fs10}2{\r}是合式公式
意思就是说像这样p{\fs10}1{\r} p{\fs10}2{\r}呢
每一个都可以独立出现
独立出现这就是一个合式公式
也就是说因为你一个基本命题
你自己单独存在
我们知道这是可以成立的
因为这是一个句子
这是一个完整的句子
那是可以表达完整意思的
所以它是合式公式
第二是如果AB是任意合式公式的话
那么A前面加否定
外边加括号
A和B之间加箭头
外边加括号
也是合式公式
那么这个实际上就告诉我们
这个怎么用
这个怎么用
它告诉我们这个否定号呢
是用在一个合式公式之前的
注意这个合式公式不一定是p{\fs10}1{\r}
它可以是就是说非A
它本身如果是一个合式公式
那么前面可以再加一个非
非非A
也是合式公式
那么箭头呢
是要放在两个合式公式之间
外边要加上括号
同时是也告诉我们括号怎么用
就是你用一次命题联结词
必须外面加上括号
你用一次命题联结词
必须外面加上括号
为什么
这是为了防止歧义的发生
比如说你A蕴涵B
你觉得没有问题啊
我为什么要加括号
那你不加括号A蕴涵B
等会儿我在它的前面加上一个非
那么应该怎么理解
是“非 A蕴涵B”呢
还是“非A 蕴涵B”
像刚才说《围城》里面是
“老 科学家”还是“老科学 家”
这个要分得很清楚
为了防止那些歧义的出现
所以每一次用命题联结词
一定要随手用上括号
这样才可以避免歧义的发生
最后所有合式公式由ⅰ ⅱ生成
这个一般的来说是不用说这句话的
但是在数理逻辑里边呢
在这种场合呢
总是要说这句话的
它等于是把门关上了
它告诉你合式公式第一种情况是这样
第二种情况是这样
然后告诉你没有其他合式公式了
所有合式公式都在这里
所以这些符号怎么用呢
p{\fs10}1{\r} p{\fs10}2{\r}可以单独用
否定可以用在一个的前边
蕴涵可以用在两个之间
那你什么不是合式公式呢
比如说那我前面没有
我就写一个蕴涵B
那是不行的
你什么蕴涵B
你前面必须要有合式公式
p{\fs10}1{\r}否定
p{\fs10}1{\r}否定也不行
这个否定要放在合式公式的前面
否定后面什么也没有
这是不允许的
这是告诉我们
每一个初始符号应该怎么用
下边是公理
那么L系统它用的是一种所谓公理模式
用公理模式的话呢
就是某一条这里写的某一条公理模式呢
它可以代表无数条的公理
那么首先也是设ABC是任意合式公式
第一条公理模式是 A蕴涵 B蕴涵A
这是什么意思
我们从直观上大概很难明白
它是什么意思
我们等一会儿在使用公理系统的时候
就要用到这样的公理模式
我们说这个公理模式
首先说 A蕴涵 B蕴涵A 是不是公理
我们说不是公理
为什么
A蕴涵 B蕴涵A
它本身连合式公式都不是
为什么
合式公式里边
它有什么样的符号
它有p{\fs10}1{\r} p{\fs10}2{\r}
有ABC吗
没有的
所以ABC
它不是这个系统本身的符号
用我们刚才的话来说
这样的p{\fs10}1{\r} p{\fs10}2{\r}是对象语言
这个AB是元语言
我们为了说明它
你要不然的话p{\fs10}1{\r} p{\fs10}2{\r}
你举例子举不完的
所以我们用A
当然你这里不用A
你这里用甲乙丙丁也可以的
你用1 2 3 4也可以
你反正要用一种符号来代替它
就是说假如这是一个合式公式
那么前面加上否定加括号
也是合式公式
但是它本身不是合式公式
它是合式公式的一种模式
请大家注意
那么同样的我们现在说
A蕴涵 B蕴涵A
是不是合式公式
不是
它是不是公理
不是
它是公理模式
就好像什么呢
就好象我们学语法
你看书
这是一个句子
是主谓宾
我吃饭
也是主谓宾
那么 你吃饭 我看书
这样的句子它有共同的句型
这个句型叫主谓宾
主谓宾是不是句子
主谓宾不是句子
主谓宾是句型
我们这里的 A蕴涵 B蕴涵A
相当于是句型
具体的句子那是 我吃饭 你看书
那就是p{\fs10}1{\r}蕴涵p{\fs10}2{\r}蕴涵p{\fs10}1{\r}
也可以是p{\fs10}3{\r}蕴涵p{\fs10}5{\r}蕴涵p{\fs10}3{\r}
而且它可以是比如说p{\fs10}3{\r}蕴涵非p{\fs10}1{\r}
蕴涵p{\fs10}3{\r}也可以的
这个本身可以是更长的一种合式公式
第二个公理模式
是 A蕴涵 B蕴涵C 蕴涵
A蕴涵B 蕴涵 A蕴涵C
我们简直看的时候我们可能觉得
不知所云
你到底要说的是什么
什么叫 A蕴涵 B蕴涵C
蕴涵 A蕴涵B 蕴涵 A蕴涵C
那我们只能说
从直观上
什么呢
就是 A蕴涵 B蕴涵C
这个东西它蕴涵什么呢
它蕴涵这么一个括号
这个括号是 A蕴涵B 蕴涵 A蕴涵C
我好像说了跟没说还是一样
但是呢
我们说我们要干什么
我们在这里
我们是要想得到
就是第四讲里边
所有的那些重言式
那么重言式
它一定是 就是说永远是真的
那么作为它们的出发点
这个这个这个
这三条公理模式
它本身一定是重言式
当然你从直观上
你很难想象 A蕴涵 B蕴涵A
是不是重言式
但是你可以回到第四章
你想一想
你可以用归谬赋值法
如果它是假的
前真后假
如果它是假的
前真后假
这个真这个假不行
它不能是假的
它一定是真的
那么第二也是这样
第三也是
当然第三条公理模式呢
稍微直观上容易理解一些
非A蕴涵非B 蕴涵 B蕴涵A
那么一共有这么三条
为什么要用这三条
来做它的公理模式
当然也可以不用这三条
你可以改用其他的
那就是其他的系统
L系统里边就用这三条
为什么要这么用
我们在后边我们会做说明
那么下面推演规则
也就是说你知道了4月1号星期几
你可以推4月8号星期几
4月3号星期几
那么这是一种算法
这里的推演规则呢
只有一种
这条推演规则呢
它的名字叫分离规则
它的符号是MP
那么它是这样的
就是你有一个A蕴涵B
你有一个A 你就可以得到B
这个我们觉得这个是很熟悉的
我们以前在
第三章里边
我们所见到的蕴涵的肯定前件
好
那么这个是命题演算的公理系统的
所有这四个部分
L系统一共就这四个部分
它的符号
这些符号怎么用
它的推理的出发点
公理模式就是这三条
然后它的推演规则就这一条
那么看起来很简单
但是这个系统
我们后面将会说明
它怎样呢
用这套系统
用这个下面的四条
它可以得到第四章里边的
所有的重言式
-1.1 “逻辑"和逻辑学
--默认
-1.2 推理和推理形式
-1.3 有效推理形式
-1.4 逻辑学的特点
-1.5 逻辑学的基本准则
-1.6 逻辑学和其他学科的关系
-1.7 关于本课程《逻辑学概论》
-第一章作业
-2.1 中国古代逻辑思想（上）
--默认
-2.2 中国古代逻辑思想（中）
--逻辑学02-2
-2.3 中国古代逻辑思想（下）
--逻辑学02-3
-2.4 印度古代逻辑
--逻辑学20-4
-2.5 古希腊和中世纪逻辑
--逻辑学02-5
-2.6 近代西方逻辑
--逻辑学02-6
-2.7 数理逻辑的提出和实现
--逻辑学02-7
-2.8 数理逻辑的发展
--逻辑学02-8
-第二章作业
-3.1 推理和命题
--默认
-3.2 基本命题和复合命题
--默认
-3.3 常用命题联结词及其基本推理形式（1）
--默认
-3.4 常用命题联结词及其基本推理形式（2）
--默认
-3.5 常用命题联结词及其基本推理形式（3）
--默认
-3.6 常用命题联结词及其基本推理形式（4）
--逻辑学03-6
-3.7 常用命题联结词及其基本推理形式（5）
--逻辑学03-7
-3.8 常用命题联结词及其基本推理形式（6）
--逻辑学03-8
-3.9 常用命题联结词及其基本推理形式（7）
--逻辑学03-9
-第三章作业
-4.1 重言式、矛盾式和可满足式
--默认
-4.2 具体推理转换为推理形式
--默认
-4.3 推理形式转换为复合命题形式
--默认
-4.4 有效推理形式的判定：真值表法
--默认
-4.5 有效推理形式的判定：归谬赋值法
--默认
-第四章作业
-5.1 命题联结词：真值函数
--默认
-5.2 析取范式
--默认
-5.3 为复合命题形式作与之等值的析取范式
--默认
-5.4 合取范式
--默认
-5.5 范式存在定理
--Video
-5.6 命题联结词的充足集
--Video
-5.7 命题联结词的独元充足集
--Video
-第五章作业
-6.1 公理系统的构成
--Video
-6.2 命题演算的公理系统 L
--Video
-6.3 命题演算公理系统 L 中的证明
--Video
-6.4 命题演算公理系统 L 中的证明（续）
--Video
-6.5 命题演算公理系统 L 中的推演
--Video
-第六章作业
-7.1 公理系统出发点的延伸
--逻辑学07-1
-7.2 公理系统的评价
--逻辑学07-2
-7.3 公理系统的性质和评价及其意义
--逻辑学07-3
-7.4 命题演算的自然演绎系统
--逻辑学07-4
-7.5 命题演算自然演绎系统中的证明和推演
--逻辑学07-5
-第七章作业
-8.1 基本命题的结构
-8.2 词项的内涵和外延
-8.3 词项的种类
-8.4 词项间的关系
-8.5 词项的定义
-8.6 词项的划分
-8.7 谓词的分类
-8.8 量词
--8.8 量词
-8.9 联词
--8.9 联词
-第八章作业
-9.1 基本命题的推理
--Video
-9.2 传统逻辑对基本命题的分析
--Video
-9.3 性质命题中主、谓词的周延
--Video
-9.4 命题变形的推理
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-9.5 根据对当关系的推理
--Video
-9.6 三段论
--Video
-9.7 三段论的式与格
--Video
-9.8 有效三段论的判定
--Video
-第九章作业
-10.1 性质命题
-10.2 主词非空的预设
-10.3 关系命题的结构
-10.4 关系命题根据量词的推理
-10.5 关系命题根据谓词性质的推理方法
-10.6 谓词演算简介
-第十章作业
-11.1 非经典（非标准）逻辑
-11.2 多值逻辑
-11.3 模糊逻辑
-11.4 模态逻辑
-11.5 规范逻辑
-11.6 时态逻辑
-11.7 弗协调逻辑
-第十一章作业
-12.1 演绎和归纳
--逻辑学12-1
-12.2 探求因果关系的逻辑方法
--逻辑学12-2
-12.3 证论和反驳
--逻辑学12-3
-12.4 悖论
--逻辑学12-4
-12.5 本课程《逻辑学概论》内容回顾
--逻辑学12-5
-第十二章作业
